Toán nèeeeeee

Câu 2: Để tính thể tích khối chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích đáy ABCD: Vì ABCD là hình vuông cạnh bằng a, nên diện tích đáy là: \[ S_{ABCD} = a^2 \] 2. Tìm chiều cao của khối chóp từ đỉnh S xuống đáy ABCD: Ta biết rằng các mặt bên SAB và SAD nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt đáy ABCD. Do đó, đường cao từ S xuống đáy ABCD sẽ đi qua trung điểm của đoạn thẳng BD (gọi là O). Vì vậy, SO là đường cao của khối chóp S.ABCD. Xét tam giác SAD vuông tại A, ta có: \[ SD = SA = 2a \] Vì O là trung điểm của BD, nên: \[ DO = \frac{BD}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} \] Xét tam giác SOD vuông tại O, ta có: \[ SO^2 + DO^2 = SD^2 \] Thay các giá trị vào, ta có: \[ SO^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = (2a)^2 \] \[ SO^2 + \frac{2a^2}{4} = 4a^2 \] \[ SO^2 + \frac{a^2}{2} = 4a^2 \] \[ SO^2 = 4a^2 - \frac{a^2}{2} \] \[ SO^2 = \frac{8a^2}{2} - \frac{a^2}{2} \] \[ SO^2 = \frac{7a^2}{2} \] \[ SO = a\sqrt{\frac{7}{2}} \] 3. Tính thể tích khối chóp S.ABCD: Thể tích khối chóp S.ABCD được tính bằng công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times S_{ABCD} \times SO \] Thay các giá trị đã tìm được vào, ta có: \[ V = \frac{1}{3} \times a^2 \times a\sqrt{\frac{7}{2}} \] \[ V = \frac{1}{3} \times a^3 \sqrt{\frac{7}{2}} \] \[ V = \frac{a^3 \sqrt{14}}{6} \] Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là: \[ \boxed{\frac{a^3 \sqrt{14}}{6}} \] Câu 3: Để tìm vận tốc nhỏ nhất của chất điểm trong khoảng thời gian từ 0 giây đến 10 giây, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định phương trình vận tốc. Vận tốc \( v(t) \) của chất điểm là đạo hàm của phương trình chuyển động \( s(t) \): \[ v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(t^3 - 3t^2 + 8t + 1) = 3t^2 - 6t + 8 \] Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( v(t) \) trên khoảng \( 0 < t < 10 \). Để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( v(t) = 3t^2 - 6t + 8 \), ta làm như sau: - Tính đạo hàm của \( v(t) \): \[ v'(t) = \frac{d}{dt}(3t^2 - 6t + 8) = 6t - 6 \] - Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình \( v'(t) = 0 \): \[ 6t - 6 = 0 \] \[ t = 1 \] Bước 3: Kiểm tra giá trị của \( v(t) \) tại các điểm biên và điểm cực trị: - Tại \( t = 0 \): \[ v(0) = 3(0)^2 - 6(0) + 8 = 8 \] - Tại \( t = 1 \): \[ v(1) = 3(1)^2 - 6(1) + 8 = 3 - 6 + 8 = 5 \] - Tại \( t = 10 \): \[ v(10) = 3(10)^2 - 6(10) + 8 = 300 - 60 + 8 = 248 \] Bước 4: So sánh các giá trị để tìm giá trị nhỏ nhất: - \( v(0) = 8 \) - \( v(1) = 5 \) - \( v(10) = 248 \) Trong các giá trị này, giá trị nhỏ nhất là \( v(1) = 5 \). Vậy vận tốc nhỏ nhất của chất điểm trong khoảng thời gian từ 0 giây đến 10 giây là 5 m/s, đạt được khi \( t = 1 \) giây. Câu 4: Để tính khoảng cách giữa thanh ngang của khung và mặt đường, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về tam giác vuông và góc nghiêng của dốc. 1. Xác định các thông số: - Chiều dài của mỗi cột là 2,28m. - Góc nghiêng của dốc là \(15^\circ\). 2. Tính khoảng cách giữa hai chân cột: - Vì hai cột thẳng đứng và đường thẳng nối hai chân cột vuông góc với hai mép dốc, nên ta có thể coi đây là một tam giác vuông với góc \(15^\circ\) ở đáy. - Chiều dài của mỗi cột là cạnh bên của tam giác vuông này. 3. Áp dụng công thức trong tam giác vuông: - Ta có: \[ \cos(15^\circ) = \frac{\text{khoảng cách giữa hai chân cột}}{\text{chiều dài của mỗi cột}} \] - Do đó: \[ \text{khoảng cách giữa hai chân cột} = 2,28 \times \cos(15^\circ) \] 4. Tính giá trị cụ thể: - Biết rằng \(\cos(15^\circ) \approx 0,9659\): \[ \text{khoảng cách giữa hai chân cột} = 2,28 \times 0,9659 \approx 2,20 \text{m} \] 5. Tính khoảng cách giữa thanh ngang của khung và mặt đường: - Khoảng cách giữa thanh ngang của khung và mặt đường chính là chiều dài của mỗi cột trừ đi khoảng cách giữa hai chân cột: \[ \text{khoảng cách giữa thanh ngang và mặt đường} = 2,28 - 2,20 = 0,08 \text{m} \] 6. Kiểm tra xem cầu có cho phép xe cao 2,21m đi qua hay không: - Khoảng cách giữa thanh ngang của khung và mặt đường là 0,08m, do đó tổng chiều cao từ mặt đường đến thanh ngang là: \[ 2,28 + 0,08 = 2,36 \text{m} \] - Chiều cao của xe là 2,21m, nhỏ hơn 2,36m, nên xe có thể đi qua. Kết luận: - Khoảng cách giữa thanh ngang của khung và mặt đường là 0,08m. - Cầu cho phép xe cao 2,21m đi qua.