giải chi tiết toán lớp 11

Câu 1: a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BB' bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song AA' và CC'. Vì AA' và CC' là hai đường thẳng song song và cùng nằm trong mặt phẳng (AA'C'C). Khoảng cách giữa chúng chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng CC', hay chiều cao hạ từ đỉnh A của tam giác đều ACC' xuống đáy CC'. Trong tam giác đều ACC', ta có: - AC = a - CC' = a√2 Chiều cao hạ từ đỉnh A của tam giác đều ACC' xuống đáy CC' là: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a \] Do đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BB' là: \[ d_{AA', BB'} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a \] b) Khoảng cách giữa đường thẳng BB' và mặt phẳng (ACC'A') bằng khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC'A'). Vì BB' song song với CC' và nằm trong mặt phẳng (BB'C'C), khoảng cách này chính là khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC'A'). Trong tam giác đều ABC, ta có: - AB = a - BC = a Chiều cao hạ từ đỉnh B của tam giác đều ABC xuống đáy AC là: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a \] Do đó, khoảng cách giữa đường thẳng BB' và mặt phẳng (ACC'A') là: \[ d_{BB', (ACC'A')} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a \] c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'B'C') bằng khoảng cách giữa hai đường thẳng song song AA' và BB'. Vì AA' và BB' là hai đường thẳng song song và cùng nằm trong mặt phẳng (AA'BB'), khoảng cách giữa chúng chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BB', hay chiều cao hạ từ đỉnh A của tam giác đều AA'B' xuống đáy BB'. Trong tam giác đều AA'B', ta có: - AA' = a√2 - BB' = a√2 Chiều cao hạ từ đỉnh A của tam giác đều AA'B' xuống đáy BB' là: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a \] Do đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'B'C') là: \[ d_{(ABC), (A'B'C')} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times a \] d) Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' bằng diện tích đáy nhân với chiều cao. Diện tích đáy (tam giác đều ABC) là: \[ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 \] Chiều cao của lăng trụ là: \[ h = a \] Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' là: \[ V = S_{ABC} \times h = \left(\frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2\right) \times a = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^3 \] Đáp số: a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AA' và BB' là $\frac{\sqrt{3}}{2} \times a$. b) Khoảng cách giữa đường thẳng BB' và mặt phẳng (ACC'A') là $\frac{\sqrt{3}}{2} \times a$. c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng (ABC) và (A'B'C') là $\frac{\sqrt{3}}{2} \times a$. d) Thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' là $\frac{\sqrt{3}}{4} \times a^3$. Câu 2: Để tính thể tích của khối chóp, ta sử dụng công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{đáy} \times h \] Trong đó: - \( S_{đáy} \) là diện tích đáy của khối chóp. - \( h \) là chiều cao của khối chóp. Bước 1: Xác định diện tích đáy và chiều cao. - Diện tích đáy \( S_{đáy} = 5 \, cm^2 \) - Chiều cao \( h = 2 \, m \) Bước 2: Chuyển đổi đơn vị chiều cao từ mét sang centimet để đảm bảo các đại lượng có cùng đơn vị. \[ 2 \, m = 200 \, cm \] Bước 3: Thay các giá trị vào công thức thể tích. \[ V = \frac{1}{3} \times 5 \, cm^2 \times 200 \, cm \] \[ V = \frac{1}{3} \times 1000 \, cm^3 \] \[ V = \frac{1000}{3} \, cm^3 \] \[ V = 333.\overline{3} \, cm^3 \] Vậy thể tích của khối chóp là \( 333.\overline{3} \, cm^3 \). Câu 3: Để tính thể tích của hình hộp chữ nhật, ta sử dụng công thức: \[ V = l \times w \times h \] Trước tiên, ta cần chuyển đổi tất cả các đơn vị về cùng một đơn vị đo, ở đây là mét (m). - Chiều dài: 1 m - Chiều rộng: 4 dm = 0,4 m - Chiều cao: 2 m Bây giờ, ta tính thể tích: \[ V = 1 \times 0,4 \times 2 = 0,8 \text{ m}^3 \] Thể tích này tương đương với số lít nước tối đa mà hình hộp chứa được, vì 1 m³ = 1000 lít. \[ 0,8 \text{ m}^3 = 0,8 \times 1000 = 800 \text{ lít} \] Vậy số lít nước tối đa mà hình hộp trên chứa được là 800 lít. Câu 4: Để tính thể tích của khối chóp cụt, ta sử dụng công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times h \times (S_1 + S_2 + \sqrt{S_1 \times S_2}) \] Trong đó: - \( h \) là khoảng cách giữa hai đáy, - \( S_1 \) là diện tích đáy dưới, - \( S_2 \) là diện tích đáy trên. Bước 1: Xác định các giá trị đã biết: - Diện tích đáy dưới \( S_1 = 8 \, cm^2 \), - Diện tích đáy trên \( S_2 = 2 \, cm^2 \), - Khoảng cách giữa hai đáy \( h = 3 \, dm = 30 \, cm \). Bước 2: Thay các giá trị vào công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times 30 \times (8 + 2 + \sqrt{8 \times 2}) \] Bước 3: Tính toán từng phần trong công thức: - \( 8 + 2 = 10 \) - \( \sqrt{8 \times 2} = \sqrt{16} = 4 \) Bước 4: Thay kết quả vào công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times 30 \times (10 + 4) \] \[ V = \frac{1}{3} \times 30 \times 14 \] \[ V = 10 \times 14 \] \[ V = 140 \, cm^3 \] Vậy thể tích của khối chóp cụt là \( 140 \, cm^3 \). Câu 5: a) Xác suất để cả hai người đều bắn trúng là: \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0,6 \times 0,9 = 0,54 \] b) Xác suất để cả hai người đều bắn không trúng là: \[ P(\bar{A} \cap \bar{B}) = P(\bar{A}) \times P(\bar{B}) = (1 - 0,6) \times (1 - 0,9) = 0,4 \times 0,1 = 0,04 \] c) Xác suất để có ít nhất một người bắn trúng là: \[ P(A \cup B) = 1 - P(\bar{A} \cap \bar{B}) = 1 - 0,04 = 0,96 \] d) Xác suất để có đúng một người bắn trúng là: \[ P((A \cap \bar{B}) \cup (\bar{A} \cap B)) = P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap B) \] \[ = P(A) \times P(\bar{B}) + P(\bar{A}) \times P(B) \] \[ = 0,6 \times 0,1 + 0,4 \times 0,9 \] \[ = 0,06 + 0,36 = 0,42 \] Đáp số: a) 0,54 b) 0,04 c) 0,96 d) 0,42 Câu 6: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính vận tốc của vật ở giây thứ 4 Vận tốc tức thời của vật được tính bằng đạo hàm của phương trình chuyển động \( s(t) \). Phương trình chuyển động: \[ s(t) = \frac{t^4}{4} + 3t^2 \] Tính đạo hàm của \( s(t) \): \[ v(t) = s'(t) = \frac{d}{dt}\left(\frac{t^4}{4} + 3t^2\right) \] \[ v(t) = \frac{4t^3}{4} + 6t \] \[ v(t) = t^3 + 6t \] Vận tốc của vật ở giây thứ 4: \[ v(4) = 4^3 + 6 \cdot 4 \] \[ v(4) = 64 + 24 \] \[ v(4) = 88 \text{ m/s} \] Bước 2: Tính gia tốc của vật tại thời điểm 2 giây Gia tốc tức thời của vật được tính bằng đạo hàm của vận tốc tức thời \( v(t) \). Tính đạo hàm của \( v(t) \): \[ a(t) = v'(t) = \frac{d}{dt}(t^3 + 6t) \] \[ a(t) = 3t^2 + 6 \] Gia tốc của vật tại thời điểm 2 giây: \[ a(2) = 3 \cdot 2^2 + 6 \] \[ a(2) = 3 \cdot 4 + 6 \] \[ a(2) = 12 + 6 \] \[ a(2) = 18 \text{ m/s}^2 \] Kết luận: - Vận tốc của vật ở giây thứ 4 là 88 m/s. - Gia tốc của vật tại thời điểm 2 giây là 18 m/s².