Lựa chọn đáp án và trả lời ngắn

Câu 1. Để kiểm tra từng mệnh đề, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất cơ bản của logarit và hàm mũ. A. $\log_a a = 1$ - Đây là tính chất cơ bản của logarit, vì $a^1 = a$. Do đó, $\log_a a = 1$ là đúng. B. $\log_a a^x = x$ - Đây cũng là tính chất cơ bản của logarit, vì $a^x$ khi lấy logarit cơ số $a$ sẽ cho kết quả là $x$. Do đó, $\log_a a^x = x$ là đúng. C. $\log_a 1 = 0$ - Đây là tính chất cơ bản khác của logarit, vì $a^0 = 1$. Do đó, $\log_a 1 = 0$ là đúng. D. $x^{\log_a x} = x$ - Để kiểm tra mệnh đề này, chúng ta cần sử dụng tính chất của hàm mũ và logarit. Ta có: - Gọi $y = \log_a x$, suy ra $a^y = x$. - Thay vào biểu thức $x^{\log_a x}$, ta có $x^y = (a^y)^y = a^{y^2}$. - Tuy nhiên, $a^{y^2}$ không phải lúc nào cũng bằng $x$. Chỉ đúng khi $y = 1$, tức là $x = a$. Do đó, mệnh đề D là sai. Đáp án: D. Câu 2. Trước tiên, ta xác định góc giữa hai đường thẳng AB và A'D'. Trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D', ta thấy rằng: - Đường thẳng AB nằm trên mặt đáy ABCD. - Đường thẳng A'D' nằm trên mặt bên A'D'C'D. Ta sẽ tìm góc giữa hai đường thẳng này bằng cách xác định góc giữa hai vectơ tương ứng. 1. Xác định vectơ: - Vectơ $\overrightarrow{AB}$ nằm trên mặt đáy ABCD. - Vectơ $\overrightarrow{A'D'}$ nằm trên mặt bên A'D'C'D. 2. Ta nhận thấy rằng trong hình lập phương, đường thẳng AB song song với đường thẳng CD, và đường thẳng A'D' song song với đường thẳng B'C'. Do đó, góc giữa hai đường thẳng AB và A'D' sẽ giống như góc giữa hai đường thẳng CD và B'C'. 3. Ta vẽ đường thẳng từ điểm D đến điểm C, và từ điểm C đến điểm B'. Ta thấy rằng: - Đường thẳng DC nằm trên mặt đáy ABCD. - Đường thẳng CB' nằm trên mặt bên BCC'B'. 4. Ta nhận thấy rằng góc giữa hai đường thẳng DC và CB' chính là góc giữa hai đường thẳng AB và A'D'. Ta gọi góc này là góc $\alpha$. 5. Ta biết rằng trong hình lập phương, các cạnh đều bằng nhau và các góc đều là góc vuông. Do đó, góc $\alpha$ sẽ là góc giữa hai đường thẳng nằm trên hai mặt phẳng vuông góc với nhau. 6. Ta tính góc $\alpha$ bằng cách sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ: \[ \cos(\alpha) = \frac{\overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{CB'}}{|\overrightarrow{DC}| |\overrightarrow{CB'}|} \] Vì trong hình lập phương, các cạnh đều bằng nhau và các góc đều là góc vuông, nên ta có: \[ \overrightarrow{DC} \cdot \overrightarrow{CB'} = 0 \] (vì hai vectơ này vuông góc với nhau). Do đó: \[ \cos(\alpha) = 0 \implies \alpha = 90^\circ \] Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và A'D' là 90 độ. Đáp số: 90 độ.