giải chính xác nhất ạ

Câu 4. Để giải bài toán xác suất này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định không gian mẫu: - Gọi T là trai, G là gái. - Các trường hợp có thể xảy ra là: (T, T), (T, G), (G, T), (G, G). 2. Xác định các trường hợp thuận lợi: - Biết rằng có ít nhất 1 đứa trẻ là con gái, vậy các trường hợp có thể xảy ra là: (T, G), (G, T), (G, G). 3. Xác định số trường hợp thuận lợi: - Số trường hợp có ít nhất 1 đứa trẻ là con gái: 3 trường hợp (T, G), (G, T), (G, G). - Số trường hợp cả hai đứa trẻ đều là con gái: 1 trường hợp (G, G). 4. Tính xác suất: - Xác suất để cả hai đứa trẻ đều là con gái là: \[ P = \frac{\text{số trường hợp thuận lợi}}{\text{số trường hợp có thể xảy ra}} = \frac{1}{3} \] 5. Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất: - \(\frac{1}{3} \approx 0.3\) Vậy xác suất để cả hai đứa trẻ đều là con gái là 0.3. Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình đường thẳng đi qua hai điểm 4(5, 0, 5) và 8(10, 10, 3). 2. Tìm giao điểm của đường thẳng đó với mặt phẳng Oxy (tức là z = 0). Bước 1: Xác định phương trình đường thẳng Phương trình tham số của đường thẳng đi qua hai điểm \( A(5, 0, 5) \) và \( B(10, 10, 3) \) có dạng: \[ \begin{cases} x = 5 + t(10 - 5) \\ y = 0 + t(10 - 0) \\ z = 5 + t(3 - 5) \end{cases} \] \[ \begin{cases} x = 5 + 5t \\ y = 10t \\ z = 5 - 2t \end{cases} \] Bước 2: Tìm giao điểm với mặt phẳng Oxy (z = 0) Thay \( z = 0 \) vào phương trình \( z = 5 - 2t \): \[ 5 - 2t = 0 \] \[ 2t = 5 \] \[ t = \frac{5}{2} \] Bước 3: Thay \( t = \frac{5}{2} \) vào phương trình tham số để tìm tọa độ giao điểm M(a, đ, 0): \[ x = 5 + 5 \left(\frac{5}{2}\right) = 5 + \frac{25}{2} = \frac{10}{2} + \frac{25}{2} = \frac{35}{2} = 17.5 \] \[ y = 10 \left(\frac{5}{2}\right) = \frac{50}{2} = 25 \] \[ z = 0 \] Vậy tọa độ giao điểm M là \( (17.5, 25, 0) \). Do đó, giá trị của \( a + đ \) là: \[ a + đ = 17.5 + 25 = 42.5 \] Đáp số: \( 42.5 \) Câu 2. Gọi \( A \) là sự kiện "sản phẩm lấy ra do máy thứ nhất sản xuất". Gọi \( B \) là sự kiện "sản phẩm lấy ra do máy thứ hai sản xuất". Gọi \( C \) là sự kiện "sản phẩm lấy ra đạt tiêu chuẩn". Ta có: - \( P(A) = 0,6 \) - \( P(B) = 0,4 \) - \( P(C|A) = 0,9 \) (xác suất sản phẩm đạt tiêu chuẩn khi lấy từ máy thứ nhất) - \( P(C|B) = 0,85 \) (xác suất sản phẩm đạt tiêu chuẩn khi lấy từ máy thứ hai) Theo công thức xác suất tổng, ta có: \[ P(C) = P(A) \cdot P(C|A) + P(B) \cdot P(C|B) \] \[ P(C) = 0,6 \cdot 0,9 + 0,4 \cdot 0,85 \] \[ P(C) = 0,54 + 0,34 \] \[ P(C) = 0,88 \] Bây giờ, ta cần tìm xác suất \( P(A|C) \), tức là xác suất sản phẩm do máy thứ nhất sản xuất khi biết rằng sản phẩm đạt tiêu chuẩn. Theo công thức Bayes, ta có: \[ P(A|C) = \frac{P(A) \cdot P(C|A)}{P(C)} \] \[ P(A|C) = \frac{0,6 \cdot 0,9}{0,88} \] \[ P(A|C) = \frac{0,54}{0,88} \] \[ P(A|C) \approx 0,6136 \] Làm tròn đến hàng phần trăm, ta có: \[ P(A|C) \approx 0,61 \] Vậy xác suất để sản phẩm đó do máy thứ nhất sản xuất là 0,61 hoặc 61%. Câu 3. Để tính khả năng một người dân của tỉnh X bị bệnh phổi, chúng ta sẽ sử dụng quy tắc xác suất tổng hợp. Cụ thể, chúng ta sẽ tính xác suất của hai trường hợp: người dân nghiện thuốc lá và bị bệnh phổi, và người dân không nghiện thuốc lá nhưng vẫn bị bệnh phổi. Bước 1: Tính xác suất người dân nghiện thuốc lá và bị bệnh phổi. - Xác suất người dân nghiện thuốc lá là 20% hoặc 0,2. - Xác suất người nghiện thuốc lá bị bệnh phổi là 70% hoặc 0,7. - Vậy xác suất người dân nghiện thuốc lá và bị bệnh phổi là: \[ P(\text{nghiện thuốc lá và bị bệnh phổi}) = 0,2 \times 0,7 = 0,14 \] Bước 2: Tính xác suất người dân không nghiện thuốc lá và bị bệnh phổi. - Xác suất người dân không nghiện thuốc lá là 80% hoặc 0,8. - Xác suất người không nghiện thuốc lá bị bệnh phổi là 15% hoặc 0,15. - Vậy xác suất người dân không nghiện thuốc lá nhưng bị bệnh phổi là: \[ P(\text{không nghiện thuốc lá và bị bệnh phổi}) = 0,8 \times 0,15 = 0,12 \] Bước 3: Tính tổng xác suất người dân bị bệnh phổi. - Tổng xác suất người dân bị bệnh phổi là tổng của hai xác suất trên: \[ P(\text{bị bệnh phổi}) = 0,14 + 0,12 = 0,26 \] Vậy, khả năng một người dân của tỉnh X bị bệnh phổi là 26%. Đáp số: 26% Câu 1. Để tìm nguyên hàm \( F(x) \) của hàm số \( f(x) \), ta cần xác định \( F(x) \) sao cho \( F'(x) = f(x) \). Trong bài này, ta đã biết \( F\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 \). Ta xét từng đáp án để kiểm tra điều kiện \( F\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 \): A. \( F(x) = \cos x - \sin x + 3 \) Kiểm tra tại \( x = \frac{\pi}{2} \): \[ F\left( \frac{\pi}{2} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) - \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) + 3 = 0 - 1 + 3 = 2 \] B. \( F(x) = -\cos x + \sin x + 3 \) Kiểm tra tại \( x = \frac{\pi}{2} \): \[ F\left( \frac{\pi}{2} \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) + \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) + 3 = 0 + 1 + 3 = 4 \] C. \( F(x) = -\cos x + \sin x - 1 \) Kiểm tra tại \( x = \frac{\pi}{2} \): \[ F\left( \frac{\pi}{2} \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) + \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) - 1 = 0 + 1 - 1 = 0 \] D. \( F(x) = -\cos x + \sin x + 1 \) Kiểm tra tại \( x = \frac{\pi}{2} \): \[ F\left( \frac{\pi}{2} \right) = -\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) + \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) + 1 = 0 + 1 + 1 = 2 \] Như vậy, cả hai đáp án A và D đều thỏa mãn điều kiện \( F\left( \frac{\pi}{2} \right) = 2 \). Tuy nhiên, ta cần kiểm tra thêm xem \( F'(x) \) có đúng là \( f(x) \) không. A. \( F(x) = \cos x - \sin x + 3 \) \[ F'(x) = -\sin x - \cos x \] D. \( F(x) = -\cos x + \sin x + 1 \) \[ F'(x) = \sin x + \cos x \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~F(x) = -\cos x + \sin x + 1} \] Câu 2. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 7^x \), ta sử dụng công thức nguyên hàm của hàm mũ \( a^x \): \[ \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \] Áp dụng vào bài toán: \[ \int 7^x \, dx = \frac{7^x}{\ln 7} + C \] Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~\int 7^x \, dx = \frac{7^x}{\ln 7} + C \] Tiếp theo, ta cần tính tích phân \( I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} [f(x) + 2 \sin x] \, dx \). Biết rằng \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx = 5 \), ta có: \[ I = \int_0^{\frac{\pi}{2}} [f(x) + 2 \sin x] \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx + \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin x \, dx \] Ta đã biết: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(x) \, dx = 5 \] Bây giờ, tính \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin x \, dx \): \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} 2 \sin x \, dx = 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx \] Biết rằng: \[ \int \sin x \, dx = -\cos x + C \] Do đó: \[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = [-\cos x]_0^{\frac{\pi}{2}} = -\cos \left( \frac{\pi}{2} \right) + \cos(0) = -0 + 1 = 1 \] Vậy: \[ 2 \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin x \, dx = 2 \times 1 = 2 \] Cuối cùng, ta có: \[ I = 5 + 2 = 7 \] Đáp số: \( I = 7 \). Câu 3. Để tính tích phân \( I = \int_{0}^{\pi} (\sin x + 2) \, dx \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm nguyên hàm của \( f(x) = \sin x + 2 \): - Nguyên hàm của \( \sin x \) là \( -\cos x \). - Nguyên hàm của hằng số 2 là \( 2x \). Vậy, nguyên hàm của \( f(x) \) là: \[ F(x) = -\cos x + 2x + C \] 2. Áp dụng công thức tính tích phân xác định: \[ I = \left[ -\cos x + 2x \right]_{0}^{\pi} \] 3. Thay cận trên và cận dưới vào nguyên hàm: \[ I = \left( -\cos(\pi) + 2\pi \right) - \left( -\cos(0) + 2 \cdot 0 \right) \] 4. Tính giá trị tại các điểm: - \( \cos(\pi) = -1 \) - \( \cos(0) = 1 \) Do đó: \[ I = \left( -(-1) + 2\pi \right) - \left( -(1) + 0 \right) \] \[ I = (1 + 2\pi) - (-1) \] \[ I = 1 + 2\pi + 1 \] \[ I = 2 + 2\pi \] 5. So sánh với các đáp án: - Đáp án A: \( I = 7 \) - Đáp án B: \( I = 5 + \frac{\pi}{2} \) - Đáp án C: \( I = 3 \) - Đáp án D: \( I = 5 + \pi \) Kết quả \( I = 2 + 2\pi \) không khớp với bất kỳ đáp án nào trong các lựa chọn đã cho. Vì vậy, có thể có lỗi trong đề bài hoặc các đáp án đã cho. Kết luận: \[ I = 2 + 2\pi \] Đáp án đúng không nằm trong các lựa chọn đã cho. Câu 4. Để tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D giới hạn bởi đường cong $y = \sqrt{x^2 + 1}$, trục hoành và các đường thẳng $x = 0$, $x = 1$ quanh trục hoành, ta sử dụng công thức thể tích khối tròn xoay: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó: - $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ - Giới hạn tích phân từ $a = 0$ đến $b = 1$ Bước 1: Tính $[f(x)]^2$: \[ [f(x)]^2 = (\sqrt{x^2 + 1})^2 = x^2 + 1 \] Bước 2: Áp dụng công thức thể tích: \[ V = \pi \int_{0}^{1} (x^2 + 1) \, dx \] Bước 3: Tính tích phân: \[ \int_{0}^{1} (x^2 + 1) \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{0}^{1} \] \[ = \left( \frac{1^3}{3} + 1 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0 \right) \] \[ = \left( \frac{1}{3} + 1 \right) - 0 \] \[ = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} \] Bước 4: Nhân với $\pi$ để tìm thể tích: \[ V = \pi \cdot \frac{4}{3} = \frac{4\pi}{3} \] Vậy thể tích V của khối tròn xoay là: \[ V = \frac{4\pi}{3} \]