giải chính xác nhất ạ

Câu 1. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( y = \sqrt{x} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Viết lại hàm số dưới dạng lũy thừa: \[ y = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \] 2. Áp dụng công thức nguyên hàm của hàm lũy thừa: Nguyên hàm của \( x^n \) là: \[ \int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] Trong đó, \( n \neq -1 \). 3. Thay \( n = \frac{1}{2} \) vào công thức trên: \[ \int x^{\frac{1}{2}} \, dx = \frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} + C = \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C \] 4. Rút gọn biểu thức: \[ \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} \] 5. Viết lại kết quả cuối cùng: \[ \int \sqrt{x} \, dx = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~\int\sqrt xdx=\frac{2}{3}x\sqrt x+C \] Câu 2. Để xác định hàm số \( F(x) = e^{-2x} \) là nguyên hàm của hàm số nào, chúng ta cần tìm đạo hàm của \( F(x) \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(e^{-2x}) \] Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số mũ \( e^{g(x)} \): \[ \frac{d}{dx}(e^{g(x)}) = g'(x) \cdot e^{g(x)} \] Trong trường hợp này, \( g(x) = -2x \), vậy: \[ g'(x) = -2 \] Do đó: \[ F'(x) = (-2) \cdot e^{-2x} = -2e^{-2x} \] Bước 2: So sánh kết quả với các đáp án đã cho: - Đáp án A: \( f(x) = \frac{e^{-2x}}{-2} \) - Đáp án B: \( f(x) = -e^{-2x} \) - Đáp án C: \( f(x) = 2e^{-2x} \) - Đáp án D: \( f(x) = -2e^{-2x} \) Nhận thấy rằng \( F'(x) = -2e^{-2x} \) trùng khớp với đáp án D. Vậy, hàm số \( F(x) = e^{-2x} \) là nguyên hàm của hàm số \( f(x) = -2e^{-2x} \). Đáp án đúng là: \( D.~f(x) = -2e^{-2x} \). Câu 3. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = x^3 - x$ và đồ thị hàm số $y = x - x^2$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm giao điểm của hai đồ thị Ta giải phương trình: \[x^3 - x = x - x^2\] \[x^3 + x^2 - 2x = 0\] \[x(x^2 + x - 2) = 0\] \[x(x + 2)(x - 1) = 0\] Vậy các giao điểm là: \(x = 0\), \(x = -2\), và \(x = 1\). Bước 2: Xác định khoảng tích phân Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị từ \(x = -2\) đến \(x = 0\) và từ \(x = 0\) đến \(x = 1\). Ta sẽ tính diện tích từng phần rồi cộng lại. Bước 3: Tính diện tích Diện tích \(S\) được tính bằng công thức: \[S = \int_{-2}^{0} [(x - x^2) - (x^3 - x)] \, dx + \int_{0}^{1} [(x - x^2) - (x^3 - x)] \, dx\] Tính từng tích phân: \[S_1 = \int_{-2}^{0} (x - x^2 - x^3 + x) \, dx = \int_{-2}^{0} (2x - x^2 - x^3) \, dx\] \[= \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_{-2}^{0}\] \[= \left( 0 - 0 - 0 \right) - \left( 4 - \frac{-8}{3} - \frac{16}{4} \right)\] \[= 0 - \left( 4 + \frac{8}{3} - 4 \right)\] \[= - \frac{8}{3}\] \[S_2 = \int_{0}^{1} (2x - x^2 - x^3) \, dx\] \[= \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1}\] \[= \left( 1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) - \left( 0 - 0 - 0 \right)\] \[= 1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{4}\] \[= \frac{12}{12} - \frac{4}{12} - \frac{3}{12}\] \[= \frac{5}{12}\] Bước 4: Cộng diện tích các phần \[S = S_1 + S_2 = \left| -\frac{8}{3} \right| + \frac{5}{12}\] \[= \frac{8}{3} + \frac{5}{12}\] \[= \frac{32}{12} + \frac{5}{12}\] \[= \frac{37}{12}\] Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = x^3 - x\) và đồ thị hàm số \(y = x - x^2\) là \(\frac{37}{12}\). Đáp án đúng là: A. \(\frac{37}{12}\) Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần sử dụng tính chất của tích phân. Cụ thể, nếu ta biết giá trị của các tích phân từ 0 đến b và từ 0 đến c, ta có thể suy ra giá trị của tích phân từ 0 đến e dựa trên mối liên hệ giữa các đoạn tích phân. Bước 1: Xác định các giá trị tích phân đã cho: - \(\int^b_0 f(x) \, dx = 2\) - \(\int^c_0 f(x) \, dx = 3\) Bước 2: Xác định mối liên hệ giữa các đoạn tích phân: - Ta cần tìm giá trị của \(\int^e_0 f(x) \, dx\). Bước 3: Áp dụng tính chất của tích phân: - Nếu \(a < b < c < e\), ta có thể viết: \[ \int^e_0 f(x) \, dx = \int^b_0 f(x) \, dx + \int^c_b f(x) \, dx + \int^e_c f(x) \, dx \] Tuy nhiên, trong bài toán này, ta không có thông tin về các đoạn tích phân từ b đến c và từ c đến e. Do đó, ta cần sử dụng các giá trị tích phân đã cho để suy ra giá trị của \(\int^e_0 f(x) \, dx\). Bước 4: Suy ra giá trị của \(\int^e_0 f(x) \, dx\): - Ta thấy rằng \(\int^c_0 f(x) \, dx\) bao gồm cả \(\int^b_0 f(x) \, dx\) và đoạn tích phân từ b đến c. - Do đó, ta có thể viết: \[ \int^c_0 f(x) \, dx = \int^b_0 f(x) \, dx + \int^c_b f(x) \, dx \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ 3 = 2 + \int^c_b f(x) \, dx \] Từ đây, ta suy ra: \[ \int^c_b f(x) \, dx = 1 \] Bước 5: Kết luận giá trị của \(\int^e_0 f(x) \, dx\): - Giả sử đoạn tích phân từ c đến e là 0 (vì không có thông tin cụ thể về đoạn này), ta có: \[ \int^e_0 f(x) \, dx = \int^b_0 f(x) \, dx + \int^c_b f(x) \, dx + \int^e_c f(x) \, dx \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \int^e_0 f(x) \, dx = 2 + 1 + 0 = 3 \] Tuy nhiên, do không có thông tin đầy đủ về đoạn tích phân từ c đến e, ta không thể chắc chắn về giá trị cuối cùng. Vì vậy, ta cần kiểm tra lại các lựa chọn đã cho. Kết luận: Đáp án đúng là B. 1. Đáp số: B. 1. Câu 5. Mặt phẳng $(P):~2x-y-3=0$ có một vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2,-1,0)$. Do đó, đáp án đúng là: C. $\vec{n_3}=(2,-1,0)$. Đáp án: C. $\vec{n_3}=(2,-1,0)$. Câu 6. Để tìm phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB trong không gian, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung điểm của đoạn thẳng AB: - Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là: \[ M = \left( \frac{x_A + x_B}{2}, \frac{y_A + y_B}{2}, \frac{z_A + z_B}{2} \right) \] Thay tọa độ của A và B vào: \[ M = \left( \frac{4 + (-2)}{2}, \frac{0 + 2}{2}, \frac{1 + 3}{2} \right) = \left( \frac{2}{2}, \frac{2}{2}, \frac{4}{2} \right) = (1, 1, 2) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực: - Vectơ AB là: \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (-2 - 4, 2 - 0, 3 - 1) = (-6, 2, 2) \] - Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB sẽ có vectơ pháp tuyến là vectơ AB, tức là: \[ \vec{n} = (-6, 2, 2) \] 3. Viết phương trình mặt phẳng trung trực: - Phương trình mặt phẳng có dạng: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0 \] Trong đó, $(a, b, c)$ là vectơ pháp tuyến và $(x_0, y_0, z_0)$ là tọa độ của điểm trên mặt phẳng. Ta thay $\vec{n} = (-6, 2, 2)$ và điểm M = (1, 1, 2): \[ -6(x - 1) + 2(y - 1) + 2(z - 2) = 0 \] Rút gọn phương trình: \[ -6x + 6 + 2y - 2 + 2z - 4 = 0 \] \[ -6x + 2y + 2z = 0 \] Chia cả phương trình cho 2 để đơn giản hóa: \[ -3x + y + z = 0 \] Đổi dấu để thuận tiện hơn: \[ 3x - y - z = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là: \[ D.~3x - y - z = 0 \] Câu 7. Để xác định đường thẳng \(d\) đi qua điểm nào trong các điểm đã cho, ta sẽ kiểm tra từng điểm xem có thỏa mãn phương trình tham số của đường thẳng \(d\) hay không. Phương trình tham số của đường thẳng \(d\) là: \[ \begin{cases} x = 4 + 2t \\ y = -1 - t \\ z = -2 + 3t \end{cases} \] Ta sẽ lần lượt kiểm tra các điểm \(A(2; -1; 3)\), \(B(-4; 1; 2)\), \(C(-2; -1; 3)\), và \(D(4; -1; -2)\). 1. Kiểm tra điểm \(A(2; -1; 3)\): \[ \begin{cases} 2 = 4 + 2t \\ -1 = -1 - t \\ 3 = -2 + 3t \end{cases} \] Giải phương trình đầu tiên: \[ 2 = 4 + 2t \implies 2t = -2 \implies t = -1 \] Thay \(t = -1\) vào hai phương trình còn lại: \[ -1 = -1 - (-1) \implies -1 = 0 \quad (\text{sai}) \] Do đó, điểm \(A\) không thuộc đường thẳng \(d\). 2. Kiểm tra điểm \(B(-4; 1; 2)\): \[ \begin{cases} -4 = 4 + 2t \\ 1 = -1 - t \\ 2 = -2 + 3t \end{cases} \] Giải phương trình đầu tiên: \[ -4 = 4 + 2t \implies 2t = -8 \implies t = -4 \] Thay \(t = -4\) vào hai phương trình còn lại: \[ 1 = -1 - (-4) \implies 1 = 3 \quad (\text{sai}) \] Do đó, điểm \(B\) không thuộc đường thẳng \(d\). 3. Kiểm tra điểm \(C(-2; -1; 3)\): \[ \begin{cases} -2 = 4 + 2t \\ -1 = -1 - t \\ 3 = -2 + 3t \end{cases} \] Giải phương trình đầu tiên: \[ -2 = 4 + 2t \implies 2t = -6 \implies t = -3 \] Thay \(t = -3\) vào hai phương trình còn lại: \[ -1 = -1 - (-3) \implies -1 = 2 \quad (\text{sai}) \] Do đó, điểm \(C\) không thuộc đường thẳng \(d\). 4. Kiểm tra điểm \(D(4; -1; -2)\): \[ \begin{cases} 4 = 4 + 2t \\ -1 = -1 - t \\ -2 = -2 + 3t \end{cases} \] Giải phương trình đầu tiên: \[ 4 = 4 + 2t \implies 2t = 0 \implies t = 0 \] Thay \(t = 0\) vào hai phương trình còn lại: \[ -1 = -1 - 0 \implies -1 = -1 \quad (\text{đúng}) \] \[ -2 = -2 + 3 \cdot 0 \implies -2 = -2 \quad (\text{đúng}) \] Do đó, điểm \(D\) thuộc đường thẳng \(d\). Vậy đường thẳng \(d\) đi qua điểm \(D(4; -1; -2)\). Đáp án đúng là: D. \(D(4; -1; -2)\). Câu 8. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{a} = (a, b, c) \) là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{array} \right. \] Trong bài này, điểm \( M(2, 0, -1) \) và vectơ chỉ phương \( \vec{a} = (4, -6, 2) \). Áp dụng công thức trên, ta có: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 4t \\ y = 0 - 6t \\ z = -1 + 2t \end{array} \right. \] Do đó, phương trình của đường thẳng là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 4t \\ y = -6t \\ z = -1 + 2t \end{array} \right. \] So sánh với các phương án đã cho, ta thấy phương án đúng là: D. \(\left\{ \begin{array}{l} x = -2 + 4t \\ y = -6t \\ z = 1 + 2t \end{array} \right.\) Tuy nhiên, phương án D không đúng vì nó không thỏa mãn điểm \( M(2, 0, -1) \). Do đó, phương án đúng là: B. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 4t \\ y = -6t \\ z = -1 + 2t \end{array} \right.\) Đáp án: B. \(\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 4t \\ y = -6t \\ z = -1 + 2t \end{array} \right.\) Câu 9. Phương trình của mặt cầu $(S)$ có dạng $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2$, trong đó tâm của mặt cầu là $(a, b, c)$ và bán kính là $R$. So sánh phương trình $(S):~(x-2)^2+(y+1)^2+(z-3)^2=4$ với phương trình chuẩn của mặt cầu, ta nhận thấy: - $(x-2)^2$ tương ứng với $(x-a)^2$, suy ra $a = 2$. - $(y+1)^2$ tương ứng với $(y-b)^2$, suy ra $b = -1$. - $(z-3)^2$ tương ứng với $(z-c)^2$, suy ra $c = 3$. Do đó, tâm của mặt cầu $(S)$ có tọa độ là $(2, -1, 3)$. Vậy đáp án đúng là: \[ D.~(2;-1;3). \] Câu 10. Để tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2+2x-2z-7=0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình dưới dạng tổng bình phương hoàn chỉnh: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến $x$, $y$, và $z$ lại: \[ x^2 + y^2 + z^2 + 2x - 2z - 7 = 0 \] Ta thấy rằng phương trình này có dạng tổng bình phương hoàn chỉnh. Ta sẽ nhóm các hạng tử liên quan đến $x$ và $z$ để hoàn chỉnh bình phương: \[ (x^2 + 2x) + y^2 + (z^2 - 2z) = 7 \] 2. Hoàn chỉnh bình phương: Ta thêm và bớt các hằng số cần thiết để hoàn chỉnh bình phương: \[ (x^2 + 2x + 1 - 1) + y^2 + (z^2 - 2z + 1 - 1) = 7 \] Điều này dẫn đến: \[ (x + 1)^2 - 1 + y^2 + (z - 1)^2 - 1 = 7 \] Gộp các hằng số vào vế phải: \[ (x + 1)^2 + y^2 + (z - 1)^2 - 2 = 7 \] \[ (x + 1)^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 9 \] 3. Nhận dạng phương trình mặt cầu: Phương trình trên có dạng chuẩn của mặt cầu: \[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2 \] So sánh với phương trình đã hoàn chỉnh, ta nhận thấy: \[ (x + 1)^2 + y^2 + (z - 1)^2 = 9 \] Điều này cho thấy tâm của mặt cầu là $I(-1, 0, 1)$ và bán kính là $R = 3$. Vậy, tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu là: \[ A.~I(-1;0;1) \text{ và } R=3. \]