Giup mik voi

Câu 2. a) O.ABC là hình chóp đều. - Ta có OA = OB = OC = a, do đó đáy ABC là tam giác đều. - Mặt khác, các tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một, nên các mặt bên OAB, OBC, OCA đều là tam giác vuông cân tại O. - Do đó, O.ABC là hình chóp đều. Đáp án: Đúng. b) Tam giác ABC có diện tích $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$. - Tam giác ABC là tam giác đều với cạnh bằng a. - Diện tích của tam giác đều là $\frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2$. Do đó, $S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2$, không phải là $\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$. Đáp án: Sai. c) Tam giác ABC có chu vi $2p = \frac{3a\sqrt{2}}{2}$. - Tam giác ABC là tam giác đều với cạnh bằng a. - Chu vi của tam giác đều là $3 \times a$. Do đó, $2p = 3a$, không phải là $\frac{3a\sqrt{2}}{2}$. Đáp án: Sai. d) Ba mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) vuông góc với nhau từng đôi một. - Các tia Ox, Oy, Oz vuông góc với nhau từng đôi một, do đó các mặt phẳng (OAB), (OBC), (OCA) cũng vuông góc với nhau từng đôi một. Đáp án: Đúng. Tóm lại: - a) Đúng. - b) Sai. - c) Sai. - d) Đúng. Câu 3. Để giải quyết các mệnh đề về phương trình \(3^x = m + 1\), chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. a) Phương trình có nghiệm dương nếu \(m > 0\). - Điều kiện để phương trình \(3^x = m + 1\) có nghiệm dương là \(m + 1 > 1\), tức là \(m > 0\). - Do đó, mệnh đề này là đúng. b) Phương trình luôn có nghiệm với mọi \(m\). - Phương trình \(3^x = m + 1\) có nghiệm khi \(m + 1 > 0\), tức là \(m > -1\). - Nếu \(m \leq -1\), phương trình không có nghiệm vì \(3^x\) luôn dương. - Do đó, mệnh đề này là sai. c) Phương trình luôn có nghiệm duy nhất \(x = \log_3(m + 1)\). - Phương trình \(3^x = m + 1\) có nghiệm duy nhất \(x = \log_3(m + 1)\) khi \(m + 1 > 0\), tức là \(m > -1\). - Do đó, mệnh đề này là đúng. d) Phương trình có nghiệm với \(m \geq -1\). - Phương trình \(3^x = m + 1\) có nghiệm khi \(m + 1 > 0\), tức là \(m > -1\). - Nếu \(m = -1\), phương trình trở thành \(3^x = 0\), không có nghiệm. - Do đó, mệnh đề này là sai. Tóm lại: - Mệnh đề a) là đúng. - Mệnh đề b) là sai. - Mệnh đề c) là đúng. - Mệnh đề d) là sai. Câu 4. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta cần tìm vận tốc và gia tốc của chuyển động từ phương trình chuyển động \( S(t) = t^3 - 3t^2 - 9t + 2 \). 1. Tìm vận tốc \( v(t) \): \[ v(t) = \frac{dS}{dt} = 3t^2 - 6t - 9 \] 2. Tìm gia tốc \( a(t) \): \[ a(t) = \frac{dv}{dt} = 6t - 6 \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: a) Vận tốc của chuyển động bằng 0 khi \( t = 0s \) hoặc \( t = 2s \). Ta giải phương trình \( v(t) = 0 \): \[ 3t^2 - 6t - 9 = 0 \] Chia cả hai vế cho 3: \[ t^2 - 2t - 3 = 0 \] Phương trình này có thể được phân tích thành: \[ (t - 3)(t + 1) = 0 \] Do đó: \[ t = 3 \quad \text{hoặc} \quad t = -1 \] Như vậy, vận tốc của chuyển động bằng 0 khi \( t = 3s \) hoặc \( t = -1s \). Mệnh đề này sai. b) Gia tốc của chuyển động tại thời điểm \( t = 3s \) là \( 12~m/s^2 \). Ta thay \( t = 3 \) vào phương trình gia tốc: \[ a(3) = 6 \cdot 3 - 6 = 18 - 6 = 12 \] Như vậy, gia tốc của chuyển động tại thời điểm \( t = 3s \) là \( 12~m/s^2 \). Mệnh đề này đúng. c) Gia tốc của chuyển động bằng \( 0~m/s^2 \) khi \( t = 0s \). Ta thay \( t = 0 \) vào phương trình gia tốc: \[ a(0) = 6 \cdot 0 - 6 = -6 \] Như vậy, gia tốc của chuyển động không bằng \( 0~m/s^2 \) khi \( t = 0s \). Mệnh đề này sai. d) Vận tốc của chuyển động tại thời điểm \( t = 2s \) là \( v = 18~m/s \). Ta thay \( t = 2 \) vào phương trình vận tốc: \[ v(2) = 3 \cdot 2^2 - 6 \cdot 2 - 9 = 3 \cdot 4 - 12 - 9 = 12 - 12 - 9 = -9 \] Như vậy, vận tốc của chuyển động tại thời điểm \( t = 2s \) là \( -9~m/s \). Mệnh đề này sai. Kết luận: - Mệnh đề a) sai. - Mệnh đề b) đúng. - Mệnh đề c) sai. - Mệnh đề d) sai. Câu 1. Để thí sinh được trên 5 điểm, số câu trả lời đúng phải lớn hơn 7 câu. Vì vậy, chúng ta sẽ tính xác suất cho các trường hợp sau: - Thí sinh trả lời đúng 8 câu. - Thí sinh trả lời đúng 9 câu. - Thí sinh trả lời đúng 10 câu. Xác suất để trả lời đúng một câu là $\frac{1}{4}$, và xác suất để trả lời sai một câu là $\frac{3}{4}$. 1. Xác suất để trả lời đúng 8 câu và sai 2 câu: \[ P_8 = \binom{10}{8} \left( \frac{1}{4} \right)^8 \left( \frac{3}{4} \right)^2 \] 2. Xác suất để trả lời đúng 9 câu và sai 1 câu: \[ P_9 = \binom{10}{9} \left( \frac{1}{4} \right)^9 \left( \frac{3}{4} \right)^1 \] 3. Xác suất để trả lời đúng 10 câu: \[ P_{10} = \binom{10}{10} \left( \frac{1}{4} \right)^{10} \left( \frac{3}{4} \right)^0 \] Tổng xác suất để thí sinh được trên 5 điểm là: \[ P = P_8 + P_9 + P_{10} \] Ta tính từng phần: \[ P_8 = \binom{10}{8} \left( \frac{1}{4} \right)^8 \left( \frac{3}{4} \right)^2 = 45 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^8 \cdot \left( \frac{3}{4} \right)^2 = 45 \cdot \frac{1}{65536} \cdot \frac{9}{16} = 45 \cdot \frac{9}{1048576} = \frac{405}{1048576} \] \[ P_9 = \binom{10}{9} \left( \frac{1}{4} \right)^9 \left( \frac{3}{4} \right)^1 = 10 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^9 \cdot \left( \frac{3}{4} \right) = 10 \cdot \frac{1}{262144} \cdot \frac{3}{4} = 10 \cdot \frac{3}{1048576} = \frac{30}{1048576} \] \[ P_{10} = \binom{10}{10} \left( \frac{1}{4} \right)^{10} \left( \frac{3}{4} \right)^0 = 1 \cdot \left( \frac{1}{4} \right)^{10} \cdot 1 = 1 \cdot \frac{1}{1048576} = \frac{1}{1048576} \] Tổng xác suất: \[ P = \frac{405}{1048576} + \frac{30}{1048576} + \frac{1}{1048576} = \frac{436}{1048576} = \frac{109}{262144} \] Vậy xác suất để thí sinh được trên 5 điểm là: \[ \boxed{\frac{109}{262144}} \] Câu 2. Để tính góc phẳng nhị diện [B,SA,C], ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định trực giao của hai mặt phẳng: - Mặt phẳng (SAC) có SC là đường cao hạ từ S xuống đáy ABCD, do đó SC ⊥ (ABCD). - Mặt phẳng (SAB) cũng có SA là đường thẳng nằm trong mặt phẳng này. 2. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng: - Giao tuyến của (SAC) và (SAB) là SA. 3. Tìm góc giữa hai mặt phẳng: - Góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SAB) là góc giữa hai đường thẳng AC và AB, vì AC và AB đều nằm trong mặt phẳng (ABCD). 4. Tính góc giữa hai đường thẳng AC và AB: - Vì ABCD là hình vuông cạnh 2a, nên AC và AB tạo thành góc 90°. 5. Tính góc phẳng nhị diện: - Góc phẳng nhị diện [B,SA,C] là góc giữa hai đường thẳng hạ từ B và C xuống SA, song song với AC và AB. Do đó, góc phẳng nhị diện [B,SA,C] là 90°. Đáp số: Góc phẳng nhị diện [B,SA,C] là 90°. Câu 3. Để tính khoảng cách từ S đến DM, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích tam giác SMD: - Ta biết rằng \( SA \perp (ABCD) \) và \( SA = 2a \). - \( ABCD \) là hình vuông cạnh \( a \), do đó \( AC = a\sqrt{2} \). - \( O \) là tâm của \( ABCD \), vậy \( OA = OB = OC = OD = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \). - \( M \) là trung điểm của \( OC \), do đó \( OM = \frac{OC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{4} \). 2. Diện tích tam giác SOD: - Diện tích tam giác \( SOD \) là: \[ S_{SOD} = \frac{1}{2} \times SA \times OD = \frac{1}{2} \times 2a \times \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2} \] 3. Diện tích tam giác SMC: - Diện tích tam giác \( SMC \) là: \[ S_{SMC} = \frac{1}{2} \times SA \times MC = \frac{1}{2} \times 2a \times \frac{a\sqrt{2}}{4} = \frac{a^2\sqrt{2}}{4} \] 4. Diện tích tam giác SMD: - Diện tích tam giác \( SMD \) là: \[ S_{SMD} = S_{SOD} - S_{SMC} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2} - \frac{a^2\sqrt{2}}{4} = \frac{a^2\sqrt{2}}{4} \] 5. Diện tích tam giác SMD theo công thức Heron: - Ta tính độ dài các cạnh của tam giác \( SMD \): \[ SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{(2a)^2 + a^2} = \sqrt{4a^2 + a^2} = \sqrt{5a^2} = a\sqrt{5} \] \[ MD = \sqrt{MO^2 + OD^2} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{2}}{4}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{8} + \frac{a^2}{2}} = \sqrt{\frac{a^2}{8} + \frac{4a^2}{8}} = \sqrt{\frac{5a^2}{8}} = \frac{a\sqrt{10}}{4} \] \[ SM = \sqrt{SO^2 + OM^2} = \sqrt{(2a)^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{4}\right)^2} = \sqrt{4a^2 + \frac{a^2}{8}} = \sqrt{\frac{32a^2}{8} + \frac{a^2}{8}} = \sqrt{\frac{33a^2}{8}} = \frac{a\sqrt{33}}{4} \] 6. Diện tích tam giác SMD theo công thức Heron: - Bán kính \( p \) của tam giác \( SMD \): \[ p = \frac{SD + MD + SM}{2} = \frac{a\sqrt{5} + \frac{a\sqrt{10}}{4} + \frac{a\sqrt{33}}{4}}{2} = \frac{4a\sqrt{5} + a\sqrt{10} + a\sqrt{33}}{8} \] - Diện tích tam giác \( SMD \): \[ S_{SMD} = \sqrt{p(p-SD)(p-MD)(p-SM)} \] 7. Khoảng cách từ S đến DM: - Khoảng cách từ \( S \) đến \( DM \) là: \[ d(S, DM) = \frac{2 \times S_{SMD}}{DM} = \frac{2 \times \frac{a^2\sqrt{2}}{4}}{\frac{a\sqrt{10}}{4}} = \frac{a^2\sqrt{2}}{a\sqrt{10}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{10}} = \frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{5}} = \frac{a}{\sqrt{5}} = \frac{a\sqrt{5}}{5} \] Vậy khoảng cách từ \( S \) đến \( DM \) là \( \frac{a\sqrt{5}}{5} \). Câu 4. Để tìm số chữ số của số Fermat \( F_0 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định \( F_0 \) Theo công thức \( F_n = 2^{2^n} + 1 \), ta có: \[ F_0 = 2^{2^0} + 1 = 2^1 + 1 = 3 \] Bước 2: Xác định số chữ số của \( F_0 \) Số \( F_0 = 3 \) có 1 chữ số. Vậy, số chữ số của \( F_0 \) là 1. Đáp số: 1 chữ số. Câu 5. Đầu tiên, ta viết lại hàm số đúng là $y = -x^3 + 3x^2$. Tiếp theo, ta tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = (-x^3 + 3x^2)' = -3x^2 + 6x \] Đường thẳng $x - 9y + 2021 = 0$ có dạng $y = \frac{1}{9}x + \frac{2021}{9}$, vậy hệ số góc của nó là $\frac{1}{9}$. Vì $d_1$ và $d_2$ vuông góc với đường thẳng này, nên hệ số góc của $d_1$ và $d_2$ sẽ là $-9$ (vì tích của hai hệ số góc vuông góc là $-1$). Do đó, ta có: \[ -3x^2 + 6x = -9 \] \[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \] \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} \] \[ x = 3 \text{ hoặc } x = -1 \] Ta thay các giá trị $x$ vào hàm số để tìm các điểm tiếp xúc: - Khi $x = 3$, $y = -(3)^3 + 3(3)^2 = -27 + 27 = 0$. Vậy điểm tiếp xúc là $(3, 0)$. - Khi $x = -1$, $y = -(-1)^3 + 3(-1)^2 = 1 + 3 = 4$. Vậy điểm tiếp xúc là $(-1, 4)$. Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(3, 0)$: \[ y - 0 = -9(x - 3) \] \[ y = -9x + 27 \] Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(-1, 4)$: \[ y - 4 = -9(x + 1) \] \[ y = -9x - 9 + 4 \] \[ y = -9x - 5 \] Hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ có cùng hệ số góc $-9$, do đó chúng song song nhau. Ta tính khoảng cách giữa hai đường thẳng song song này: \[ d = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Trong đó, $A = -9$, $B = 1$, $c_1 = 27$, $c_2 = -5$. \[ d = \frac{|27 - (-5)|}{\sqrt{(-9)^2 + 1^2}} = \frac{|27 + 5|}{\sqrt{81 + 1}} = \frac{32}{\sqrt{82}} = \frac{32}{\sqrt{82}} = \frac{32\sqrt{82}}{82} = \frac{16\sqrt{82}}{41} \] Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng $d_1$ và $d_2$ là $\frac{16\sqrt{82}}{41}$. Câu 6. Để tính đạo hàm của hàm số \( y = x^2 + x + 1 \), ta áp dụng công thức đạo hàm của tổng và từng thành phần của nó. Bước 1: Xác định đạo hàm của mỗi thành phần trong tổng: - Đạo hàm của \( x^2 \) là \( 2x \). - Đạo hàm của \( x \) là \( 1 \). - Đạo hàm của hằng số \( 1 \) là \( 0 \). Bước 2: Cộng các đạo hàm lại theo công thức đạo hàm của tổng: \[ y' = (x^2)' + (x)' + (1)' \] \[ y' = 2x + 1 + 0 \] Bước 3: Kết luận: \[ y' = 2x + 1 \] Vậy đạo hàm của hàm số \( y = x^2 + x + 1 \) là \( y' = 2x + 1 \).