Giúp mình với!

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tổng số thẻ: Có tất cả 10 thẻ được đánh số từ 1 đến 10. 2. Xác định số thẻ chia hết cho 3: Các số chia hết cho 3 trong khoảng từ 1 đến 10 là 3, 6 và 9. Vậy có 3 thẻ chia hết cho 3. 3. Tính xác suất: Xác suất để lấy được một thẻ chia hết cho 3 là tỉ số giữa số thẻ chia hết cho 3 và tổng số thẻ. \[ P = \frac{\text{số thẻ chia hết cho 3}}{\text{tổng số thẻ}} = \frac{3}{10} = 0,3 \] Vậy xác suất để lấy được thẻ có đánh số chia hết cho 3 là \(0,3\). Đáp án đúng là: C. 0,3. Câu 1. a) Đồ thị của hàm số là một parabol có đỉnh $I(2;-1).$ Để kiểm tra điều này, ta tính tọa độ đỉnh của parabol: \[ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \] Thay \( x = 2 \) vào hàm số: \[ y = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1 \] Vậy đỉnh của parabol là \( I(2; -1) \). Đúng. b) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;+\infty).$ Hàm số \( y = x^2 - 4x + 3 \) là một parabol mở lên (vì hệ số \( a = 1 > 0 \)). Parabol này đồng biến trên khoảng \( (2; +\infty) \) và nghịch biến trên khoảng \( (-\infty; 2) \). Do đó, khẳng định này sai. c) Bất phương trình $x^2-4x+3\leq0$ có tập nghiệm là $S=[-3;1].$ Ta giải bất phương trình \( x^2 - 4x + 3 \leq 0 \): Phương trình \( x^2 - 4x + 3 = 0 \) có các nghiệm: \[ x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \] \[ x_1 = 3, \quad x_2 = 1 \] Bất phương trình \( x^2 - 4x + 3 \leq 0 \) đúng trong khoảng giữa hai nghiệm: \[ S = [1; 3] \] Do đó, khẳng định này sai. d) Phương trình $\sqrt{f(x)}=2x-1$ có đúng hai nghiệm phân biệt. Điều kiện xác định: \[ f(x) \geq 0 \quad \text{và} \quad 2x - 1 \geq 0 \] \[ x^2 - 4x + 3 \geq 0 \quad \text{và} \quad x \geq \frac{1}{2} \] Giải bất phương trình \( x^2 - 4x + 3 \geq 0 \): \[ (x - 1)(x - 3) \geq 0 \] \[ x \leq 1 \quad \text{hoặc} \quad x \geq 3 \] Kết hợp điều kiện \( x \geq \frac{1}{2} \): \[ \frac{1}{2} \leq x \leq 1 \quad \text{hoặc} \quad x \geq 3 \] Phương trình \( \sqrt{x^2 - 4x + 3} = 2x - 1 \): \[ x^2 - 4x + 3 = (2x - 1)^2 \] \[ x^2 - 4x + 3 = 4x^2 - 4x + 1 \] \[ 0 = 3x^2 - 2 \] \[ x^2 = \frac{2}{3} \] \[ x = \pm \sqrt{\frac{2}{3}} \] Kiểm tra điều kiện: \[ x = \sqrt{\frac{2}{3}} \approx 0.816 \quad (\text{thỏa mãn}) \] \[ x = -\sqrt{\frac{2}{3}} \quad (\text{không thỏa mãn vì } x \geq \frac{1}{2}) \] Vậy phương trình có đúng một nghiệm \( x = \sqrt{\frac{2}{3}} \). Kết luận: a) Đúng b) Sai c) Sai d) Sai Câu 2. a) Ta thấy điểm $M(1;2)$ thoả mãn phương trình $\Delta:\left\{\begin{array}lx=1+3t\\y=2-4t\end{array}\right.$ khi $t=0$. Vectơ chỉ phương của $\Delta$ là $\overrightarrow u(3;-4)$ nên đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(1;2)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u(3;-4)$. b) Ta có $\frac{x-1}{3}=\frac{y-2}{-4}$ suy ra $4(x-1)=-3(y-2)$ suy ra $4x+3y-10=0$. c) Ta thấy điểm $N(4;-2)$ thoả mãn phương trình $\Delta:4x+3y-10=0$ nên điểm $N(4;-2)$ thuộc đường thẳng $\Delta$. Ta có $ON=\sqrt{(4-0)^2+(-2-0)^2}=2\sqrt5\neq3\sqrt2$. d) Ta có $d(I,\Delta)=\frac{|4\times 10+3\times (-5)-10|}{\sqrt{4^2+3^2}}=7< 11$. Vậy phương trình đường tròn tâm $I(10;-5)$ và tiếp xúc với $\Delta$ là $(x-10)^2+(y+5)^2=49$. Câu 1. Điều kiện xác định: $2x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}$ Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình: \[ (\sqrt{1 + \sqrt{2x^2 - 4x + 4}})^2 = (\sqrt{2x - 1})^2 \] \[ 1 + \sqrt{2x^2 - 4x + 4} = 2x - 1 \] Bước 2: Chuyển 1 sang vế phải: \[ \sqrt{2x^2 - 4x + 4} = 2x - 2 \] Bước 3: Bình phương hai vế một lần nữa: \[ (\sqrt{2x^2 - 4x + 4})^2 = (2x - 2)^2 \] \[ 2x^2 - 4x + 4 = 4x^2 - 8x + 4 \] Bước 4: Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế: \[ 2x^2 - 4x + 4 - 4x^2 + 8x - 4 = 0 \] \[ -2x^2 + 4x = 0 \] Bước 5: Rút gọn phương trình: \[ -2x(x - 2) = 0 \] Bước 6: Tìm nghiệm của phương trình: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] Bước 7: Kiểm tra điều kiện xác định: - Với $x = 0$: Điều kiện $x \geq \frac{1}{2}$ không thỏa mãn. - Với $x = 2$: Điều kiện $x \geq \frac{1}{2}$ thỏa mãn. Vậy nghiệm duy nhất của phương trình là $x = 2$. Tích của tất cả các nghiệm thực của phương trình là $2$. Câu 2. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp liệt kê các trường hợp có thể xảy ra và tính tổng số cách chọn. Trước tiên, chúng ta xác định các trường hợp có thể xảy ra khi chọn 3 học sinh từ nhóm 10 học sinh nam và 15 học sinh nữ sao cho trong 3 bạn được chọn có cả nam và nữ: 1. Chọn 1 nam và 2 nữ. 2. Chọn 2 nam và 1 nữ. Bây giờ, chúng ta sẽ tính số cách chọn cho mỗi trường hợp. Trường hợp 1: Chọn 1 nam và 2 nữ - Số cách chọn 1 nam từ 10 nam: \( C_{10}^1 = 10 \) - Số cách chọn 2 nữ từ 15 nữ: \( C_{15}^2 = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105 \) Số cách chọn 1 nam và 2 nữ là: \[ 10 \times 105 = 1050 \] Trường hợp 2: Chọn 2 nam và 1 nữ - Số cách chọn 2 nam từ 10 nam: \( C_{10}^2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45 \) - Số cách chọn 1 nữ từ 15 nữ: \( C_{15}^1 = 15 \) Số cách chọn 2 nam và 1 nữ là: \[ 45 \times 15 = 675 \] Cuối cùng, tổng số cách chọn 3 học sinh sao cho trong 3 bạn được chọn có cả nam và nữ là: \[ 1050 + 675 = 1725 \] Vậy, có 1725 cách chọn ra 3 học sinh của nhóm đó sao cho trong 3 bạn được chọn có cả nam và nữ. Câu 3. Ta có khai triển $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$. Áp dụng vào bài toán này với $a = 2x$, $b = -y$, và $n = 5$, ta có: \[ (2x - y)^5 = \sum_{k=0}^{5} \binom{5}{k} (2x)^{5-k} (-y)^k. \] Ta cần tìm hệ số của số hạng chứa $x^2y^3$. Điều này tương ứng với $5-k = 2$ và $k = 3$. Do đó, ta có: \[ \binom{5}{3} (2x)^{2} (-y)^{3}. \] Tính toán cụ thể: \[ \binom{5}{3} = \frac{5!}{3!(5-3)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10, \] \[ (2x)^2 = 4x^2, \] \[ (-y)^3 = -y^3. \] Nhân các thành phần lại với nhau: \[ 10 \cdot 4x^2 \cdot (-y^3) = 10 \cdot 4 \cdot (-1) \cdot x^2 \cdot y^3 = -40x^2y^3. \] Vậy hệ số của số hạng chứa $x^2y^3$ trong khai triển $(2x-y)^5$ là $-40$. Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng kiến thức về hình học và tính chất của đa giác đều. 1. Xác định số đỉnh và tính chất của đa giác đều: - Đa giác đều (H) có 20 đỉnh. - Mỗi đỉnh của đa giác đều tạo thành các góc nội tiếp bằng nhau. 2. Tìm tam giác vuông: - Một tam giác vuông có một góc vuông (90°). - Trong đa giác đều, góc nội tiếp tạo bởi hai bán kính và một dây cung sẽ là góc vuông nếu dây cung đó là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác. 3. Xác định các tam giác vuông: - Để tạo thành tam giác vuông, một trong ba đỉnh của tam giác phải nằm ở tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác, và hai đỉnh còn lại phải tạo thành đường kính của đường tròn ngoại tiếp. - Vì đa giác đều có 20 đỉnh, nên có 10 đường kính (mỗi đường kính nối hai đỉnh đối xứng qua tâm). 4. Số lượng tam giác vuông: - Mỗi đường kính tạo thành 2 tam giác vuông (mỗi tam giác có một đỉnh là tâm và hai đỉnh còn lại là hai đỉnh của đường kính). - Do đó, tổng số tam giác vuông là: 10 đường kính × 2 tam giác mỗi đường kính = 20 tam giác vuông. Đáp số: Có 20 tam giác vuông có ba đỉnh thuộc tập hợp các đỉnh của đa giác đều (H). Câu 1 Để xác định phương trình của parabol \( y = ax^2 + bx + c \), ta cần tìm các hệ số \( a \), \( b \), và \( c \). 1. Biết rằng parabol đi qua điểm \( M(0;5) \): Thay tọa độ điểm \( M(0;5) \) vào phương trình \( y = ax^2 + bx + c \): \[ 5 = a(0)^2 + b(0) + c \implies c = 5 \] Vậy phương trình ban đầu trở thành: \[ y = ax^2 + bx + 5 \] 2. Biết rằng đỉnh của parabol là \( I(1;2) \): Tọa độ đỉnh của parabol \( y = ax^2 + bx + c \) là \( \left( -\frac{b}{2a}, f\left(-\frac{b}{2a}\right) \right) \). Do đó: \[ -\frac{b}{2a} = 1 \implies b = -2a \] Thay tọa độ đỉnh \( I(1;2) \) vào phương trình \( y = ax^2 + bx + 5 \): \[ 2 = a(1)^2 + b(1) + 5 \implies 2 = a + b + 5 \] Thay \( b = -2a \) vào phương trình trên: \[ 2 = a - 2a + 5 \implies 2 = -a + 5 \implies a = 3 \] Từ đó suy ra: \[ b = -2a = -2 \times 3 = -6 \] 3. Tổng hợp lại: Ta đã tìm được \( a = 3 \), \( b = -6 \), và \( c = 5 \). Vậy phương trình của parabol là: \[ y = 3x^2 - 6x + 5 \] Đáp số: \( y = 3x^2 - 6x + 5 \)