Cho hình chóp S.ABCD có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy, ABCD là hình vuông cạnh bằng 4. Biết góc giữa S B và mặt đáy bằng 60°. Gọi M là điểm nằm trên cạnh CD sao cho DM = 2MC. Tính khoảng cách...

Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho: - Hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với mặt phẳng đáy. - ABCD là hình vuông cạnh bằng 4. - Góc giữa SB và mặt đáy bằng 60°. - Điểm M nằm trên cạnh CD sao cho DM = 2MC. Bước 1: Xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBD). Ta biết rằng khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là độ dài đoạn thẳng vuông góc hạ từ điểm đó xuống mặt phẳng. Để tính khoảng cách này, ta sẽ sử dụng phương pháp hạ trực giao từ điểm M xuống mặt phẳng (SBD). Bước 2: Xác định vị trí của điểm M trên cạnh CD. Vì DM = 2MC, ta có: \[ DM = \frac{2}{3}CD = \frac{2}{3} \times 4 = \frac{8}{3} \] \[ MC = \frac{1}{3}CD = \frac{1}{3} \times 4 = \frac{4}{3} \] Bước 3: Xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBD). Ta hạ trực giao từ điểm M xuống mặt phẳng (SBD) tại điểm H. Ta cần tìm độ dài đoạn thẳng MH. Bước 4: Xác định chiều cao SA. Vì góc giữa SB và mặt đáy bằng 60°, ta có: \[ \tan(60^\circ) = \frac{SA}{AB} \] \[ \sqrt{3} = \frac{SA}{4} \] \[ SA = 4\sqrt{3} \] Bước 5: Xác định khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng BD. Ta hạ trực giao từ điểm M xuống đường thẳng BD tại điểm N. Độ dài đoạn thẳng MN là khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng BD. Bước 6: Xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBD). Ta hạ trực giao từ điểm M xuống mặt phẳng (SBD) tại điểm H. Độ dài đoạn thẳng MH là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBD). Ta có: \[ MH = \frac{MN \cdot SA}{SB} \] Bước 7: Tính độ dài đoạn thẳng MN. Ta biết rằng: \[ MN = \frac{DM \cdot AB}{AD + DM} = \frac{\frac{8}{3} \cdot 4}{4 + \frac{8}{3}} = \frac{\frac{32}{3}}{\frac{20}{3}} = \frac{32}{20} = \frac{8}{5} \] Bước 8: Tính độ dài đoạn thẳng SB. Ta có: \[ SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{(4\sqrt{3})^2 + 4^2} = \sqrt{48 + 16} = \sqrt{64} = 8 \] Bước 9: Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBD). Ta có: \[ MH = \frac{MN \cdot SA}{SB} = \frac{\frac{8}{5} \cdot 4\sqrt{3}}{8} = \frac{32\sqrt{3}}{40} = \frac{4\sqrt{3}}{5} \] Vậy khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBD) là: \[ \boxed{\frac{4\sqrt{3}}{5}} \]