Trắc nghiệm toán 11

Câu 1. Để kiểm tra từng mệnh đề, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất cơ bản của logarit và lũy thừa. A. $\log_a a = 1$ - Đây là tính chất cơ bản của logarit: $\log_a a = 1$. Do đó, mệnh đề này đúng. B. $\log_a a^x = x$ - Đây cũng là tính chất cơ bản của logarit: $\log_a a^x = x$. Do đó, mệnh đề này đúng. C. $\log_a 1 = 0$ - Đây là tính chất khác của logarit: $\log_a 1 = 0$. Do đó, mệnh đề này đúng. D. $x^{\log_x x} = x$ - Ta biết rằng $\log_x x = 1$, vì vậy $x^{\log_x x} = x^1 = x$. Do đó, mệnh đề này đúng. Như vậy, tất cả các mệnh đề đều đúng. Tuy nhiên, theo yêu cầu của câu hỏi, chúng ta cần tìm ra mệnh đề sai. Vì tất cả các mệnh đề đều đúng, nên không có mệnh đề nào sai trong các lựa chọn đã cho. Đáp án: Không có mệnh đề sai. Câu 2. Trước tiên, ta xác định vị trí của các điểm A, B, C trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. - Điểm A là đỉnh chung của các cạnh AB, AD và AA'. - Điểm B nằm trên mặt đáy ABCD và là đỉnh đối diện với điểm A trên cùng một cạnh của mặt đáy. - Điểm C cũng nằm trên mặt đáy ABCD và là đỉnh đối diện với điểm A trên cùng một mặt đáy. Góc giữa hai đường thẳng AB và AC là góc giữa hai cạnh của tam giác ABC. Ta sẽ tính góc này bằng cách sử dụng công thức tính góc giữa hai vectơ. Ta có: - Vectơ $\overrightarrow{AB}$ = (1, 0, 0) - Vectơ $\overrightarrow{AC}$ = (1, 1, 0) Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 1 \times 1 + 0 \times 1 + 0 \times 0 = 1 \] Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AB}$ là: \[ |\overrightarrow{AB}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1 \] Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AC}$ là: \[ |\overrightarrow{AC}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2} \] Góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ là: \[ \cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AB}| |\overrightarrow{AC}|} = \frac{1}{1 \times \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Do đó, góc $\theta$ là: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ \] Vậy góc giữa hai đường thẳng AB và AC là 45°. Đáp số: 45° Câu 3. Để tính thể tích của khối lăng trụ và khối chóp có diện tích đáy \( S \) và chiều cao \( h \), chúng ta sẽ làm như sau: 1. Khối lăng trụ: - Thể tích của khối lăng trụ được tính bằng công thức: \[ V_{\text{lăng trụ}} = S \times h \] - Trong đó, \( S \) là diện tích đáy và \( h \) là chiều cao của khối lăng trụ. 2. Khối chóp: - Thể tích của khối chóp được tính bằng công thức: \[ V_{\text{chóp}} = \frac{1}{3} \times S \times h \] - Trong đó, \( S \) là diện tích đáy và \( h \) là chiều cao của khối chóp. Vậy, thể tích của khối lăng trụ là \( S \times h \) và thể tích của khối chóp là \( \frac{1}{3} \times S \times h \). Câu 4. Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy ABC là góc giữa đường thẳng SB và hình chiếu của nó lên mặt phẳng đáy. Hình chiếu của SB lên mặt phẳng đáy là đường thẳng từ B kéo dài xuống đáy, tức là đường thẳng BA. Do đó, góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy ABC là góc giữa hai đường thẳng SB và BA. Đáp án: Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng đáy ABC là góc giữa hai đường thẳng SB và BA. Câu 6. Khi gieo một con xúc xắc cân đối đồng chất 2 lần, ta có tổng cộng có \(6 \times 6 = 36\) kết quả có thể xảy ra. Biến cố "Tổng số chấm xuất hiện bằng 8" bao gồm các kết quả sau: - (2, 6) - (3, 5) - (4, 4) - (5, 3) - (6, 2) Như vậy, có 5 kết quả thoả mãn biến cố này. Xác suất của biến cố "Tổng số chấm xuất hiện bằng 8" là: \[ P = \frac{\text{số kết quả thoả mãn}}{\text{số kết quả có thể xảy ra}} = \frac{5}{36} \] Đáp số: \(\frac{5}{36}\) Câu 8. Để tính xác suất lấy được sản phẩm tốt, ta làm theo các bước sau: 1. Tìm tổng số sản phẩm trong lô hàng: Tổng số sản phẩm trong lô hàng là 1000 sản phẩm. 2. Tìm số sản phẩm tốt: Số sản phẩm phế phẩm là 70 sản phẩm. Số sản phẩm tốt là: \[ 1000 - 70 = 930 \text{ (sản phẩm)} \] 3. Tính xác suất lấy được sản phẩm tốt: Xác suất lấy được sản phẩm tốt là tỉ số giữa số sản phẩm tốt và tổng số sản phẩm trong lô hàng: \[ P(\text{sản phẩm tốt}) = \frac{\text{số sản phẩm tốt}}{\text{tổng số sản phẩm}} = \frac{930}{1000} = 0,93 \] Vậy xác suất để lấy được sản phẩm tốt là \(0,93\). Đáp án đúng là: B. 0,93 Câu 9. Biến cố giao của A và B là biến cố mà trong đó cả A và B đều xảy ra. Do đó, đáp án đúng là: A. "Cả A và B đều xảy ra" Lập luận từng bước: - Biến cố giao của A và B là biến cố mà trong đó cả A và B đều xảy ra. - Các lựa chọn khác không đúng vì: - B. "A hoặc B xảy ra" là biến cố hợp của A và B, không phải biến cố giao. - C. "A xảy ra" chỉ nói về biến cố A, không liên quan đến biến cố B. - D. "B xảy ra hoặc cả A và B đều xảy ra" bao gồm cả trường hợp B xảy ra và cả A và B đều xảy ra, không phải chỉ là biến cố giao. Vậy đáp án đúng là: A. "Cả A và B đều xảy ra" Câu 10. Khi gieo ngẫu nhiên một đồng xu cân đối, đồng chất, mỗi lần gieo có hai kết quả có thể xảy ra: mặt sấp hoặc mặt ngửa. Do đó, xác suất xuất hiện mặt sấp trong mỗi lần gieo là $\frac{1}{2}$. Khi gieo đồng xu 3 lần, ta cần tính xác suất để cả 3 lần đều xuất hiện mặt sấp. Ta sẽ nhân xác suất xuất hiện mặt sấp ở mỗi lần gieo lại với nhau: Xác suất để cả 3 lần đều xuất hiện mặt sấp là: \[ \left( \frac{1}{2} \right) \times \left( \frac{1}{2} \right) \times \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} \] Vậy đáp án đúng là: \[ A.~\frac{1}{8} \] Câu 11. Xét phép thử gieo ngẫu nhiên một con xúc xắc đồng chất sáu mặt. Các kết quả có thể xảy ra là: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Biến cố A: "Số chấm thu được là số chẵn" bao gồm các kết quả: 2, 4, 6. Biến cố B: "Số chấm thu được là số không chia hết cho 5" bao gồm các kết quả: 1, 2, 3, 4, 6. Biến cố A giao B là biến cố mà cả hai biến cố A và B đều xảy ra. Do đó, chúng ta cần tìm các kết quả chung giữa hai biến cố này. Các kết quả chung giữa biến cố A và B là: 2, 4, 6. Vậy biến cố A giao B là tập hợp các kết quả: 2, 4, 6. Đáp số: Biến cố A giao B là tập hợp: {2, 4, 6}.