giải chi tiết toán lớp 11

Câu 12: Câu 1: Cho A, B là hai biến cố xung khắc. Biết $P(A)=\frac{1}{3}, P(B)=\frac{1}{4}$. Tính $P(A \cup B)$. - Vì A và B là hai biến cố xung khắc, nên $P(A \cap B) = 0$. - Áp dụng công thức xác suất của tổng của hai biến cố: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] \[ P(A \cup B) = \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - 0 \] \[ P(A \cup B) = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \] Đáp án đúng là: $A.~\frac{7}{12}$ Câu 2: $P(A)=0,4; P(B)=0,3$. Khi đó $P(AB)$ bằng. - Để tính $P(AB)$, ta cần biết thêm thông tin về mối liên hệ giữa A và B (như liệu chúng có độc lập hay không). Nếu không có thông tin này, ta không thể tính trực tiếp $P(AB)$ từ $P(A)$ và $P(B)$. Do đó, câu hỏi này cần thêm thông tin về mối liên hệ giữa A và B để có thể tính $P(AB)$. Câu 13: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần biết xác suất của biến cố A và B. Tuy nhiên, trong đề bài không cung cấp trực tiếp xác suất của biến cố A và B. Chúng ta sẽ giả sử rằng các lựa chọn đã cho là xác suất của biến cố A hoặc B. Giả sử xác suất của biến cố A là P(A) và xác suất của biến cố B là P(B). Vì A và B là hai biến cố độc lập, nên xác suất của biến cố cả A và B xảy ra cùng lúc là: \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \] Chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn để xem liệu có thể tìm được cặp xác suất nào thỏa mãn điều kiện trên. A. 0,58 B. 0,7 C. 0,1 D. 0,12 Giả sử P(A) = 0,58 và P(B) = 0,7: \[ P(A \cap B) = 0,58 \times 0,7 = 0,406 \] Giả sử P(A) = 0,58 và P(B) = 0,1: \[ P(A \cap B) = 0,58 \times 0,1 = 0,058 \] Giả sử P(A) = 0,58 và P(B) = 0,12: \[ P(A \cap B) = 0,58 \times 0,12 = 0,0696 \] Giả sử P(A) = 0,7 và P(B) = 0,1: \[ P(A \cap B) = 0,7 \times 0,1 = 0,07 \] Giả sử P(A) = 0,7 và P(B) = 0,12: \[ P(A \cap B) = 0,7 \times 0,12 = 0,084 \] Giả sử P(A) = 0,1 và P(B) = 0,12: \[ P(A \cap B) = 0,1 \times 0,12 = 0,012 \] Như vậy, chúng ta thấy rằng không có cặp xác suất nào trong các lựa chọn đã cho thỏa mãn điều kiện của biến cố độc lập. Do đó, chúng ta cần thêm thông tin về xác suất của biến cố A và B để có thể giải quyết bài toán này một cách chính xác. Đáp án: Không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho. Câu 14: Để tính xác suất của biến cố \( A \cup B \), ta sử dụng công thức xác suất của tổng của hai biến cố độc lập: \[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \] Trong đó: - \( P(A) = 0,5 \) - \( P(B) = 0,3 \) Vì hai biến cố \( A \) và \( B \) độc lập với nhau, nên xác suất của giao của chúng là: \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0,5 \times 0,3 = 0,15 \] Bây giờ, thay các giá trị vào công thức: \[ P(A \cup B) = 0,5 + 0,3 - 0,15 = 0,65 \] Vậy xác suất của biến cố \( A \cup B \) là 0,65. Đáp án đúng là: D. 0,65. Câu 15: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng sơ đồ Venn để xác định số lượng học sinh thích bóng đá, bóng chuyền hoặc cả hai. 1. Số học sinh thích bóng đá: 6 bạn. 2. Số học sinh thích bóng chuyền: 4 bạn. 3. Số học sinh thích cả bóng đá và bóng chuyền: 2 bạn. Bây giờ, chúng ta sẽ tính số học sinh thích ít nhất một môn thể thao: - Số học sinh thích bóng đá nhưng không thích bóng chuyền: 6 - 2 = 4 bạn. - Số học sinh thích bóng chuyền nhưng không thích bóng đá: 4 - 2 = 2 bạn. - Số học sinh thích cả bóng đá và bóng chuyền: 2 bạn. Tổng số học sinh thích ít nhất một môn thể thao là: \[ 4 + 2 + 2 = 8 \text{ bạn} \] Số học sinh không thích cả bóng đá và bóng chuyền là: \[ 10 - 8 = 2 \text{ bạn} \] Xác suất để chọn được học sinh không thích cả bóng đá và bóng chuyền là: \[ \frac{2}{10} = 0,2 \] Vậy đáp án đúng là C. 0,2. Câu 16: Để tìm xác suất để cả hai động cơ đều không chạy tốt, ta cần tính xác suất để mỗi động cơ không chạy tốt và sau đó nhân chúng lại với nhau vì hai động cơ hoạt động độc lập với nhau. Bước 1: Tính xác suất để động cơ I không chạy tốt. Xác suất để động cơ I chạy tốt là 0,8, vậy xác suất để động cơ I không chạy tốt là: \[ P(\text{I không chạy tốt}) = 1 - P(\text{I chạy tốt}) = 1 - 0,8 = 0,2 \] Bước 2: Tính xác suất để động cơ II không chạy tốt. Xác suất để động cơ II chạy tốt là 0,9, vậy xác suất để động cơ II không chạy tốt là: \[ P(\text{II không chạy tốt}) = 1 - P(\text{II chạy tốt}) = 1 - 0,9 = 0,1 \] Bước 3: Tính xác suất để cả hai động cơ đều không chạy tốt. Vì hai động cơ hoạt động độc lập với nhau, nên xác suất để cả hai động cơ đều không chạy tốt là: \[ P(\text{cả hai động cơ đều không chạy tốt}) = P(\text{I không chạy tốt}) \times P(\text{II không chạy tốt}) = 0,2 \times 0,1 = 0,02 \] Vậy xác suất để cả hai động cơ đều không chạy tốt là 0,02. Đáp án đúng là: B. 0,02. Câu 17: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $M_0(x_0; y_0)$ có dạng: \[ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \] Trong đó: - $f'(x_0)$ là đạo hàm của hàm số $f(x)$ tại điểm $x = x_0$. - $(x_0, y_0)$ là tọa độ của điểm tiếp xúc trên đồ thị. Do đó, phương trình tiếp tuyến đúng là: \[ C.~y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \] Đáp án đúng là: C. Câu 18: Để xác định mệnh đề đúng về đạo hàm của hàm số \( y = f(x) \) tại điểm \( x_0 \), ta cần dựa vào định nghĩa của đạo hàm. Theo định nghĩa, đạo hàm của hàm số \( y = f(x) \) tại điểm \( x_0 \) được xác định bởi: \[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}. \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. \( f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x + x_0} \). - Mệnh đề này sai vì mẫu số là \( x + x_0 \), không phải \( x - x_0 \). B. \( f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \). - Mệnh đề này đúng vì nó chính xác theo định nghĩa của đạo hàm. C. \( f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) + f(x_0)}{x + x_0} \). - Mệnh đề này sai vì tử số là \( f(x) + f(x_0) \), không phải \( f(x) - f(x_0) \). D. \( f'(x_0) = \lim_{x \to -x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \). - Mệnh đề này sai vì giới hạn được tính khi \( x \to -x_0 \), không phải \( x \to x_0 \). Vậy, mệnh đề đúng là: \[ B.~f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}. \] Câu 19: Để tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) = -x^2 + x \) tại điểm \( x = -1 \), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) \): - Áp dụng công thức đạo hàm của tổng và từng hàm số cơ bản: \[ f'(x) = \left( -x^2 + x \right)' = (-x^2)' + (x)' \] - Đạo hàm của \( -x^2 \): \[ (-x^2)' = -2x \] - Đạo hàm của \( x \): \[ (x)' = 1 \] - Kết hợp lại: \[ f'(x) = -2x + 1 \] 2. Tính giá trị đạo hàm tại điểm \( x = -1 \): - Thay \( x = -1 \) vào biểu thức đạo hàm: \[ f'(-1) = -2(-1) + 1 = 2 + 1 = 3 \] Vậy đạo hàm của hàm số \( f(x) = -x^2 + x \) tại điểm \( x = -1 \) là \( f'(-1) = 3 \). Đáp án đúng là: \( A.~f^\prime(-1)=3 \). Câu 20: Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = \frac{1}{3}x^3 - x^2 - 3x + 1 \), ta áp dụng công thức đạo hàm của các hàm đa thức. 1. Đạo hàm của \( \frac{1}{3}x^3 \): \[ \left( \frac{1}{3}x^3 \right)' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 = x^2 \] 2. Đạo hàm của \( -x^2 \): \[ (-x^2)' = -2x \] 3. Đạo hàm của \( -3x \): \[ (-3x)' = -3 \] 4. Đạo hàm của hằng số 1: \[ 1' = 0 \] Gộp lại ta có đạo hàm của hàm số: \[ y' = x^2 - 2x - 3 \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~y' = x^2 - 2x - 3 \] Câu 21: Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = \frac{3x - 4}{2x + 1} \), ta sử dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Trong đó: - \( u = 3x - 4 \) - \( v = 2x + 1 \) Tính đạo hàm của \( u \) và \( v \): - \( u' = 3 \) - \( v' = 2 \) Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(3)(2x + 1) - (3x - 4)(2)}{(2x + 1)^2} \] Thực hiện phép nhân và trừ: \[ y' = \frac{3(2x + 1) - 2(3x - 4)}{(2x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{6x + 3 - 6x + 8}{(2x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{11}{(2x + 1)^2} \] Vậy đạo hàm của hàm số \( y = \frac{3x - 4}{2x + 1} \) là: \[ y' = \frac{11}{(2x + 1)^2} \] Đáp án đúng là: \( C.~y' = \frac{11}{(2x + 1)^2} \). Câu 22: Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x^2 + 2x + 1}{x - 3} \), ta sử dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số. Công thức đạo hàm của thương hai hàm số \( y = \frac{u}{v} \) là: \[ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} \] Trong đó: - \( u = x^2 + 2x + 1 \) - \( v = x - 3 \) Ta tính đạo hàm của \( u \) và \( v \): - \( u' = 2x + 2 \) - \( v' = 1 \) Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(2x + 2)(x - 3) - (x^2 + 2x + 1)(1)}{(x - 3)^2} \] Tính từng phần: \[ (2x + 2)(x - 3) = 2x^2 - 6x + 2x - 6 = 2x^2 - 4x - 6 \] \[ (x^2 + 2x + 1)(1) = x^2 + 2x + 1 \] Thay vào công thức: \[ y' = \frac{2x^2 - 4x - 6 - (x^2 + 2x + 1)}{(x - 3)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 - 4x - 6 - x^2 - 2x - 1}{(x - 3)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 - 6x - 7}{(x - 3)^2} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~y' = \frac{x^2 - 6x - 7}{(x - 3)^2} \] Câu 23: Để tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số \( y = \sin x \), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm cấp 1 của hàm số \( y = \sin x \): \[ y' = \cos x \] 2. Tìm đạo hàm cấp 2 của hàm số bằng cách lấy đạo hàm của đạo hàm cấp 1: \[ y'' = (\cos x)' = -\sin x \] Vậy đạo hàm cấp 2 của hàm số \( y = \sin x \) là: \[ y'' = -\sin x \] Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~y^{\prime\prime}=-\sin x. \] Câu 24: Để tìm hệ số góc \( k \) của tiếp tuyến của parabol \( y = x^2 \) tại điểm có hoành độ \( x = \frac{1}{2} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số \( y = x^2 \): Đạo hàm của \( y = x^2 \) là: \[ y' = 2x \] 2. Tính giá trị của đạo hàm tại điểm \( x = \frac{1}{2} \): Thay \( x = \frac{1}{2} \) vào đạo hàm: \[ y'\left( \frac{1}{2} \right) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1 \] 3. Hệ số góc \( k \) của tiếp tuyến: Hệ số góc \( k \) của tiếp tuyến tại điểm \( x = \frac{1}{2} \) chính là giá trị của đạo hàm tại điểm đó: \[ k = 1 \] Vậy hệ số góc \( k \) của tiếp tuyến của parabol \( y = x^2 \) tại điểm có hoành độ \( x = \frac{1}{2} \) là \( 1 \). Đáp án đúng là: \( B.~k=1 \).