Djxjncncnccn

Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần theo yêu cầu. Phần a) Tìm đạo hàm của hàm số \( f(x) = 2\sin x - x \) Ta có: \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(2\sin x - x) = 2\cos x - 1 \] Phần b) Giải phương trình \( f'(x) = 0 \) Ta có: \[ f'(x) = 0 \] \[ 2\cos x - 1 = 0 \] \[ 2\cos x = 1 \] \[ \cos x = \frac{1}{2} \] Giải phương trình \( \cos x = \frac{1}{2} \): \[ x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \] Phần c) Tìm tập hợp nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \) trên đoạn \([0; \pi]\) Trên đoạn \([0; \pi]\), ta có: \[ x = \frac{\pi}{3} \] Vậy tập hợp nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \) trên đoạn \([0; \pi]\) là: \[ \left\{ \frac{\pi}{3} \right\} \] Phần d) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = 2\sin x - x \) trên đoạn \([0; \pi]\) Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) \) trên đoạn \([0; \pi]\), ta cần kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên và điểm cực trị trong đoạn. - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = 2\sin 0 - 0 = 0 \] - Tại \( x = \pi \): \[ f(\pi) = 2\sin \pi - \pi = 0 - \pi = -\pi \] - Tại \( x = \frac{\pi}{3} \): \[ f\left( \frac{\pi}{3} \right) = 2\sin \left( \frac{\pi}{3} \right) - \frac{\pi}{3} = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} \] So sánh các giá trị: \[ f(0) = 0 \] \[ f(\pi) = -\pi \] \[ f\left( \frac{\pi}{3} \right) = \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} \] Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là \( -\pi \). Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = 2\sin x - x \) trên đoạn \([0; \pi]\) là: \[ -\pi \] Tuy nhiên, theo đề bài, giá trị nhỏ nhất được cho là \( \sqrt{3} - \frac{\pi}{3} \). Do đó, có thể có sự nhầm lẫn hoặc sai sót trong đề bài. Tuy nhiên, dựa vào các tính toán trên, giá trị nhỏ nhất đúng là \( -\pi \). Kết luận: - Đạo hàm của hàm số \( f(x) = 2\sin x - x \) là \( f'(x) = 2\cos x - 1 \). - Phương trình \( f'(x) = 0 \) có nghiệm \( x = \pm \frac{\pi}{3} + k2\pi \quad (k \in \mathbb{Z}) \). - Tập hợp nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \) trên đoạn \([0; \pi]\) là \( \left\{ \frac{\pi}{3} \right\} \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = 2\sin x - x \) trên đoạn \([0; \pi]\) là \( -\pi \). Câu 2: Để tính thể tích của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = 0 \), \( y = \sqrt{x} \), \( x = 0 \), và \( x = 4 \) quanh trục Ox, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định diện tích của hình phẳng: - Hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = 0 \), \( y = \sqrt{x} \), \( x = 0 \), và \( x = 4 \). 2. Tính thể tích của khối tròn xoay: - Khi quay một hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = f(x) \), \( y = 0 \), \( x = a \), và \( x = b \) quanh trục Ox, thể tích \( V \) của khối tròn xoay được tính bằng công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] - Trong trường hợp này, \( f(x) = \sqrt{x} \), \( a = 0 \), và \( b = 4 \). Do đó, ta có: \[ V_1 = \pi \int_{0}^{4} (\sqrt{x})^2 \, dx \] 3. Thực hiện phép tích phân: - Ta có: \[ V_1 = \pi \int_{0}^{4} x \, dx \] - Tích phân của \( x \) từ 0 đến 4 là: \[ \int_{0}^{4} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} = \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{16}{2} = 8 \] - Vậy: \[ V_1 = \pi \cdot 8 = 8\pi \] Kết luận: Thể tích của khối tròn xoay được tạo ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = 0 \), \( y = \sqrt{x} \), \( x = 0 \), và \( x = 4 \) quanh trục Ox là \( 8\pi \).