Trả lời câu hỏi giúp tôi

Câu 64. Để giải quyết các mệnh đề, chúng ta sẽ dựa vào đồ thị của đạo hàm $f'(x)$ và các tính chất của hàm số liên quan đến đạo hàm. a) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1;2]$ bằng 1. - Đạo hàm $f'(x)$ âm trên khoảng $(0;2)$, do đó hàm số $f(x)$ nghịch biến trên khoảng này. - Đạo hàm $f'(x)$ dương trên khoảng $(-1;0)$, do đó hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng này. - Tại điểm $x = 0$, đạo hàm $f'(x)$ chuyển từ dương sang âm, tức là hàm số đạt cực đại tại đây. - Do đó, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[-1;2]$ sẽ là giá trị của hàm số tại điểm cực đại $x = 0$. Tuy nhiên, từ đồ thị không thể xác định giá trị cụ thể của $f(0)$, nhưng ta biết rằng nó là giá trị lớn nhất trong đoạn này. Suy ra: Mệnh đề a) sai vì không thể khẳng định giá trị lớn nhất là 1 mà không có thêm thông tin về giá trị của $f(0)$. b) Hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-\infty;-1)$. - Từ đồ thị, ta thấy đạo hàm $f'(x)$ dương trên khoảng $(-\infty;-1)$, do đó hàm số $f(x)$ đồng biến trên khoảng này. Suy ra: Mệnh đề b) đúng. c) Hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại $x = 0$. - Đạo hàm $f'(x)$ chuyển từ dương sang âm tại điểm $x = 0$, do đó hàm số đạt cực đại tại đây. Suy ra: Mệnh đề c) đúng. d) $f(0) < f(1)$. - Hàm số $f(x)$ đạt cực đại tại $x = 0$, do đó $f(0)$ là giá trị lớn nhất trong đoạn $[-1;2]$. - Trên khoảng $(0;2)$, hàm số $f(x)$ nghịch biến, do đó $f(1) < f(0)$. Suy ra: Mệnh đề d) sai. Kết luận: - Mệnh đề a) sai. - Mệnh đề b) đúng. - Mệnh đề c) đúng. - Mệnh đề d) sai. Câu 65. a) Đồ thị hàm số $f(x)$ có dạng như sau: - Điểm cực tiểu của hàm số $f(x)$ là $x = -1$. Điều này có nghĩa là tại điểm $x = -1$, đạo hàm $f'(x)$ chuyển từ âm sang dương. b) Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-3;0]$, ta cần xem xét giá trị của hàm số tại các điểm biên và các điểm cực trị trong đoạn này. - Tại $x = -3$: $f(-3) = a(-3)^3 + b(-3)^2 + c(-3) + d = -27a + 9b - 3c + d$ - Tại $x = 0$: $f(0) = d$ - Tại $x = -1$: $f(-1) = a(-1)^3 + b(-1)^2 + c(-1) + d = -a + b - c + d$ Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-3;0]$ là -1. Do đó, ta có: \[ \max(f(-3), f(0), f(-1)) = -1 \] c) Hàm số $g(x) = f(x^2 + \frac{3}{4})$ có đúng 3 điểm cực trị. Điều này có nghĩa là đạo hàm $g'(x)$ có 3 nghiệm thực khác nhau. d) Hàm số $h(x) = \frac{f(x) - 1}{x}$ nghịch biến trên khoảng $(-2024, -1)$. Điều này có nghĩa là đạo hàm $h'(x)$ nhỏ hơn 0 trên khoảng này. Để kiểm tra tính nghịch biến của hàm số $h(x)$, ta tính đạo hàm của $h(x)$: \[ h(x) = \frac{f(x) - 1}{x} \] \[ h'(x) = \frac{x f'(x) - (f(x) - 1)}{x^2} \] Để hàm số $h(x)$ nghịch biến trên khoảng $(-2024, -1)$, ta cần: \[ h'(x) < 0 \text{ trên khoảng } (-2024, -1) \] Từ đồ thị, ta thấy rằng $f(x)$ có hành vi giảm dần trên khoảng $(-2024, -1)$. Do đó, $f'(x) < 0$ trên khoảng này. Vì vậy, ta có: \[ x f'(x) - (f(x) - 1) < 0 \text{ trên khoảng } (-2024, -1) \] Kết luận: a) Điểm cực tiểu của hàm số $f(x)$ là $x = -1$. b) Giá trị lớn nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $[-3;0]$ là -1. c) Hàm số $g(x) = f(x^2 + \frac{3}{4})$ có đúng 3 điểm cực trị. d) Hàm số $h(x) = \frac{f(x) - 1}{x}$ nghịch biến trên khoảng $(-2024, -1)$. Câu 66. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ dựa vào các thông tin từ đồ thị của hàm số $y = \frac{ax^2 + bx + c}{mx + n}$. Dưới đây là các bước chi tiết: 1. Xác định các điểm đặc biệt trên đồ thị: - Đồ thị cắt trục y tại điểm $(0, 1)$, do đó $y(0) = 1$. - Đồ thị có đường tiệm cận đứng tại $x = -1$, do đó $mx + n = 0$ khi $x = -1$. Điều này cho ta $-m + n = 0$ hoặc $n = m$. - Đồ thị có đường tiệm cận ngang tại $y = 2$, do đó khi $x \to \infty$, $\frac{ax^2 + bx + c}{mx + n} \to 2$. Điều này cho ta $\frac{a}{m} = 2$ hoặc $a = 2m$. 2. Xác định các hệ số: - Từ $y(0) = 1$, ta có $\frac{c}{n} = 1$ hoặc $c = n$. - Kết hợp với $n = m$, ta có $c = m$. - Từ $a = 2m$, ta có $a = 2m$. 3. Xác định các hệ số còn lại: - Ta đã biết $a = 2m$, $c = m$, và $n = m$. Bây giờ, ta cần xác định $b$. - Đồ thị đi qua điểm $(0, 1)$, do đó $\frac{c}{n} = 1$. Điều này đã được xác nhận ở trên. - Để xác định $b$, ta cần thêm thông tin từ đồ thị. Giả sử đồ thị đi qua điểm $(1, 0)$, ta có: \[ y(1) = \frac{a(1)^2 + b(1) + c}{m(1) + n} = 0 \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \frac{2m + b + m}{m + m} = 0 \implies \frac{3m + b}{2m} = 0 \implies 3m + b = 0 \implies b = -3m \] 4. Tổng hợp các kết quả: - Ta có $a = 2m$, $b = -3m$, $c = m$, và $n = m$. Do đó, hàm số có dạng: \[ y = \frac{2mx^2 - 3mx + m}{mx + m} \] Đây là phương trình của hàm số dựa trên các thông tin từ đồ thị.