Trắc nhiệm

Câu 1: Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định nào đúng. A. \(a^a \cdot a^b = a^{a+b}\) Theo quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số, ta có: \[a^a \cdot a^b = a^{a + b}\] Khẳng định này đúng. B. \(\frac{a^0}{a^0} = a^{\frac{a}{a^0}}\) Trước tiên, ta biết rằng \(a^0 = 1\) (với \(a \neq 0\)). Do đó: \[\frac{a^0}{a^0} = \frac{1}{1} = 1\] Mặt khác, \(a^{\frac{a}{a^0}} = a^{\frac{a}{1}} = a^a\) Vì vậy, \(\frac{a^0}{a^0} \neq a^{\frac{a}{a^0}}\) Khẳng định này sai. C. \((a^x)^y = a^{x^y}\) Theo quy tắc lũy thừa của lũy thừa, ta có: \[(a^x)^y = a^{xy}\] Không phải là \(a^{x^y}\). Khẳng định này sai. D. \((a^)^6 = a^{+2}\) Biểu thức này không có ý nghĩa vì dấu sao () không xác định rõ ràng. Do đó, ta không thể xác định được khẳng định này đúng hay sai. Từ các phân tích trên, khẳng định đúng là: \[A.~a^a \cdot a^b = a^{a+b}\] Đáp án: A. Câu 2: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình chóp S.ABC, SA là đường cao hạ từ đỉnh S vuông góc với mặt phẳng (ABC). Điều này có nghĩa là SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC). Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. \(SA \bot AB\): - Vì \(SA \bot (ABC)\), nên \(SA\) vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ABC). Do đó, \(AB\) nằm trong mặt phẳng (ABC), vậy \(SA \bot AB\). Khẳng định này đúng. B. \(SA \bot SB\): - \(SB\) không nằm trong mặt phẳng (ABC), mà là đường thẳng nối đỉnh S với điểm B trên mặt phẳng (ABC). Do đó, không thể kết luận rằng \(SA \bot SB\) chỉ dựa vào thông tin \(SA \bot (ABC)\). Khẳng định này sai. C. \(SA \bot SC\): - Tương tự như trên, \(SC\) không nằm trong mặt phẳng (ABC), mà là đường thẳng nối đỉnh S với điểm C trên mặt phẳng (ABC). Do đó, không thể kết luận rằng \(SA \bot SC\) chỉ dựa vào thông tin \(SA \bot (ABC)\). Khẳng định này sai. D. \(SB \bot AB\): - \(SB\) là đường thẳng nối đỉnh S với điểm B trên mặt phẳng (ABC), còn \(AB\) nằm trong mặt phẳng (ABC). Không có thông tin nào cho thấy \(SB \bot AB\). Khẳng định này sai. Vậy khẳng định đúng là: \[ \boxed{A.~SA \bot AB} \] Câu 3: Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình lập phương, các mặt là các hình vuông và các cạnh là vuông góc với nhau. - Khẳng định A: \( AB \bot (DCC'D') \) - \( AB \) nằm trên mặt \( ABCD \), còn \( DCC'D' \) là mặt đứng thẳng từ \( D \) đến \( D' \). Vì \( AB \) song song với \( CD \) và \( CD \) nằm trên mặt \( DCC'D' \), nên \( AB \) không vuông góc với \( (DCC'D') \). - Khẳng định B: \( AD \bot (BCC'B') \) - \( AD \) nằm trên mặt \( ABCD \), còn \( BCC'B' \) là mặt đứng thẳng từ \( B \) đến \( B' \). Vì \( AD \) song song với \( BC \) và \( BC \) nằm trên mặt \( BCC'B' \), nên \( AD \) không vuông góc với \( (BCC'B') \). - Khẳng định C: \( AB \bot (BCC'B') \) - \( AB \) nằm trên mặt \( ABCD \), còn \( BCC'B' \) là mặt đứng thẳng từ \( B \) đến \( B' \). Vì \( AB \) vuông góc với \( BC \) và \( BC \) nằm trên mặt \( BCC'B' \), nên \( AB \) vuông góc với \( (BCC'B') \). - Khẳng định D: \( AD \bot (A'B'C'D') \) - \( AD \) nằm trên mặt \( ABCD \), còn \( A'B'C'D' \) là mặt đứng thẳng từ \( A' \) đến \( D' \). Vì \( AD \) song song với \( A'D' \) và \( A'D' \) nằm trên mặt \( A'B'C'D' \), nên \( AD \) không vuông góc với \( (A'B'C'D') \). Do đó, khẳng định đúng là: \[ C.~AB \bot (BCC'B'). \] Đáp án: \( C.~AB \bot (BCC'B'). \) Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ dựa vào các tính chất của hình học không gian liên quan đến các mặt phẳng vuông góc và đường thẳng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng. 1. Xác định các điều kiện ban đầu: - Hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và cắt nhau theo giao tuyến d. - Đường thẳng \( a \subset (P) \) và \( a \bot d \). 2. Phân tích từng khẳng định: Khẳng định A: \( d \bot (Q) \) - Giao tuyến d nằm trong cả hai mặt phẳng (P) và (Q). Tuy nhiên, chỉ vì (P) và (Q) vuông góc với nhau không đủ để suy ra rằng d vuông góc với (Q). Do đó, khẳng định này sai. Khẳng định B: \( a \bot (Q) \) - Vì \( a \subset (P) \) và \( a \bot d \), theo tính chất của đường thẳng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng vuông góc, ta có \( a \bot (Q) \). Do đó, khẳng định này đúng. Khẳng định C: \( d \bot (P) \) - Giao tuyến d nằm trong mặt phẳng (P), do đó d không thể vuông góc với (P). Do đó, khẳng định này sai. Khẳng định D: \( a \bot (P) \) - Đường thẳng \( a \subset (P) \), do đó a không thể vuông góc với (P). Do đó, khẳng định này sai. 3. Kết luận: - Khẳng định đúng là B: \( a \bot (Q) \). Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{B} \] Câu 5: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định nào đúng. 1. Khẳng định A: $(SAD) \bot (ABCD)$ - Vì $SA \bot (ABCD)$, mặt phẳng $(SAD)$ chứa đường thẳng $SA$ và cắt mặt phẳng $(ABCD)$ theo đường thẳng $AD$. Do đó, $(SAD) \bot (ABCD)$ vì $SA$ là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. 2. Khẳng định B: $(SAD) \bot (SAC)$ - Mặt phẳng $(SAD)$ và $(SAC)$ đều chứa đường thẳng $SA$, do đó chúng không thể vuông góc với nhau. 3. Khẳng định C: $(SAB) \bot (SAC)$ - Mặt phẳng $(SAB)$ và $(SAC)$ đều chứa đường thẳng $SA$, do đó chúng không thể vuông góc với nhau. 4. Khẳng định D: $(SAD) \bot (SBC)$ - Mặt phẳng $(SAD)$ và $(SBC)$ không chứa cùng một đường thẳng chung, nhưng không có thông tin nào cho thấy chúng vuông góc với nhau. Từ các lập luận trên, chúng ta thấy rằng khẳng định duy nhất đúng là: $\textcircled{A.}~(SAD)\bot(ABCD).$ Đáp án: $\textcircled{A.}~(SAD)\bot(ABCD).$ Câu 6: Biến cố "A xảy ra hoặc B xảy ra" được ký hiệu là \( A \cup B \). Lập luận từng bước: 1. Xác định biến cố A và B: Giả sử A và B là hai biến cố là các tập con của không gian mẫu Q. 2. Hiểu nghĩa của "A xảy ra hoặc B xảy ra": Điều này có nghĩa là ít nhất một trong hai biến cố A hoặc B xảy ra. 3. Ký hiệu hợp của hai tập hợp: Hợp của hai tập hợp A và B, ký hiệu là \( A \cup B \), bao gồm tất cả các phần tử thuộc A hoặc thuộc B hoặc thuộc cả hai. Do đó, biến cố "A xảy ra hoặc B xảy ra" được ký hiệu là \( A \cup B \).