Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình thôi tâm O cạnh a, góc ABC=60 độ. Tam giác SẮC đều, tâm giác SBD cân tại S. Khi đó: a)(SAC)⊥(ABCD) b)((SBD),(ABCD))=60 độ c)Vs.abc=a^3√3/4 d)((SCD),(ABCD))≈60,43...

Anh Trần

Đề bài:

Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ cạnh $a$, góc $\widehat{ABC}=60^\circ$. Tam giác $SAC$ đều, tam giác $SBD$ cân tại $S$. Khi đó:

a) $(SAC) \perp (ABCD)$

b) $((SBD),(ABCD))=60^\circ$

c) $V_{S.ABC}=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$

d) $((SCD),(ABCD))\approx 60.43^\circ$

Giải:

*  Phân tích:

  *  Đáy $ABCD$ là hình thoi có $\widehat{ABC}=60^\circ$ nên $ABCD$ là hình gồm hai tam giác đều $ABC$ và $ADC$.

  *  $O$ là tâm hình thoi, cũng là trung điểm của $AC$ và $BD$.

  *  Tam giác $SAC$ đều nên $SA=SC=AC=a$.

  *  Tam giác $SBD$ cân tại $S$ nên $SB=SD$.

*  Lời giải:

*  a) $(SAC) \perp (ABCD)$:

    *  $SO \perp AC$ (do tam giác $SAC$ đều nên trung tuyến $SO$ đồng thời là đường cao).

    *  $AC \perp BD$ (tính chất hình thoi).

    *  Suy ra $SO \perp (ABCD)$.

    *  Vậy $(SAC) \perp (ABCD)$.

    *  => Câu a) đúng

*  b) $((SBD),(ABCD))=60^\circ$:

    *  Gọi $I$ là trung điểm $BD$.

    *  $SI \perp BD$ (do tam giác $SBD$ cân tại $S$).

    *  $OI \perp BD$.

    *  Do đó, góc giữa $(SBD)$ và $(ABCD)$ là góc $\widehat{SIO}$.

    *  Ta có $OI = \frac{1}{2}AO = \frac{1}{2}a\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$

    *  $SO = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ (đường cao tam giác đều $SAC$)

    *  $\tan \widehat{SIO} = \frac{SO}{OI} = \frac{a\sqrt{3}/2}{a\sqrt{3}/4} = 2$

    *  $\widehat{SIO} = \arctan 2 \approx 63.43^\circ \neq 60^\circ$

    *  => Câu b) sai

*  c) $V_{S.ABC}=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$:

    *  $S_{\triangle ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ (diện tích tam giác đều).

    *  $V_{S.ABC} = \frac{1}{3}SO \cdot S_{\triangle ABC} = \frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3}{8}$

    *  => Câu c) sai

*  d) $((SCD),(ABCD))\approx 60.43^\circ$:

    *  Gọi $K$ là trung điểm của $CD$

    *  Góc giữa $(SCD)$ và $(ABCD)$ là góc $\widehat{SKO}$.

    *  Xét $\triangle OCD$ đều cạnh $a$, có $OK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

    *  $SK = \sqrt{SC^2-KC^2} = \sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

    *  $\tan \widehat{SKO} = \frac{SO}{OK} = \frac{a\sqrt{3}/2}{a\sqrt{3}/2} = 1$

    *  $\widehat{SKO} = 45^\circ$

    *  => Câu d) sai