Trả lời giúp tôi

Câu 69. Để giải quyết các yêu cầu trong câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Tìm tiệm cận đứng của đồ thị (C) Hàm số $y = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$ có dạng phân thức đại số. Để tìm tiệm cận đứng, ta cần xác định các giá trị của $x$ làm mẫu số bằng 0. Mẫu số là $x + 1$. Ta có: \[ x + 1 = 0 \] \[ x = -1 \] Vậy tiệm cận đứng của đồ thị (C) là đường thẳng $x = -1$. b) Xác định khoảng đồng biến của hàm số Để xác định khoảng đồng biến của hàm số, ta cần tính đạo hàm của hàm số và tìm các khoảng mà đạo hàm dương. Hàm số $y = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$. Ta tính đạo hàm $y'$: \[ y' = \left(\frac{x^2 + x + 1}{x + 1}\right)' \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{(x^2 + x + 1)'(x + 1) - (x^2 + x + 1)(x + 1)'}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{(2x + 1)(x + 1) - (x^2 + x + 1)}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 + 2x + x + 1 - x^2 - x - 1}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2} \] Đạo hàm $y'$ dương khi: \[ \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2} > 0 \] Ta xét dấu của tử số $x(x + 2)$: - $x(x + 2) > 0$ khi $x < -2$ hoặc $x > 0$ Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty, -2)$ và $(0, +\infty)$. c) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[2, 3]$ Ta cần tính giá trị của hàm số tại các điểm biên của đoạn $[2, 3]$ và so sánh chúng để tìm giá trị lớn nhất. Tính giá trị của hàm số tại $x = 2$: \[ y(2) = \frac{2^2 + 2 + 1}{2 + 1} = \frac{4 + 2 + 1}{3} = \frac{7}{3} \approx 2.33 \] Tính giá trị của hàm số tại $x = 3$: \[ y(3) = \frac{3^2 + 3 + 1}{3 + 1} = \frac{9 + 3 + 1}{4} = \frac{13}{4} = 3.25 \] So sánh hai giá trị này, ta thấy $y(3) = 3.25$ là giá trị lớn nhất. Vậy giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[2, 3]$ là $3.25$, đạt được khi $x = 3$. d) Xác định trục đối xứng của đồ thị hàm số Trục đối xứng của đồ thị hàm số thường là đường thẳng đi qua đỉnh của đồ thị. Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta cần kiểm tra xem liệu hàm số có đối xứng qua một đường thẳng nào đó hay không. Ta thấy rằng hàm số $y = \frac{x^2 + x + 1}{x + 1}$ không có dạng đối xứng rõ ràng qua một đường thẳng cố định. Do đó, ta không thể xác định trục đối xứng cụ thể cho hàm số này. Tổng kết a) Tiệm cận đứng của đồ thị (C) là $x = -1$. b) Hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty, -2)$ và $(0, +\infty)$. c) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[2, 3]$ là $3.25$, đạt được khi $x = 3$. d) Không xác định được trục đối xứng cụ thể cho hàm số này. Câu 73. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm khoảng cách trực tiếp từ A đến B: - Ta có AC = 300 m và CB = 400 m. - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ACB: \[ AB = \sqrt{AC^2 + CB^2} = \sqrt{300^2 + 400^2} = \sqrt{90000 + 160000} = \sqrt{250000} = 500 \text{ m} \] 2. Xét trường hợp chèo thuyền từ A đến một điểm D giữa C và B rồi chạy bộ từ D đến B: - Gọi khoảng cách từ C đến D là x (0 ≤ x ≤ 400). - Khi đó, khoảng cách từ D đến B là 400 - x. - Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác vuông ACD: \[ AD = \sqrt{AC^2 + CD^2} = \sqrt{300^2 + x^2} = \sqrt{90000 + x^2} \] - Tổng quãng đường chèo thuyền và chạy bộ là: \[ f(x) = \sqrt{90000 + x^2} + (400 - x) \] 3. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) \): - Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( f(x) \), ta tính đạo hàm của \( f(x) \): \[ f'(x) = \frac{x}{\sqrt{90000 + x^2}} - 1 \] - Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ \frac{x}{\sqrt{90000 + x^2}} = 1 \] \[ x = \sqrt{90000 + x^2} \] \[ x^2 = 90000 + x^2 \] \[ 0 = 90000 \] - Điều này không đúng, do đó ta kiểm tra các giới hạn: - Khi \( x = 0 \): \[ f(0) = \sqrt{90000 + 0^2} + 400 = 300 + 400 = 700 \text{ m} \] - Khi \( x = 400 \): \[ f(400) = \sqrt{90000 + 400^2} + (400 - 400) = \sqrt{90000 + 160000} + 0 = 500 \text{ m} \] 4. So sánh các giá trị: - Khi chèo thuyền trực tiếp từ A đến B: 500 m. - Khi chèo thuyền từ A đến C rồi chạy bộ từ C đến B: 700 m. - Khi chèo thuyền từ A đến D rồi chạy bộ từ D đến B: 500 m (khi x = 400). Như vậy, giá trị nhỏ nhất của tổng quãng đường là 500 m, đạt được khi chèo thuyền trực tiếp từ A đến B hoặc chèo thuyền từ A đến C rồi chạy bộ từ C đến B. Đáp số: 500 m. Câu 70. Để giải quyết các phần của câu hỏi, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần a) Khi \( n = 0 \) thì đồ thị hàm số có tiệm cận xiên là \( y = -x + 1 \) Hàm số đã cho là: \[ y = \frac{-x^2 + 2(0 + 1)x - (0 + 5)}{x - 1} = \frac{-x^2 + 2x - 5}{x - 1} \] Ta thực hiện phép chia đa thức để tìm tiệm cận xiên: \[ \frac{-x^2 + 2x - 5}{x - 1} = -x + 1 + \frac{-4}{x - 1} \] Khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \), \(\frac{-4}{x - 1} \to 0\). Vậy tiệm cận xiên của hàm số là: \[ y = -x + 1 \] Phần b) Khi \( n = 0 \) thì đồ thị hàm số không cắt trục Ox Để đồ thị không cắt trục Ox, phương trình: \[ \frac{-x^2 + 2x - 5}{x - 1} = 0 \] không có nghiệm. Phương trình này tương đương với: \[ -x^2 + 2x - 5 = 0 \] Ta tính \(\Delta\) của phương trình bậc hai: \[ \Delta = 2^2 - 4(-1)(-5) = 4 - 20 = -16 \] Vì \(\Delta < 0\), phương trình không có nghiệm thực. Do đó, đồ thị không cắt trục Ox. Phần c) Để hàm số có cực đại, cực tiểu thì ... Để hàm số có cực đại và cực tiểu, ta cần tìm đạo hàm của hàm số và giải phương trình đạo hàm bằng 0. Hàm số đã cho là: \[ y = \frac{-x^2 + 2(n + 1)x - (n + 5)}{x - 1} \] Ta tính đạo hàm \( y' \): \[ y' = \frac{d}{dx}\left( \frac{-x^2 + 2(n + 1)x - (n + 5)}{x - 1} \right) \] Sử dụng quy tắc thương: \[ y' = \frac{(-2x + 2(n + 1))(x - 1) - (-x^2 + 2(n + 1)x - (n + 5))}{(x - 1)^2} \] Đơn giản hóa: \[ y' = \frac{-2x^2 + 2(n + 1)x + 2x - 2(n + 1) + x^2 - 2(n + 1)x + (n + 5)}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{-x^2 + 2x - 2n - 2 + n + 5}{(x - 1)^2} \] \[ y' = \frac{-x^2 + 2x - n + 3}{(x - 1)^2} \] Để hàm số có cực đại và cực tiểu, ta cần: \[ -x^2 + 2x - n + 3 = 0 \] Phương trình này phải có nghiệm thực, tức là: \[ \Delta = 2^2 - 4(-1)(-n + 3) > 0 \] \[ 4 - 4(-n + 3) > 0 \] \[ 4 + 4n - 12 > 0 \] \[ 4n - 8 > 0 \] \[ n > 2 \] Phần d) Khi \( n = 0 \) tồn tại điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho \( x_1 > 1 \) và độ dài IM ngắn nhất (I là tâm đối xứng của (C)) khi đó tung độ \( y_2 < -4 \) Khi \( n = 0 \), hàm số trở thành: \[ y = \frac{-x^2 + 2x - 5}{x - 1} \] Tâm đối xứng \( I \) của đồ thị là giao điểm của tiệm cận xiên và tiệm cận đứng: \[ y = -x + 1 \] \[ x = 1 \] Thay \( x = 1 \) vào \( y = -x + 1 \): \[ y = -1 + 1 = 0 \] Vậy tâm đối xứng \( I \) là \( (1, 0) \). Để tìm điểm M trên đồ thị sao cho độ dài IM ngắn nhất, ta cần tìm điểm trên đồ thị gần nhất với \( I \). Ta có: \[ y = \frac{-x^2 + 2x - 5}{x - 1} \] Khi \( x_1 > 1 \), ta thay vào: \[ y = \frac{-x^2 + 2x - 5}{x - 1} \] Để \( y_2 < -4 \), ta cần: \[ \frac{-x^2 + 2x - 5}{x - 1} < -4 \] Giải bất phương trình này: \[ -x^2 + 2x - 5 < -4(x - 1) \] \[ -x^2 + 2x - 5 < -4x + 4 \] \[ -x^2 + 6x - 9 < 0 \] \[ x^2 - 6x + 9 > 0 \] \[ (x - 3)^2 > 0 \] Vậy \( x \neq 3 \). Khi đó, \( y_2 < -4 \). Phần e) Giáp chèo thuyền với tốc độ 50m/phút và chạy bộ với tốc độ 100 m/phút. Thời gian Giáp chèo thuyền thẳng đến B là 10 phút. Thời gian chèo thuyền: \[ 10 \text{ phút} \times 50 \text{ m/phút} = 500 \text{ m} \] Thời gian chạy bộ: \[ 10 \text{ phút} \times 100 \text{ m/phút} = 1000 \text{ m} \] Tổng thời gian: \[ 10 \text{ phút} + 10 \text{ phút} = 20 \text{ phút} \] Đáp số: \[ 20 \text{ phút} \] Câu 71. a. Tập xác định của hàm số $y = f(x)$ là $D = (-2; -6)$. b. Thời gian Giáp chèo thuyền từ A đến C rồi chạy bộ từ C đến B là 10 phút. c) Giả sử Giáp chèo thuyền thẳng đến điểm D nằm giữa B và C và cách C một đoạn $d$ (m). d. Một nghiên cứu chỉ ra rằng sau khi tham gia một khóa học, phần trăm kiến thức sinh viên còn nhớ sau 1 tháng kết thúc khóa học được xác định bởi hàm số $y = f(t)$, trong đó $f(t)$ được tính bằng % và $t \leq 24$. Phần trăm kiến thức sinh viên còn nhớ 50% khi $t = 3$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Lập luận từng bước: 1. Xác định tập xác định của hàm số: - Tập xác định của hàm số $y = f(x)$ là $D = (-2; -6)$. 2. Xác định thời gian Giáp chèo thuyền và chạy bộ: - Thời gian Giáp chèo thuyền từ A đến C rồi chạy bộ từ C đến B là 10 phút. 3. Xác định đoạn đường Giáp chèo thuyền: - Giả sử Giáp chèo thuyền thẳng đến điểm D nằm giữa B và C và cách C một đoạn $d$ (m). 4. Xác định hàm số phần trăm kiến thức sinh viên còn nhớ: - Hàm số $y = f(t)$ xác định phần trăm kiến thức sinh viên còn nhớ sau 1 tháng kết thúc khóa học, trong đó $f(t)$ được tính bằng % và $t \leq 24$. - Phần trăm kiến thức sinh viên còn nhớ 50% khi $t = 3$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Đáp số: a. Tập xác định của hàm số $y = f(x)$ là $D = (-2; -6)$. b. Thời gian Giáp chèo thuyền từ A đến C rồi chạy bộ từ C đến B là 10 phút. c) Giả sử Giáp chèo thuyền thẳng đến điểm D nằm giữa B và C và cách C một đoạn $d$ (m). d. Phần trăm kiến thức sinh viên còn nhớ 50% khi $t = 3$ (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị). Câu 72. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các đường tiệm cận: - Đường tiệm cận đứng: \( x = -n \) - Đường tiệm cận ngang: \( y = x + b \) 2. Xác định các điểm đặc biệt trên đồ thị: - Đồ thị cắt trục hoành tại điểm \( (-1, 0) \) và \( (3, 0) \). 3. Tìm các tham số \( b \), \( c \), và \( n \): - Vì đồ thị cắt trục hoành tại \( (-1, 0) \) và \( (3, 0) \), ta có: \[ x^2 + bx + c = (x + 1)(x - 3) = x^2 - 2x - 3 \] Do đó, \( b = -2 \) và \( c = -3 \). - Đường tiệm cận đứng là \( x = -n \). Từ đồ thị, ta thấy đường tiệm cận đứng là \( x = -1 \). Vậy \( n = 1 \). 4. Viết lại hàm số: \[ y = \frac{x^2 - 2x - 3}{x + 1} \] 5. Xác định thời gian nhanh nhất để Giáp đi từ A đến B: - Theo đề bài, thời gian nhanh nhất để Giáp đi từ A đến B xấp xỉ 9,2 phút (kết quả làm tròn đến hàng phần chục). Kết luận: Thời gian nhanh nhất để Giáp đi từ A đến B xấp xỉ 9,2 phút. Câu 74. Câu hỏi: Cho hàm số $f(z)=20\pi z+z$ $a)~f(0)=2f(\frac{\pi}{2})=\frac{\pi}{2}$ b) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'(x)=24nx+1.$ Câu trả lời: a) Ta có: $f(0) = 20\pi \cdot 0 + 0 = 0$ $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 20\pi \cdot \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{2} = 10\pi^2 + \frac{\pi}{2}$ Do đó, $2f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 \left(10\pi^2 + \frac{\pi}{2}\right) = 20\pi^2 + \pi$ Như vậy, $f(0) \neq 2f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ và $2f\left(\frac{\pi}{2}\right) \neq \frac{\pi}{2}$ b) Đạo hàm của hàm số $f(z) = 20\pi z + z$ là: $f'(z) = 20\pi + 1$ Đáp số: a) $f(0) = 0$, $2f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 20\pi^2 + \pi$ b) $f'(z) = 20\pi + 1$