Cho đường tròn (O; R) và điểm A nằm ngoài (O) sao cho OA = 2R. Từ A vẽ hai tiếp tuyến AB, AC đến (O) (A, B là tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của OA và BC.Giúp mình với! c) Qua O vẽ đường thẳng vuông gó...

Phúc Lê

a) Chứng minh tứ giác $ABOC$ nội tiếp và suy ra $OA \perp BC$ tại $H$.

- $AB$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $B$ nên $\angle ABO = 90^\circ$.

- $AC$ là tiếp tuyến của $(O)$ tại $C$ nên $\angle ACO = 90^\circ$.

Suy ra $\widehat{ABO} + \widehat{ACO} = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$.

Vậy tứ giác $ABOC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$.

$AB = AC$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau tại $A$)

$OB = OC = R$.

Vậy $OA$ là đường trung trực của $BC$ nên $OA \perp BC$ tại $H$.

b) Chứng minh $AB^2 = AH.AO$ và tính $AH$ theo $R$.

Xét $\Delta ABO$ vuông tại $B$ có đường cao $BH$, ta có:

$AB^2 = AH.AO$ (hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Ta có $OA = 2R$, $\Delta ABO$ vuông tại $B$ nên:

$AB = \sqrt{OA^2 - OB^2} = \sqrt{(2R)^2 - R^2} = \sqrt{4R^2 - R^2} = \sqrt{3R^2} = R\sqrt{3}$

$\Delta ABO$ vuông tại $B$ có đường cao $BH$ nên $OB^2 = OH.OA$.

Suy ra $OH = \dfrac{OB^2}{OA} = \dfrac{R^2}{2R} = \dfrac{R}{2}$

$AH = OA - OH = 2R - \dfrac{R}{2} = \dfrac{3R}{2}$

c) Qua $O$ vẽ đường thẳng vuông góc với $OA$ cắt đường thẳng $AB$ tại $D$. Gọi $Q$ là giao điểm của $DH$ và $OB$. Tính diện tích tam giác $QOA$ theo $R$?

Vì $OD \perp OA$, $AB \perp BO$, gọi $I$ là giao điểm của $OA$ và $OD$.

Xét $\Delta ADO$, ta có $OI$ là đường cao và cũng là đường phân giác nên $\Delta ADO$ cân tại $O$.

Suy ra $OA = OD = 2R$ và $AI = DI$, $AD = AO = 2R$

$AB = R\sqrt{3}$, $BD = AD - AB = 2R - R\sqrt{3} = R(2 - \sqrt{3})$

Xét $\Delta OBD$ vuông tại $O$, có:

$OB^2 + OD^2 = BD^2$ (Định lý Pytago)

$OD = \sqrt{BD^2 - OB^2} = \sqrt{[R(2-\sqrt{3})]^2 - R^2} = \sqrt{R^2 (4 - 4\sqrt{3} + 3) - R^2} = R\sqrt{6 - 4\sqrt{3} - 1} = R\sqrt{5 - 4\sqrt{3}} = R \sqrt{(2-\sqrt{3})^2}$

$OD = R(2 - \sqrt{3})$.

$AH = \dfrac{3}{2}R$, $OH = \dfrac{1}{2}R$.

Vì $OA \perp OD$, $BC \perp OA$ nên $OD // BC$ hay $OD // BH$

Trong $\Delta ABH$, có $OD // BH$

Suy ra $\dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AO}{AH} = \dfrac{DO}{BH}$.

$\dfrac{AO}{AH} = \dfrac{2R}{3R/2} = \dfrac{4}{3} $

$BH = \dfrac{AB}{OA}.OB = \dfrac{R\sqrt{3}}{2R}.R = \dfrac{R\sqrt{3}}{2}$.

Gọi $Q$ là giao điểm của $DH$ và $OB$.

Diện tích tam giác $QOA$ theo $R$?

$S_{QOA} = \dfrac{1}{2} OQ.AH = \dfrac{1}{2}. OA. d(Q, OA)$.

Cần tìm vị trí của $Q$ và tính $OQ$ hoặc $d(Q, OA)$.