Trả lời giúp tôi

Câu 61. a) Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2 Theo bảng biến thiên, hàm số đạt giá trị cực tiểu tại điểm x = -7 và giá trị cực tiểu là y = 2. Vậy mệnh đề này đúng. b) x = -7 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số Theo bảng biến thiên, khi x tiến đến -7 từ bên trái thì y tiến đến +∞, và khi x tiến đến -7 từ bên phải thì y tiến đến -∞. Điều này cho thấy x = -7 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. Vậy mệnh đề này đúng. c) Đồ thị hàm số có một đường tiệm cận ngang Theo bảng biến thiên, khi x tiến đến +∞ hoặc -∞ thì y tiến đến 1. Điều này cho thấy đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = 1. Vậy mệnh đề này đúng. d) Biết hàm số f(x) có dạng $f(x) = \frac{x^2 + bx + c}{x + 2}$ khi đó $f(1) = \frac{5}{3}$ Để kiểm tra mệnh đề này, ta thay x = 1 vào hàm số $f(x) = \frac{x^2 + bx + c}{x + 2}$ và so sánh kết quả với $\frac{5}{3}$. $f(1) = \frac{1^2 + b \cdot 1 + c}{1 + 2} = \frac{1 + b + c}{3}$ Theo bảng biến thiên, khi x tiến đến +∞ hoặc -∞ thì y tiến đến 1. Điều này cho thấy đường tiệm cận ngang là y = 1, tức là giới hạn của f(x) khi x tiến đến vô cùng là 1. Do đó, ta có: $\lim_{x \to \infty} f(x) = 1$ $\lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + bx + c}{x + 2} = 1$ Chia cả tử và mẫu cho x: $\lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{b}{x} + \frac{c}{x^2}}{\frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}} = 1$ Khi x tiến đến vô cùng, các phân số có x ở mẫu sẽ tiến đến 0: $\frac{1 + 0 + 0}{0 + 0} = 1$ Điều này cho thấy 1 = 1, tức là giới hạn đúng. Bây giờ, ta cần kiểm tra giá trị của f(1): $f(1) = \frac{1 + b + c}{3}$ Theo bảng biến thiên, khi x = 1 thì y = 2. Do đó: $\frac{1 + b + c}{3} = 2$ 1 + b + c = 6 b + c = 5 Ta cũng biết rằng khi x tiến đến -7 từ bên trái thì y tiến đến +∞, và khi x tiến đến -7 từ bên phải thì y tiến đến -∞. Điều này cho thấy x = -7 là đường tiệm cận đứng, tức là mẫu số của hàm số bằng 0 khi x = -7: x + 2 = 0 x = -2 Do đó, ta có: b + c = 5 Vậy ta có thể chọn b = 3 và c = 2 để thỏa mãn điều kiện trên. Thay vào f(1): $f(1) = \frac{1 + 3 + 2}{3} = \frac{6}{3} = 2$ Điều này cho thấy f(1) = 2, không phải $\frac{5}{3}$. Vậy mệnh đề này sai. Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai. Câu 62. a) Trên khoảng $(a;b)$, hàm số có hai cực trị: Đúng. Vì đồ thị hàm số có hai điểm uốn tại $x_1$ và $x_2$, do đó hàm số có hai cực trị. b) Hàm số không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng $(a;b]$: Đúng. Vì đồ thị hàm số tiếp tục tăng khi $x$ tiến gần đến $b$, nên không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng $(a;b]$. c) Hàm số đồng biến trên khoảng $(x_1; x_2)$: Sai. Vì từ $x_1$ đến $x_2$, đồ thị hàm số giảm dần, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(x_1; x_2)$. d) $f'(x_2) > 0$: Sai. Vì tại điểm $x_2$, đồ thị hàm số có điểm uốn và tiếp tuyến phẳng với trục hoành, do đó $f'(x_2) = 0$. Câu 63. Để kiểm tra các mệnh đề về hàm số $y=\frac{x^2+3x+3}{x+1}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Kiểm tra tiệm cận đứng: Tiệm cận đứng của hàm số là những giá trị của $x$ làm mẫu số bằng 0 nhưng tử số không bằng 0. Mẫu số của hàm số là $x + 1$. Ta có: \[ x + 1 = 0 \implies x = -1 \] Tử số của hàm số là $x^2 + 3x + 3$. Thay $x = -1$ vào tử số: \[ (-1)^2 + 3(-1) + 3 = 1 - 3 + 3 = 1 \neq 0 \] Vậy hàm số có tiệm cận đứng tại $x = -1$. Mệnh đề này là đúng. b) Kiểm tra tiệm cận xiên: Tiệm cận xiên của hàm số $y = \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 1}$ được tìm bằng phép chia đa thức. Thực hiện phép chia: \[ \begin{array}{r|rr} & x & + 2 \\ \hline x + 1 & x^2 & + 3x & + 3 \\ & x^2 & + x & \\ \hline & & 2x & + 3 \\ & & 2x & + 2 \\ \hline & & & 1 \\ \end{array} \] Ta có: \[ y = x + 2 + \frac{1}{x + 1} \] Khi $x \to \pm \infty$, $\frac{1}{x + 1} \to 0$, vậy tiệm cận xiên là $y = x + 2$. Mệnh đề này là sai. c) Kiểm tra cực trị: Để tìm cực trị của hàm số, ta tính đạo hàm $y'$ và giải phương trình $y' = 0$. Tính đạo hàm: \[ y = \frac{x^2 + 3x + 3}{x + 1} \] \[ y' = \frac{(2x + 3)(x + 1) - (x^2 + 3x + 3)}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 + 2x + 3x + 3 - x^2 - 3x - 3}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2} \] Giải phương trình $y' = 0$: \[ \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2} = 0 \] \[ x(x + 2) = 0 \] \[ x = 0 \text{ hoặc } x = -2 \] Kiểm tra dấu của $y'$ ở các khoảng $( -\infty, -2 )$, $( -2, -1 )$, $( -1, 0 )$, $( 0, +\infty )$: - Khi $x < -2$: $y' > 0$ - Khi $-2 < x < -1$: $y' < 0$ - Khi $-1 < x < 0$: $y' < 0$ - Khi $x > 0$: $y' > 0$ Vậy hàm số có cực đại tại $x = -2$ và cực tiểu tại $x = 0$. Mệnh đề này là sai. d) Kiểm tra đồ thị: Dựa vào các tính chất đã tìm được (tiệm cận đứng, tiệm cận xiên, cực trị), ta có thể vẽ đồ thị của hàm số. Đồ thị sẽ có tiệm cận đứng tại $x = -1$, tiệm cận xiên là $y = x + 2$, cực đại tại $x = -2$ và cực tiểu tại $x = 0$. Do đó, đồ thị của hàm số sẽ giống như mô tả trong hình vẽ. Mệnh đề này là đúng. Kết luận: - a) Đúng - b) Sai - c) Sai - d) Đúng