Trả lời câu hỏi giúp tôi

Câu 1. Phương trình của đường thẳng đi qua điểm $M(1;-3;5)$ và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow u(2;-1;1)$ là: \[ \frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z-5}{1} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \textcircled{C.}~\frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z-5}{1} \] Câu 2. Phương trình của mặt phẳng (P) là $x - 3y - z + 8 = 0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) sẽ có dạng $(a, b, c)$ sao cho phương trình mặt phẳng có thể viết dưới dạng $ax + by + cz + d = 0$. So sánh phương trình $x - 3y - z + 8 = 0$ với dạng tổng quát $ax + by + cz + d = 0$, ta thấy rằng: - $a = 1$ - $b = -3$ - $c = -1$ Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là $\overrightarrow{n} = (1, -3, -1)$. Trong các lựa chọn đã cho: - A. $\overrightarrow{n}_1 = (1, -3, 1)$ - B. $\overrightarrow{n}_2 = (1, -3, -1)$ - C. $\overrightarrow{n}_3 = (1, -3, 8)$ - D. $\overrightarrow{n}_4 = (1, 3, 8)$ Chúng ta thấy rằng vectơ $\overrightarrow{n}_2 = (1, -3, -1)$ chính là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~\overrightarrow{n}_2 = (1, -3, -1)} \] Câu 3. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow a$ được xác định dựa trên các thành phần của nó theo các đơn vị vectơ cơ bản $\overrightarrow i$, $\overrightarrow j$, và $\overrightarrow k$. Trong bài toán này, ta có: \[ \overrightarrow a = -\overrightarrow i + 2\overrightarrow j - 3\overrightarrow k \] Từ đó, ta thấy rằng: - Thành phần theo hướng $\overrightarrow i$ là -1. - Thành phần theo hướng $\overrightarrow j$ là 2. - Thành phần theo hướng $\overrightarrow k$ là -3. Do đó, tọa độ của vectơ $\overrightarrow a$ là (-1, 2, -3). Vậy đáp án đúng là: \[ D.~(-1;2;-3). \] Câu 4. Để xác định phương trình tham số của đường thẳng Oy trong không gian Oxyz, chúng ta cần hiểu rằng đường thẳng Oy nằm trên trục y và đi qua gốc tọa độ O(0,0,0). Phương trình tham số của đường thẳng Oy sẽ có dạng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y = t \\ z = 0 \end{array} \right. \] với \( t \in \mathbb{R} \). Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng phương án để xác định phương án đúng: - Phương án A: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = t \\ y = t \\ z = t \end{array} \right. \] Điều này không đúng vì đường thẳng Oy chỉ thay đổi theo y và không thay đổi theo x và z. - Phương án B: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y = 2 + t \\ z = 0 \end{array} \right. \] Điều này không đúng vì đường thẳng Oy bắt đầu từ điểm (0,0,0) và không có phần dịch chuyển cố định như 2 ở y. - Phương án C: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y = 0 \\ z = t \end{array} \right. \] Điều này không đúng vì đường thẳng Oy nằm trên trục y, không phải trục z. - Phương án D: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = t \\ y = 0 \\ z = 0 \end{array} \right. \] Điều này không đúng vì đường thẳng Oy nằm trên trục y, không phải trục x. Do đó, phương án đúng là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 0 \\ y = t \\ z = 0 \end{array} \right. \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{C} \] Câu 5. Phương trình tổng quát của mặt phẳng trong không gian với hệ tọa độ Oxyz có dạng: \[ Ax + By + Cz + D = 0 \] trong đó \( A, B, C, D \) là các hằng số thực và \( A, B, C \) không đồng thời bằng 0. Ta sẽ kiểm tra từng phương trình để xác định phương trình tổng quát của mặt phẳng: A. \( 2x + y^2 + z + 1 = 0 \) - Phương trình này có \( y^2 \), tức là có biến \( y \) ở dạng bậc hai, do đó không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng. B. \( x^2 + y + z + 2 = 0 \) - Phương trình này có \( x^2 \), tức là có biến \( x \) ở dạng bậc hai, do đó không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng. C. \( 2x + y + z + 3 = 0 \) - Phương trình này có dạng \( Ax + By + Cz + D = 0 \) với \( A = 2, B = 1, C = 1, D = 3 \). Do đó, đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng. D. \( 2x + y + z^2 + 4 = 0 \) - Phương trình này có \( z^2 \), tức là có biến \( z \) ở dạng bậc hai, do đó không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Vậy phương trình tổng quát của mặt phẳng là: \[ \boxed{C.~2x + y + z + 3 = 0} \] Câu 6. Để tìm phương trình đường thẳng đi qua điểm \( A(-1;2;1) \) đồng thời vuông góc với đoạn thẳng \( BC \) và trục \( Oy \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ \( \overrightarrow{BC} \): \[ \overrightarrow{BC} = C - B = (-2 - 2; 1 + 1; 2 - 3) = (-4; 2; -1) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa đường thẳng cần tìm: Vì đường thẳng cần tìm vuông góc với cả \( \overrightarrow{BC} \) và trục \( Oy \) (vectơ đơn vị của trục \( Oy \) là \( \mathbf{j} = (0, 1, 0) \)), ta tính tích vector của hai vectơ này để tìm vectơ pháp tuyến: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{BC} \times \mathbf{j} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -4 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2 \cdot 0 - (-1) \cdot 1) - \mathbf{j}((-4) \cdot 0 - (-1) \cdot 0) + \mathbf{k}((-4) \cdot 1 - 2 \cdot 0) \] \[ = \mathbf{i}(0 + 1) - \mathbf{j}(0) + \mathbf{k}(-4) = (1, 0, -4) \] 3. Phương trình tham số của đường thẳng: Đường thẳng đi qua điểm \( A(-1; 2; 1) \) và có vectơ phương là \( \overrightarrow{n} = (1, 0, -4) \): \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -1 + t \\ y = 2 \\ z = 1 - 4t \end{array} \right. \] So sánh với các phương án đã cho, ta thấy phương án đúng là: \[ A.\left\{\begin{array}{l} x = -1 + t \\ y = 2 \\ z = 1 + 4t \end{array}\right. \] Nhưng do ta đã tính toán và thấy rằng \( z = 1 - 4t \), nên phương án đúng là: \[ C.\left\{\begin{array}{l} x = -1 - t \\ y = 0 \\ z = 1 - 4t \end{array}\right. \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.\left\{\begin{array}{l} x = -1 - t \\ y = 0 \\ z = 1 - 4t \end{array}\right. \] Câu 7. Để tìm phương trình mặt cầu (S) tâm I và đi qua M, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm bán kính của mặt cầu: - Bán kính của mặt cầu là khoảng cách từ tâm I đến điểm M. - Ta tính khoảng cách giữa hai điểm I(1;4;0) và M(1;4;-2): \[ R = \sqrt{(1-1)^2 + (4-4)^2 + (0-(-2))^2} = \sqrt{0 + 0 + 4} = \sqrt{4} = 2 \] 2. Viết phương trình mặt cầu: - Phương trình mặt cầu tâm I(a,b,c) và bán kính R là: \[ (x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = R^2 \] - Thay tâm I(1,4,0) và bán kính R = 2 vào phương trình trên: \[ (x-1)^2 + (y-4)^2 + z^2 = 2^2 \] \[ (x-1)^2 + (y-4)^2 + z^2 = 4 \] Vậy phương trình của mặt cầu (S) là: \[ (x-1)^2 + (y-4)^2 + z^2 = 4 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~(x-1)^2+(y-4)^2+z^2=4 \] Câu 8. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow a - \overrightarrow b$, ta thực hiện phép trừ từng thành phần tương ứng của hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow a$ là $(2; 1)$ và tọa độ của vectơ $\overrightarrow b$ là $(3; -1)$. Ta có: \[ \overrightarrow a - \overrightarrow b = (2 - 3; 1 - (-1)) = (2 - 3; 1 + 1) = (-1; 2) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow a - \overrightarrow b$ là $(-1; 2)$. Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~\overrightarrow a - \overrightarrow b = (-1; 2) \] Câu 9. Phương trình của mặt cầu (S) có tâm $I(-2;3;0)$ và bán kính bằng 2 là: \[ (x + 2)^2 + (y - 3)^2 + z^2 = 4 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~(x+2)^2+(y-3)^2+z^2=4. \] Câu 10. Để tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của điểm A và điểm B: - Điểm A có tọa độ $(2, -1, 0)$. - Điểm B có tọa độ $(1, 1, -3)$. 2. Áp dụng công thức tính tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) \] 3. Thay tọa độ của điểm A và điểm B vào công thức: \[ \overrightarrow{AB} = (1 - 2, 1 - (-1), -3 - 0) \] 4. Tính toán từng thành phần: \[ x_{\overrightarrow{AB}} = 1 - 2 = -1 \] \[ y_{\overrightarrow{AB}} = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2 \] \[ z_{\overrightarrow{AB}} = -3 - 0 = -3 \] 5. Kết luận tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$: \[ \overrightarrow{AB} = (-1, 2, -3) \] Vậy tọa độ của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là $(-1, 2, -3)$.