giải chi tiết

Câu 11. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính bằng công thức: \[ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} \] Trong đó: - \( P(AB) \) là xác suất của biến cố cả A và B cùng xảy ra. - \( P(B) \) là xác suất của biến cố B. Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} \] Lập luận từng bước: 1. Xác suất của biến cố A với điều kiện biến cố B đã xảy ra được tính bằng cách chia xác suất của biến cố cả A và B cùng xảy ra cho xác suất của biến cố B. 2. Công thức này phản ánh tỷ lệ phần trăm của các trường hợp cả A và B cùng xảy ra trong tổng số các trường hợp của biến cố B. Vậy đáp án đúng là: \[ A.~P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)} \] Câu 12. Để tính xác suất của biến cố \(A\), ta sử dụng công thức xác suất tổng hợp: \[ P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B}) \] Trước tiên, ta cần biết xác suất của biến cố đối lập \(\overline{B}\): \[ P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,01 = 0,99 \] Bây giờ, ta thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ P(A) = P(A|B) \cdot P(B) + P(A|\overline{B}) \cdot P(\overline{B}) \] \[ P(A) = 0,7 \cdot 0,01 + 0,09 \cdot 0,99 \] Ta thực hiện các phép nhân: \[ 0,7 \cdot 0,01 = 0,007 \] \[ 0,09 \cdot 0,99 = 0,0891 \] Cuối cùng, ta cộng hai kết quả lại: \[ P(A) = 0,007 + 0,0891 = 0,0961 \] Vậy, xác suất của biến cố \(A\) là: \[ P(A) = 0,0961 \] Do đó, đáp án đúng là: B. 0,0961 Câu 1. a) Khoảng cách giữa hai điểm A và B: \[ AB = \sqrt{(4 - 2)^2 + (-1 - 3)^2 + (0 + 4)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16 + 16} = \sqrt{36} = 6 \] b) Phương trình mặt cầu (s) đường kính AB: Trung điểm của AB là tâm của mặt cầu: \[ I = \left( \frac{2 + 4}{2}, \frac{3 - 1}{2}, \frac{-4 + 0}{2} \right) = (3, 1, -2) \] Bán kính của mặt cầu là: \[ R = \frac{AB}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] Phương trình mặt cầu: \[ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 = 3^2 = 9 \] c) Kiểm tra xem mặt cầu (s) có tiếp xúc với mặt phẳng (P) hay không: Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P): \[ d(I, P) = \frac{|3 - 2 \cdot 1 + 2 \cdot (-2) - 15|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2}} = \frac{|3 - 2 - 4 - 15|}{\sqrt{1 + 4 + 4}} = \frac{|-18|}{3} = 6 \] Vì khoảng cách này bằng bán kính của mặt cầu (3), nên mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P). d) Kiểm tra xem điểm M có nằm trong vùng phủ sóng của cả hai trạm hay không: Tính khoảng cách từ M đến A và B: \[ MA = \sqrt{(2 - 2)^2 + (1 - 3)^2 + (-1 + 4)^2} = \sqrt{0 + (-2)^2 + 3^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13} \] \[ MB = \sqrt{(2 - 4)^2 + (1 + 1)^2 + (-1 - 0)^2} = \sqrt{(-2)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \] Vì \( MA < R \) và \( MB < R \), nên điểm M nằm trong vùng phủ sóng của cả hai trạm. Đáp số: a) Khoảng cách giữa hai điểm A và B là 6. b) Phương trình mặt cầu (s) đường kính AB là \((x - 3)^2 + (y - 1)^2 + (z + 2)^2 = 9\). c) Mặt cầu (s) đường kính AB tiếp xúc với mặt phẳng (P). d) Người sử dụng điện thoại tại điểm M(2;1;-1) sử dụng được dịch vụ của trạm phát thu phát sóng. Câu 2. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn một. a) A và B là hai biến cố độc lập. Hai biến cố A và B là độc lập nếu và chỉ nếu: \[ P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \] Trong bài toán, ta có: \[ P(A) = 0,4 \] \[ P(B) = 0,5 \] \[ P(A \cap B) = 0,3 \] Ta kiểm tra: \[ P(A) \times P(B) = 0,4 \times 0,5 = 0,2 \neq 0,3 \] Vậy A và B không phải là hai biến cố độc lập. b) Xác suất để công ty thắng thầu đúng 1 dự án bằng 0,7. Xác suất để công ty thắng thầu đúng 1 dự án là: \[ P(\text{đúng 1 dự án}) = P(A \cap B^c) + P(A^c \cap B) \] Trong đó: \[ P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B) = 0,4 - 0,3 = 0,1 \] \[ P(A^c \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0,5 - 0,3 = 0,2 \] Vậy: \[ P(\text{đúng 1 dự án}) = 0,1 + 0,2 = 0,3 \] Do đó, xác suất để công ty thắng thầu đúng 1 dự án không bằng 0,7. c) Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty thắng thầu dự án 1 là 0,75. Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty thắng thầu dự án 1 là: \[ P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0,3}{0,4} = 0,75 \] d) Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty không thắng thầu dự án 1 là 0,25. Xác suất để công ty không thắng thầu dự án 1 là: \[ P(A^c) = 1 - P(A) = 1 - 0,4 = 0,6 \] Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty không thắng thầu dự án 1 là: \[ P(B|A^c) = \frac{P(A^c \cap B)}{P(A^c)} = \frac{0,2}{0,6} = \frac{1}{3} \approx 0,3333 \] Vậy, trong các lựa chọn trên, chỉ có c) là đúng. Đáp án: c) Xác suất để công ty thắng thầu dự án 2 biết công ty thắng thầu dự án 1 là 0,75. Câu 1. Để tính \( I = \int_{1}^{2024} 2^x \, dx \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( 2^x \). Ta biết rằng: \[ \int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C \] Bước 2: Áp dụng cận trên và cận dưới vào nguyên hàm đã tìm được. \[ I = \left[ \frac{2^x}{\ln 2} \right]_{1}^{2024} \] Bước 3: Thay cận trên và cận dưới vào biểu thức nguyên hàm. \[ I = \frac{2^{2024}}{\ln 2} - \frac{2^1}{\ln 2} \] \[ I = \frac{2^{2024}}{\ln 2} - \frac{2}{\ln 2} \] Bước 4: Viết lại biểu thức theo dạng đã cho trong đề bài. \[ I = \frac{2^{2024} - 2}{\ln 2} \] So sánh với biểu thức \( \frac{2^x + b}{\ln 2} \), ta thấy rằng: \[ 2^{2024} - 2 = 2^x + b \] Do đó: \[ b = -2 \] Bước 5: Xác định giá trị của \( a \). Trong biểu thức \( \frac{2^x + b}{\ln 2} \), ta thấy rằng \( a = 1 \) vì \( 2^x \) là phần nguyên hàm của \( 2^x \). Bước 6: Tính \( a - b \). \[ a - b = 1 - (-2) = 1 + 2 = 3 \] Vậy, \( a - b = 3 \). Câu 2. Để tìm mặt phẳng (P) đi qua hai điểm \( A(2,1,0) \) và \( B(1,0,1) \) và vuông góc với mặt phẳng \( (Q): x + 2y + 3z - 2 = 0 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Q): Mặt phẳng \( (Q): x + 2y + 3z - 2 = 0 \) có vectơ pháp tuyến là \( \vec{n_Q} = (1, 2, 3) \). 2. Tìm vectơ AB: Vectơ \( \overrightarrow{AB} \) từ điểm \( A(2,1,0) \) đến điểm \( B(1,0,1) \): \[ \overrightarrow{AB} = (1 - 2, 0 - 1, 1 - 0) = (-1, -1, 1) \] 3. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) vuông góc với mặt phẳng (Q), do đó vectơ pháp tuyến của (P) phải vuông góc với \( \vec{n_Q} \). Mặt khác, vectơ pháp tuyến của (P) cũng phải vuông góc với \( \overrightarrow{AB} \). Gọi vectơ pháp tuyến của (P) là \( \vec{n_P} = (a, b, 1) \). Ta có: \[ \vec{n_P} \cdot \vec{n_Q} = 0 \quad \text{và} \quad \vec{n_P} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \] Điều kiện \( \vec{n_P} \cdot \vec{n_Q} = 0 \): \[ a \cdot 1 + b \cdot 2 + 1 \cdot 3 = 0 \implies a + 2b + 3 = 0 \quad \text{(1)} \] Điều kiện \( \vec{n_P} \cdot \overrightarrow{AB} = 0 \): \[ a \cdot (-1) + b \cdot (-1) + 1 \cdot 1 = 0 \implies -a - b + 1 = 0 \quad \text{(2)} \] 4. Giải hệ phương trình: Từ phương trình (1) và (2), ta có: \[ \begin{cases} a + 2b + 3 = 0 \\ -a - b + 1 = 0 \end{cases} \] Cộng hai phương trình lại: \[ (a + 2b + 3) + (-a - b + 1) = 0 \implies b + 4 = 0 \implies b = -4 \] Thay \( b = -4 \) vào phương trình (2): \[ -a - (-4) + 1 = 0 \implies -a + 4 + 1 = 0 \implies -a + 5 = 0 \implies a = 5 \] 5. Tính \( a + b \): \[ a + b = 5 + (-4) = 1 \] Vậy, \( a + b = 1 \). Câu 3. Gọi \( p \) là xác suất để hôm nay bạn Tuấn ăn sáng bằng xôi thì hôm sau bạn ăn sáng bằng xôi. Xác suất để hôm nay bạn Tuấn ăn sáng bằng xôi thì hôm sau bạn ăn sáng bằng bún là \( 1 - p \). Xét trong một tuần mà thứ ba bạn Tuấn ăn sáng bằng xôi. Ta sẽ tính xác suất để thứ năm bạn Tuấn ăn sáng bằng bún. - Từ thứ ba đến thứ tư, có hai khả năng: 1. Bạn Tuấn ăn sáng bằng xôi vào thứ tư với xác suất \( p \). 2. Bạn Tuấn ăn sáng bằng bún vào thứ tư với xác suất \( 1 - p \). - Từ thứ tư đến thứ năm, ta cũng có hai khả năng tương tự: 1. Nếu bạn Tuấn ăn sáng bằng xôi vào thứ tư, xác suất để bạn Tuấn ăn sáng bằng bún vào thứ năm là \( 1 - p \). 2. Nếu bạn Tuấn ăn sáng bằng bún vào thứ tư, xác suất để bạn Tuấn ăn sáng bằng bún vào thứ năm là \( q \) (gọi \( q \) là xác suất để hôm nay bạn Tuấn ăn sáng bằng bún thì hôm sau bạn ăn sáng bằng bún). Do đó, xác suất để thứ năm bạn Tuấn ăn sáng bằng bún là: \[ p(1 - p) + (1 - p)q = 0.63 \] Biết rằng xác suất để hôm nay bạn Tuấn ăn sáng bằng xôi thì hôm sau bạn ăn sáng bằng bún là 0.7, tức là \( 1 - p = 0.7 \). Suy ra \( p = 0.3 \). Thay \( p = 0.3 \) vào phương trình trên: \[ 0.3 \times 0.7 + 0.7 \times q = 0.63 \] \[ 0.21 + 0.7q = 0.63 \] \[ 0.7q = 0.63 - 0.21 \] \[ 0.7q = 0.42 \] \[ q = \frac{0.42}{0.7} \] \[ q = 0.6 \] Vậy nếu hôm nay bạn Tuấn ăn sáng bằng bún thì xác suất để hôm sau bạn ăn sáng bằng xôi là: \[ 1 - q = 1 - 0.6 = 0.4 \] Đáp số: 0.4 Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp xác suất. Bước 1: Xác định tất cả các trường hợp có thể xảy ra. - Một gia đình có 2 đứa trẻ, mỗi đứa trẻ có thể là con trai hoặc con gái. - Vậy có 4 trường hợp có thể xảy ra: 1. Cả hai đứa trẻ đều là con trai (trai - trai) 2. Đứa trẻ đầu tiên là con trai, đứa trẻ thứ hai là con gái (trai - gái) 3. Đứa trẻ đầu tiên là con gái, đứa trẻ thứ hai là con trai (gái - trai) 4. Cả hai đứa trẻ đều là con gái (gái - gái) Bước 2: Xác định các trường hợp thỏa mãn điều kiện "có ít nhất 1 đứa trẻ là con trai". - Các trường hợp thỏa mãn điều kiện trên là: 1. Cả hai đứa trẻ đều là con trai (trai - trai) 2. Đức trẻ đầu tiên là con trai, đứa trẻ thứ hai là con gái (trai - gái) 3. Đức trẻ đầu tiên là con gái, đứa trẻ thứ hai là con trai (gái - trai) Bước 3: Tính xác suất của các trường hợp thỏa mãn điều kiện. - Số trường hợp thỏa mãn điều kiện là 3. - Tổng số trường hợp có thể xảy ra là 4. Vậy xác suất có ít nhất 1 đứa trẻ là con trai là: \[ P = \frac{\text{Số trường hợp thỏa mãn điều kiện}}{\text{Tổng số trường hợp có thể xảy ra}} = \frac{3}{4} \] Đáp số: \(\frac{3}{4}\)