Ncncncncmcmcmc

Câu 5. Để xác định vectơ nào không phải là vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$, ta cần kiểm tra xem mỗi vectơ có cùng phương với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a} = (2, -4, -6)$ hay không. Hai vectơ cùng phương nếu tỉ số của các thành phần tương ứng của chúng bằng nhau. - Kiểm tra vectơ $\overrightarrow{B}_1 = (1, -2, -3)$: \[ \frac{1}{2} = \frac{-2}{-4} = \frac{-3}{-6} = \frac{1}{2} \] Vậy $\overrightarrow{B}_1$ cùng phương với $\overrightarrow{a}$. - Kiểm tra vectơ $\overrightarrow{u}_1 = (-1, 2, 3)$: \[ \frac{-1}{2} = \frac{2}{-4} = \frac{3}{-6} = -\frac{1}{2} \] Vậy $\overrightarrow{u}_1$ cùng phương với $\overrightarrow{a}$. - Kiểm tra vectơ $\overrightarrow{B}_1 = (-2, -4, 6)$: \[ \frac{-2}{2} = -1, \quad \frac{-4}{-4} = 1, \quad \frac{6}{-6} = -1 \] Các tỉ số không bằng nhau, do đó $\overrightarrow{B}_1$ không cùng phương với $\overrightarrow{a}$. - Kiểm tra vectơ $\widehat{B}_4 = (-3, 6, 9)$: \[ \frac{-3}{2} = -\frac{3}{2}, \quad \frac{6}{-4} = -\frac{3}{2}, \quad \frac{9}{-6} = -\frac{3}{2} \] Vậy $\widehat{B}_4$ cùng phương với $\overrightarrow{a}$. Do đó, vectơ không phải là vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow{B}_1 = (-2, -4, 6)$. Đáp án đúng là: C. $\overrightarrow{B}_1 = (-2, -4, 6)$. Câu 6. Phương pháp giải: - Xác định tâm và bán kính của mặt cầu từ phương trình đã cho. Lời giải chi tiết: Mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^2 + (y - 4)^2 + (z - 1)^2 = 25$. So sánh với phương trình tổng quát của mặt cầu $(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = R^2$, ta nhận thấy: - Tâm của mặt cầu là $I(a, b, c) = I(0, 4, 1)$. - Bán kính của mặt cầu là $R = \sqrt{25} = 5$. Vậy tọa độ tâm $I$ và bán kính $R$ của mặt cầu $(S)$ là: $\textcircled{D.}~I(0;4;1),~R=5$. Câu 7. Để tìm xác suất của biến cố \( A \cap B \) (hay \( P(A \cap B) \)), ta sử dụng công thức xác suất điều kiện. Theo công thức này, ta có: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) \] Trong đó: - \( P(A) \) là xác suất của biến cố \( A \). - \( P(B|A) \) là xác suất của biến cố \( B \) khi biết rằng biến cố \( A \) đã xảy ra. Do đó, biểu thức đúng là: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) \] So sánh với các lựa chọn đã cho: A. \( \frac{P(A)P(B)A)}{P(B)} \) B. \( \frac{P(B) \cdot P(B|A)}{P(A)} \) C. \( \frac{P(B)}{P(A) \cdot P(B|A)} \) D. \( \frac{P(A)}{P(B) \cdot P(B|A)} \) Chúng ta thấy rằng biểu thức đúng là: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) \] Điều này tương ứng với lựa chọn B: \[ \frac{P(B) \cdot P(B|A)}{P(A)} \] Tuy nhiên, để chính xác hơn, ta nên viết lại biểu thức này theo đúng công thức ban đầu: \[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B} \] Câu 8. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ về các khái niệm liên quan đến thống kê mô tả, đặc biệt là số trung vị và tứ phân vị. 1. Số trung vị: Là giá trị nằm ở giữa của một dãy số đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần. Nếu số lượng giá trị là lẻ, số trung vị là giá trị ở chính giữa. Nếu số lượng giá trị là chẵn, số trung vị là trung bình cộng của hai giá trị ở chính giữa. 2. Tứ phân vị: Chia dãy số thành 4 phần bằng nhau. - Tứ phân vị thứ nhất (Q1): 25% giá trị trong mẫu số liệu nhỏ hơn hoặc bằng Q1. - Tứ phân vị thứ ba (Q3): 75% giá trị trong mẫu số liệu nhỏ hơn hoặc bằng Q3. Trong bài toán này, ta biết rằng 75% giá trị trong mẫu số liệu nhỏ hơn 4 và 25% giá trị trong mẫu số liệu lớn hơn số #. Điều này cho thấy số phải là tứ phân vị thứ ba (Q3). Lập luận từng bước: - 75% giá trị trong mẫu số liệu nhỏ hơn 4, tức là 4 là giá trị mà 75% các giá trị trong mẫu số liệu nhỏ hơn hoặc bằng nó. Do đó, 4 là tứ phân vị thứ ba (Q3). - 25% giá trị trong mẫu số liệu lớn hơn số #, tức là số là giá trị mà 25% các giá trị trong mẫu số liệu lớn hơn hoặc bằng nó. Do đó, số cũng là tứ phân vị thứ ba (Q3). Vậy, số là tứ phân vị thứ ba (Q3). Đáp án đúng là: D. Tứ phân vị thứ ba. Câu 9. Khi độ chênh lệch các số liệu trong mẫu quá lớn, ta thường chọn đại lượng thích hợp để đại diện cho các số liệu trong mẫu là số trung vị. Lý do: - Số trung bình (trung bình cộng) có thể bị ảnh hưởng mạnh bởi các giá trị cực đoan (giá trị rất lớn hoặc rất nhỏ), làm méo mó đại diện cho tập dữ liệu. - Số trung vị là giá trị ở giữa của tập dữ liệu khi sắp xếp theo thứ tự tăng dần hoặc giảm dần. Do đó, nó ít bị ảnh hưởng bởi các giá trị cực đoan hơn so với số trung bình. - Phương sai và độ lệch chuẩn là đại lượng đo mức độ phân tán của các số liệu, không phải là đại lượng đại diện cho giá trị trung tâm của tập dữ liệu. Vậy đáp án đúng là: B. Số trung vị. Câu 10. Để tính diện tích của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$, trục Ox và các đường thẳng $x = a$, $x = b$ ($a < b$), ta sử dụng phương pháp tích phân. Diện tích $S$ của hình phẳng này được tính bằng công thức: \[ S = \int_a^b |f(x)| \, dx \] Giải thích từng bước: 1. Điều kiện xác định: Đảm bảo rằng $f(x)$ liên tục trên đoạn $[a, b]$. 2. Tích phân: Tích phân của $|f(x)|$ từ $a$ đến $b$ sẽ cho diện tích giữa đồ thị hàm số và trục Ox. Do đó, đáp án đúng là: \[ A.~S = \int_a^b |f(x)| \, dx \] Đáp án: \( A.~S = \int_a^b |f(x)| \, dx \) Câu 11. Để ước lượng trung bình số câu trả lời đúng của các học sinh lớp 11A1, chúng ta sẽ tính trung bình cộng của số câu trả lời đúng dựa trên dữ liệu đã cho. Bước 1: Xác định trung điểm của mỗi khoảng: - Khoảng [16, 21): Trung điểm là $\frac{16 + 21}{2} = 18.5$ - Khoảng [21, 26]: Trung điểm là $\frac{21 + 26}{2} = 23.5$ - Khoảng [26, 31): Trung điểm là $\frac{26 + 31}{2} = 28.5$ - Khoảng [31, 36): Trung điểm là $\frac{31 + 36}{2} = 33.5$ - Khoảng [36, 41): Trung điểm là $\frac{36 + 41}{2} = 38.5$ Bước 2: Tính tổng số câu trả lời đúng của tất cả các học sinh: - Số học sinh trong khoảng [16, 21) là 4, tổng số câu trả lời đúng là $4 \times 18.5 = 74$ - Số học sinh trong khoảng [21, 26] là 6, tổng số câu trả lời đúng là $6 \times 23.5 = 141$ - Số học sinh trong khoảng [26, 31) là 8, tổng số câu trả lời đúng là $8 \times 28.5 = 228$ - Số học sinh trong khoảng [31, 36) là 18, tổng số câu trả lời đúng là $18 \times 33.5 = 603$ - Số học sinh trong khoảng [36, 41) là 4, tổng số câu trả lời đúng là $4 \times 38.5 = 154$ Bước 3: Tính tổng số câu trả lời đúng của tất cả các học sinh: Tổng số câu trả lời đúng = $74 + 141 + 228 + 603 + 154 = 1200$ Bước 4: Tính số lượng học sinh: Tổng số học sinh = $4 + 6 + 8 + 18 + 4 = 40$ Bước 5: Tính trung bình số câu trả lời đúng: Trung bình số câu trả lời đúng = $\frac{1200}{40} = 30$ Vậy, ước lượng trung bình số câu trả lời đúng của các học sinh lớp 11A1 là 30. Đáp án: A. 30. Câu 12. Giả sử \(a\), \(b\), \(c\) là ba số hạng liên tiếp của một cấp số cộng. Ta có: \[ b = \frac{a + c}{2} \] Biết rằng: \[ a + b^2 + c = 15 \] Thay \(b = \frac{a + c}{2}\) vào phương trình trên: \[ a + \left(\frac{a + c}{2}\right)^2 + c = 15 \] Nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ mẫu số: \[ 4a + (a + c)^2 + 4c = 60 \] Phát triển bình phương: \[ 4a + a^2 + 2ac + c^2 + 4c = 60 \] Sắp xếp lại các hạng tử: \[ a^2 + 2ac + c^2 + 4a + 4c = 60 \] Nhận thấy rằng \(a^2 + 2ac + c^2 = (a + c)^2\): \[ (a + c)^2 + 4(a + c) = 60 \] Gọi \(x = a + c\), ta có: \[ x^2 + 4x = 60 \] Di chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ x^2 + 4x - 60 = 0 \] Phương trình này là một phương trình bậc hai. Ta giải phương trình này bằng cách sử dụng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Trong đó \(a = 1\), \(b = 4\), và \(c = -60\): \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-60)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 240}}{2} \] \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{256}}{2} \] \[ x = \frac{-4 \pm 16}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x = \frac{12}{2} = 6 \] \[ x = \frac{-20}{2} = -10 \] Vì \(a + c\) là tổng của hai số hạng trong một cấp số cộng, nên \(x = 6\) là giá trị hợp lý (vì \(x = -10\) không hợp lý trong ngữ cảnh này). Do đó, \(a + c = 6\). Thay trở lại: \[ b = \frac{a + c}{2} = \frac{6}{2} = 3 \] Vậy giá trị của \(R\) là 6. Đáp án đúng là: D. 6. Câu 1. a) Đúng vì vectơ $\overrightarrow{n}=(1,-1,2)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P): x - y + 2z - 1 = 0$. b) Sai vì đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (P) có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u} = (1, -1, 2)$, không phải là $\overrightarrow{u} = (-1, 1, 2)$. c) Sai vì đường thẳng đi qua điểm $A(3, 1, 1)$ và vuông góc với mặt phẳng (P) có phương trình là: \[ \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z - 1}{2} \] d) Sai vì để kiểm tra điểm $H(2, 3, 1)$ có phải là hình chiếu vuông góc của điểm $A(3, 1, 1)$ trên mặt phẳng (P), ta cần kiểm tra hai điều kiện: 1. Điểm $H$ nằm trên mặt phẳng (P). 2. Đường thẳng $AH$ vuông góc với mặt phẳng (P). Kiểm tra điều kiện thứ nhất: Thay tọa độ của điểm $H(2, 3, 1)$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$: \[ 2 - 3 + 2 \cdot 1 - 1 = 0 \] \[ 2 - 3 + 2 - 1 = 0 \] \[ 0 = 0 \] Điều kiện này đúng, vậy điểm $H$ nằm trên mặt phẳng (P). Kiểm tra điều kiện thứ hai: Vectơ $\overrightarrow{AH}$ là: \[ \overrightarrow{AH} = (2 - 3, 3 - 1, 1 - 1) = (-1, 2, 0) \] Để đường thẳng $AH$ vuông góc với mặt phẳng (P), vectơ $\overrightarrow{AH}$ phải vuông góc với vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (1, -1, 2)$ của mặt phẳng (P). Ta kiểm tra tích vô hướng: \[ \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{n} = (-1) \cdot 1 + 2 \cdot (-1) + 0 \cdot 2 = -1 - 2 + 0 = -3 \neq 0 \] Vậy $\overrightarrow{AH}$ không vuông góc với $\overrightarrow{n}$, do đó điểm $H$ không phải là hình chiếu vuông góc của điểm $A$ trên mặt phẳng (P). Kết luận: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai. Câu 2. Để giải quyết yêu cầu của bạn, tôi cần biết cụ thể hơn về các hình nào đang được đề cập. Tuy nhiên, dựa trên các quy tắc đã đưa ra, tôi sẽ giả định rằng chúng ta đang làm việc với một bài toán liên quan đến hình học hoặc đại số. Dưới đây là một ví dụ về cách giải quyết một bài toán đại số theo các quy tắc đã nêu: Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \). Giải: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Biểu thức \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) là một đa thức bậc hai, do đó nó xác định trên toàn bộ tập số thực \( \mathbb{R} \). Vậy ĐKXĐ là \( x \in \mathbb{R} \). 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Biểu thức \( f(x) = -x^2 + 4x + 5 \) là một hàm bậc hai có dạng \( ax^2 + bx + c \) với \( a = -1 \), \( b = 4 \), và \( c = 5 \). Vì \( a < 0 \), hàm số này có giá trị lớn nhất tại đỉnh của parabol. Tọa độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) là \( x = -\frac{b}{2a} \). Ta tính: \[ x = -\frac{4}{2(-1)} = 2 \] Thay \( x = 2 \) vào biểu thức \( f(x) \): \[ f(2) = -(2)^2 + 4(2) + 5 = -4 + 8 + 5 = 9 \] Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \( f(x) \) là 9, đạt được khi \( x = 2 \). Đáp số: Giá trị lớn nhất của biểu thức là 9, đạt được khi \( x = 2 \). Nếu bạn cung cấp thêm thông tin về các hình cụ thể, tôi sẽ có thể giúp bạn giải quyết bài toán một cách chi tiết hơn.