04/05/2025
04/05/2025
Đề bài:
Cho hình chóp $S.ABCD$, đáy $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ cạnh $a$, góc $\widehat{ABC}=60^\circ$. Tam giác $SAC$ đều, tam giác $SBD$ cân tại $S$. Khi đó:
a) $(SAC) \perp (ABCD)$
b) $((SBD),(ABCD))=60^\circ$
c) $V_{S.ABC}=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$
d) $((SCD),(ABCD))\approx 60.43^\circ$
Giải:
* Phân tích:
* Đáy $ABCD$ là hình thoi có $\widehat{ABC}=60^\circ$ nên $ABCD$ là hình gồm hai tam giác đều $ABC$ và $ADC$.
* $O$ là tâm hình thoi, cũng là trung điểm của $AC$ và $BD$.
* Tam giác $SAC$ đều nên $SA=SC=AC=a$.
* Tam giác $SBD$ cân tại $S$ nên $SB=SD$.
* Lời giải:
* a) $(SAC) \perp (ABCD)$:
* $SO \perp AC$ (do tam giác $SAC$ đều nên trung tuyến $SO$ đồng thời là đường cao).
* $AC \perp BD$ (tính chất hình thoi).
* Suy ra $SO \perp (ABCD)$.
* Vậy $(SAC) \perp (ABCD)$.
* => Câu a) đúng
* b) $((SBD),(ABCD))=60^\circ$:
* Gọi $I$ là trung điểm $BD$.
* $SI \perp BD$ (do tam giác $SBD$ cân tại $S$).
* $OI \perp BD$.
* Do đó, góc giữa $(SBD)$ và $(ABCD)$ là góc $\widehat{SIO}$.
* Ta có $OI = \frac{1}{2}AO = \frac{1}{2}a\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{4}$
* $SO = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ (đường cao tam giác đều $SAC$)
* $\tan \widehat{SIO} = \frac{SO}{OI} = \frac{a\sqrt{3}/2}{a\sqrt{3}/4} = 2$
* $\widehat{SIO} = \arctan 2 \approx 63.43^\circ \neq 60^\circ$
* => Câu b) sai
* c) $V_{S.ABC}=\frac{a^3\sqrt{3}}{4}$:
* $S_{\triangle ABC} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$ (diện tích tam giác đều).
* $V_{S.ABC} = \frac{1}{3}SO \cdot S_{\triangle ABC} = \frac{1}{3}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{a^3}{8}$
* => Câu c) sai
* d) $((SCD),(ABCD))\approx 60.43^\circ$:
* Gọi $K$ là trung điểm của $CD$
* Góc giữa $(SCD)$ và $(ABCD)$ là góc $\widehat{SKO}$.
* Xét $\triangle OCD$ đều cạnh $a$, có $OK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.
* $SK = \sqrt{SC^2-KC^2} = \sqrt{a^2-(\frac{a}{2})^2} = \frac{a\sqrt{3}}{2}$
* $\tan \widehat{SKO} = \frac{SO}{OK} = \frac{a\sqrt{3}/2}{a\sqrt{3}/2} = 1$
* $\widehat{SKO} = 45^\circ$
* => Câu d) sai
Nếu bạn muốn hỏi bài tập
Các câu hỏi của bạn luôn được giải đáp dưới 10 phút
CÂU HỎI LIÊN QUAN
12/06/2025
Top thành viên trả lời