helppppppppp Câu 73. Cho hình chóp S.ABCD có mặt bên (SAD) và (SAB) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD),,ABCD là hình vuông cạnh a, $SA=a\sqrt3.$,a) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SBC),b) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SDB),c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC

Question

Mua hàng shopee · Accepted Answer

{"userId":5359949,"userName":"Đình Phong"}

Bài giải

a) Tính khoảng cách từ D đến mặt phẳng $(SBC)$:

Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AD // BC$ => $AD // (SBC)$. Vậy $d(D, (SBC)) = d(A, (SBC))$.

Kẻ $AH \perp SB$ tại H.

Ta có:

$BC \perp AB$

$BC \perp SA$ (vì $SA \perp (ABCD)$)

=> $BC \perp (SAB)$ => $BC \perp AH$

Mà $AH \perp SB$ => $AH \perp (SBC)$

Vậy $d(A, (SBC)) = AH$

Xét tam giác vuông SAB, ta có:

$\frac{1}{AH^2} = \frac{1}{SA^2} + \frac{1}{AB^2} = \frac{1}{(a\sqrt{3})^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{1}{3a^2} + \frac{1}{a^2} = \frac{4}{3a^2}$

=> $AH = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vậy $d(D, (SBC)) = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

b) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SDB):

Ta có $V_{S.BCD} = \frac{1}{3}.SA.S_{BCD} = \frac{1}{3}.a\sqrt{3}.\frac{1}{2}a^2 = \frac{a^3\sqrt{3}}{6}$.

$BD = a\sqrt{2}$

$SD = \sqrt{SA^2+AD^2} = \sqrt{3a^2+a^2} = 2a$

$SB = \sqrt{SA^2+AB^2} = \sqrt{3a^2+a^2} = 2a$

$\Rightarrow \Delta SDB$ cân tại S. Gọi I là trung điểm BD, suy ra $SI \perp BD$

$SI = \sqrt{SD^2-DI^2} = \sqrt{4a^2-\frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{14}}{2}$

$S_{\Delta SDB} = \frac{1}{2}.BD.SI = \frac{1}{2}.a\sqrt{2}.\frac{a\sqrt{14}}{2} = \frac{a^2\sqrt{7}}{2}$

$d(C, (SDB)) = \frac{3V_{S.BCD}}{S_{SDB}} = \frac{3.\frac{a^3\sqrt{3}}{6}}{\frac{a^2\sqrt{7}}{2}} = \frac{\frac{a^3\sqrt{3}}{2}}{\frac{a^2\sqrt{7}}{2}} = \frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{a\sqrt{21}}{7}$

c) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC:

Dựng hình bình hành ADCE. Khi đó CE // AD. Suy ra AD và SC chéo nhau.

Ta có AD // (SCE) => $d(AD, SC) = d(AD, (SCE)) = d(A, (SCE))$.

Gọi O là giao điểm AC và BD. Khi đó SO là đường cao của hình chóp S.ACE.

Ta có: $V_{S.ACE} = V_{S.ADC} + V_{S.AEC}$.

$V_{S.ADC} = \frac{1}{3} SA.S_{ADC} = \frac{1}{3} a\sqrt{3} \frac{a^2}{2} = \frac{a^3\sqrt{3}}{6}$

$V_{S.AEC} = V_{S.ADC} = \frac{a^3\sqrt{3}}{6}$

$V_{S.ACE} = 2V_{S.ADC} = \frac{a^3\sqrt{3}}{3}$

$CE = AD = a, AC = a\sqrt{2}$. Gọi M là trung điểm AE, suy ra $CM \perp AE$.

Ta có $CM = \sqrt{AC^2 - AM^2} = \sqrt{2a^2-\frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{7}}{2}$

$S_{ACE} = \frac{1}{2}.AE.CM = \frac{1}{2}.a.\frac{a\sqrt{7}}{2} = \frac{a^2\sqrt{7}}{4}$

Gọi h là khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ACE).

Ta có $V_{S.ACE} = \frac{1}{3} h. S_{ACE}$

=> $h = \frac{3 V_{S.ACE}}{S_{ACE}} = \frac{3 \frac{a^3\sqrt{3}}{3}}{\frac{a^2\sqrt{7}}{4}} = \frac{4a\sqrt{3}}{\sqrt{7}} = \frac{4a\sqrt{21}}{7}$

Gọi K là hình chiếu của A lên (SCE), thì $d(A, (SCE)) = AK$.

$\frac{1}{AK^2} = \frac{1}{AS^2} + \frac{1}{h^2} = \frac{1}{3a^2} + \frac{1}{\frac{16.3a^2}{49}} = \frac{1}{3a^2} + \frac{49}{48a^2} = \frac{16+49}{48a^2} = \frac{65}{48a^2}$

=> $AK = \sqrt{\frac{48a^2}{65}} = a\sqrt{\frac{48}{65}} = a\sqrt{\frac{48.65}{65^2}} = \frac{4a\sqrt{3.5.13}}{65} = \frac{4a\sqrt{195}}{65}$

Vậy $d(AD, SC) = \frac{4a\sqrt{195}}{65}$