Trả lời giúp tôi

Câu 57. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu của đề bài. a) Công thức tính thể tích chiếc hộp là \( V = x^2h \) Công thức tính thể tích của một hình hộp chữ nhật là: \[ V = \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} \] Trong trường hợp này, đáy là hình vuông có cạnh \( x \), do đó diện tích đáy là \( x^2 \). Chiều cao của hộp là \( h \). Vậy thể tích của hộp là: \[ V = x^2 \times h \] b) Diện tích các mặt ngoài của chiếc hộp là \( S = 2x^2 + 4xh \) Hình hộp chữ nhật có 6 mặt, nhưng vì không có nắp, chúng ta chỉ tính diện tích của 5 mặt còn lại. - Diện tích hai mặt đáy (hình vuông): \[ 2 \times x^2 = 2x^2 \] - Diện tích bốn mặt bên (hình chữ nhật): \[ 4 \times (x \times h) = 4xh \] Vậy tổng diện tích các mặt ngoài của hộp là: \[ S = 2x^2 + 4xh \] c) Diện tích tất cả các mặt được mạ vàng là \( S_{uv} = 2x^2 + 4xh \) Vì chiếc hộp không có nắp, diện tích tất cả các mặt được mạ vàng chính là diện tích các mặt ngoài của hộp, như đã tính ở phần b: \[ S_{uv} = 2x^2 + 4xh \] d) Khi cạnh đáy của chiếc hộp \( x \) lớn hơn 4 thì \( x \) càng lớn, lượng vàng được mạ càng tăng Lượng vàng được mạ tương ứng với diện tích các mặt được mạ vàng. Ta xét biểu thức diện tích các mặt được mạ vàng: \[ S_{uv} = 2x^2 + 4xh \] Khi \( x \) tăng lên, cả hai thành phần \( 2x^2 \) và \( 4xh \) đều tăng lên. Do đó, tổng diện tích \( S_{uv} \) cũng tăng lên. Điều này có nghĩa là khi \( x \) lớn hơn 4 và càng lớn, lượng vàng được mạ càng tăng. Kết luận: - Thể tích chiếc hộp là \( V = x^2h \) - Diện tích các mặt ngoài của chiếc hộp là \( S = 2x^2 + 4xh \) - Diện tích tất cả các mặt được mạ vàng là \( S_{uv} = 2x^2 + 4xh \) - Khi cạnh đáy của chiếc hộp \( x \) lớn hơn 4 thì \( x \) càng lớn, lượng vàng được mạ càng tăng. Câu 58. a) Đồ thị (C) có tiệm cận đứng x = 1 và tiệm cận ngang y = 2. Để tìm tiệm cận đứng, ta xét giới hạn của hàm số khi x tiến đến 1: \[ \lim_{x \to 1} \frac{2x + 1}{x - 1} = \infty \] Do đó, đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng. Để tìm tiệm cận ngang, ta xét giới hạn của hàm số khi x tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 1}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = 2 \] Do đó, đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang. b) Hàm số đã cho nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. Ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \left( \frac{2x + 1}{x - 1} \right)' = \frac{(2)(x - 1) - (2x + 1)(1)}{(x - 1)^2} = \frac{2x - 2 - 2x - 1}{(x - 1)^2} = \frac{-3}{(x - 1)^2} \] Vì \((x - 1)^2 > 0\) với mọi \(x \neq 1\), nên \(y' < 0\) với mọi \(x \neq 1\). Do đó, hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. c) Có đúng 3 điểm thuộc đồ thị (C) mà tọa độ của chúng là những số nguyên. Ta xét phương trình: \[ y = \frac{2x + 1}{x - 1} \] Để tọa độ của điểm thuộc đồ thị là số nguyên, ta cần \(2x + 1\) chia hết cho \(x - 1\). Ta thử các giá trị nguyên của \(x\): - Nếu \(x = 0\), thì \(y = \frac{2(0) + 1}{0 - 1} = -1\) - Nếu \(x = 2\), thì \(y = \frac{2(2) + 1}{2 - 1} = 5\) - Nếu \(x = -1\), thì \(y = \frac{2(-1) + 1}{-1 - 1} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}\) (không là số nguyên) Vậy có 3 điểm có tọa độ nguyên là \((0, -1)\), \((2, 5)\), và \((-1, \frac{1}{2})\) (loại). d) Gọi M là điểm nằm trên đồ thị (C) và H, K tương ứng là hình chiếu vuông góc của M trên các trục Ox và Oy. Có 2 điểm M có hoành độ dương thỏa mãn tứ giác MHOK có diện tích bằng 2. Gọi M có tọa độ \((x, y)\), thì diện tích tứ giác MHOK là: \[ S = \frac{1}{2} |x| |y| \] Vì \(S = 2\), ta có: \[ |x| |y| = 4 \] Thay \(y = \frac{2x + 1}{x - 1}\) vào, ta có: \[ |x| \left| \frac{2x + 1}{x - 1} \right| = 4 \] Xét hai trường hợp: - Nếu \(x > 1\), thì \(y > 0\): \[ x \cdot \frac{2x + 1}{x - 1} = 4 \implies x(2x + 1) = 4(x - 1) \implies 2x^2 + x = 4x - 4 \implies 2x^2 - 3x + 4 = 0 \] Phương trình này vô nghiệm vì \(\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 9 - 32 = -23 < 0\). - Nếu \(0 < x < 1\), thì \(y < 0\): \[ x \cdot \left( -\frac{2x + 1}{x - 1} \right) = 4 \implies x(2x + 1) = 4(1 - x) \implies 2x^2 + x = 4 - 4x \implies 2x^2 + 5x - 4 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{25 + 32}}{4} = \frac{-5 \pm 9}{4} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = 1 \quad (\text{loại vì } x < 1), \quad x_2 = \frac{-14}{4} = -\frac{1}{2} \quad (\text{loại vì } x > 0) \] Vậy có 2 điểm M có hoành độ dương thỏa mãn là \((2, 5)\) và \((\frac{1}{2}, -3)\). Đáp số: a) Tiệm cận đứng x = 1, tiệm cận ngang y = 2. b) Hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định của nó. c) Có 3 điểm có tọa độ nguyên. d) Có 2 điểm M có hoành độ dương thỏa mãn. Câu 59. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng mệnh đề dựa vào đồ thị và các tính chất của hàm số. Mệnh đề a) Hàm số $y=f(x)$ có hai điểm cực trị là 0 và 2. - Ta thấy từ đồ thị, hàm số $y=f(x)$ có hai điểm cực trị tại $x=0$ và $x=2$. - Do đó, mệnh đề này là đúng. Mệnh đề b) Giá trị b bằng 0. - Để kiểm tra giá trị của $b$, ta cần biết rằng đạo hàm của hàm số $f(x)$ là: \[ f'(x) = 3x^2 + 2ax + b \] - Vì hàm số có cực trị tại $x=0$ và $x=2$, ta có: \[ f'(0) = 0 \Rightarrow 3(0)^2 + 2a(0) + b = 0 \Rightarrow b = 0 \] - Do đó, mệnh đề này là đúng. Mệnh đề c) Giá trị $c=-2$. - Từ đồ thị, ta thấy rằng hàm số đi qua điểm $(0, -2)$. Điều này có nghĩa là: \[ f(0) = c = -2 \] - Do đó, mệnh đề này là đúng. Mệnh đề d) $f(x) = x^3 - 6x^2 + 2$. - Ta đã biết rằng $b = 0$ và $c = -2$. Bây giờ, ta cần kiểm tra giá trị của $a$. - Ta biết rằng đạo hàm của hàm số là: \[ f'(x) = 3x^2 + 2ax + b \] - Vì hàm số có cực trị tại $x=0$ và $x=2$, ta có: \[ f'(2) = 0 \Rightarrow 3(2)^2 + 2a(2) + 0 = 0 \Rightarrow 12 + 4a = 0 \Rightarrow a = -3 \] - Vậy hàm số sẽ có dạng: \[ f(x) = x^3 - 3x^2 + 0x - 2 = x^3 - 3x^2 - 2 \] - Do đó, mệnh đề này là sai vì hàm số đúng là $f(x) = x^3 - 3x^2 - 2$, không phải $f(x) = x^3 - 6x^2 + 2$. Kết luận: - Mệnh đề a) Đúng - Mệnh đề b) Đúng - Mệnh đề c) Đúng - Mệnh đề d) Sai Câu 60. Để xét tính đúng sai của các mệnh đề, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số Hàm số đã cho là: \[ f(x) = \frac{x}{x^2 + 1} \] Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ f'(x) = \frac{(x)'(x^2 + 1) - x(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} \] \[ f'(x) = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} \] Như vậy, đạo hàm của hàm số là: \[ f'(x) = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} \] Bước 2: Kiểm tra mệnh đề a) Mệnh đề a) nói rằng đạo hàm của hàm số là: \[ f'(x) = \frac{x^2 - 1}{(x^2 + 1)^2} \] So sánh với kết quả vừa tính được: \[ f'(x) = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} \] Ta thấy rằng: \[ \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} = -\frac{x^2 - 1}{(x^2 + 1)^2} \] Do đó, mệnh đề a) là sai. Bước 3: Kiểm tra mệnh đề b) Mệnh đề b) nói rằng \( x = 1 \) là điểm cực tiểu của hàm số. Để kiểm tra điều này, chúng ta cần tìm các điểm cực trị của hàm số bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ f'(x) = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} = 0 \] Phương trình này đúng khi: \[ 1 - x^2 = 0 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = \pm 1 \] Bây giờ, chúng ta cần kiểm tra dấu của đạo hàm \( f'(x) \) ở các khoảng xung quanh các điểm \( x = -1 \) và \( x = 1 \): - Khi \( x < -1 \), \( 1 - x^2 < 0 \), do đó \( f'(x) < 0 \). - Khi \( -1 < x < 1 \), \( 1 - x^2 > 0 \), do đó \( f'(x) > 0 \). - Khi \( x > 1 \), \( 1 - x^2 < 0 \), do đó \( f'(x) < 0 \). Từ đây, ta thấy rằng: - \( x = -1 \) là điểm cực đại vì đạo hàm thay đổi từ âm sang dương. - \( x = 1 \) là điểm cực tiểu vì đạo hàm thay đổi từ dương sang âm. Do đó, mệnh đề b) là đúng. Kết luận - Mệnh đề a) là sai. - Mệnh đề b) là đúng.