Chọn các khẳng định đúng. Câu 19. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD. Những khẳng,định nào sau là đúng? $(1):MN//(BCD);(2):MN//(ACD);(3):MN//(ABD).$

Question

Timi · Accepted Answer

Câu 19:
Để giải quyết bài toán này, ta cần xem xét vị trí của các điểm M và N trong tứ diện ABCD và mối quan hệ giữa các mặt phẳng liên quan.

1. Xác định vị trí của M và N:

- Điểm M là trọng tâm của tam giác ABC, do đó:
     $$
     \overrightarrow{OM} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC})
     $$
     với O là gốc tọa độ tùy ý.

- Điểm N là trọng tâm của tam giác ABD, do đó:
     $$
     \overrightarrow{ON} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OD})
     $$

2. Xét các khẳng định:

- Khẳng định (1): $MN \parallel (BCD)$:

Để $MN \parallel (BCD)$, vector $\overrightarrow{MN}$ phải cùng phương với vector pháp tuyến của mặt phẳng (BCD). Ta có:
     $$
     \overrightarrow{MN} = \overrightarrow{ON} - \overrightarrow{OM} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC})
     $$
     Vector $\overrightarrow{MN}$ chỉ phụ thuộc vào $\overrightarrow{OD}$ và $\overrightarrow{OC}$, không phụ thuộc vào $\overrightarrow{OB}$, do đó $\overrightarrow{MN}$ không thể song song với mặt phẳng (BCD) vì nó không cùng phương với vector pháp tuyến của (BCD) là $\overrightarrow{OBD} \times \overrightarrow{OBC}$.

- Khẳng định (2): $MN \parallel (ACD)$:

Để $MN \parallel (ACD)$, vector $\overrightarrow{MN}$ phải cùng phương với vector pháp tuyến của mặt phẳng (ACD). Ta có:
     $$
     \overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC})
     $$
     Vector $\overrightarrow{MN}$ chỉ phụ thuộc vào $\overrightarrow{OD}$ và $\overrightarrow{OC}$, do đó $\overrightarrow{MN}$ có thể song song với mặt phẳng (ACD) nếu $\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC}$ cùng phương với vector pháp tuyến của (ACD). Tuy nhiên, điều này không xảy ra trong mọi trường hợp, nên khẳng định này không đúng.

- Khẳng định (3): $MN \parallel (ABD)$:

Để $MN \parallel (ABD)$, vector $\overrightarrow{MN}$ phải cùng phương với vector pháp tuyến của mặt phẳng (ABD). Ta có:
     $$
     \overrightarrow{MN} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OC})
     $$
     Vector $\overrightarrow{MN}$ không phụ thuộc vào $\overrightarrow{OA}$, do đó $\overrightarrow{MN}$ không thể song song với mặt phẳng (ABD) vì nó không cùng phương với vector pháp tuyến của (ABD) là $\overrightarrow{OAD} \times \overrightarrow{OAB}$.

Kết luận:

Không có khẳng định nào trong ba khẳng định trên là đúng.