Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Câu 4. (3,5 điểm),Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AH vuông góc với BC tại H. Lấy N là trung điểm của,cạnh AC, hai đoạn thẳng BN và AH cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia NG lấy điểm K sao cho,$NK=NG.$,a) Chứng minh $\Delta ABH=\Delta ACH.$,b) Chứng minh $CK\bot BC.$,c) Gọi I là giao điểm của KH và CG. Chứng minh I là trọng tâm của $\Delta BCK.$,d) Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh $GM

Question

Câu trong ảnh làm như nào các bạn ơi... Câu 4. (3,5 điểm),Cho tam giác ABC cân tại A, kẻ AH vuông góc với BC tại H. Lấy N là trung điểm của,cạnh AC, hai đoạn thẳng BN và AH cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia NG lấy điểm K sao cho,$NK=NG.$,a) Chứng minh $\Delta ABH=\Delta ACH.$,b) Chứng minh $CK\bot BC.$,c) Gọi I là giao điểm của KH và CG. Chứng minh I là trọng tâm của $\Delta BCK.$,d) Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Chứng minh $GM<\frac14(BC+AG).$

Accepted Answer

{"userId":5411500,"userName":"Nguyễn Quỳnh Anh"}

a) Chứng minh $ riangle ABH = riangle ACH$

* $ riangle ABC$ cân tại A $\implies AB = AC$

* AH là đường cao $\implies \widehat{AHB} = \widehat{AHC} = 90^\circ$

* AH là cạnh chung

Suy ra $ riangle ABH = riangle ACH$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

b) Chứng minh $CK \perp BC$

Gọi E là trung điểm của AG. Xét $ riangle AKC$, ta có G là trung điểm của $NK, N$ là trung điểm $AC$ nên $GN$ là đường trung bình $\implies GN//CK$.

Vì GN đi qua trọng tâm G của $ riangle ABC$ nên G nằm trên đường trung tuyến $BN$. Suy ra AG là trung tuyến của $ riangle AKC$. Vì AG đi qua trung điểm E nên AG là đường trung tuyến của $ riangle AKC$.

Suy ra E là trung điểm của KC.

Vì $ riangle AKC$ có hai đường trung tuyến AE và CN cắt nhau tại G nên G là trọng tâm của $ riangle AKC$.

Vì AH là đường cao nên AH vuông góc với BC. Suy ra $ riangle ABC$ cân tại A.

Gọi $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$=$x$. Vì $ riangle ABC$ cân tại A nên $\widehat{BAC}=180^\circ-2x$.

$ riangle ABH$ vuông tại H nên $\widehat{BAH}=90^\circ - x$.

$\widehat{HAC}=90^\circ - x$ ( do $ riangle ABH = riangle ACH$).

Suy ra $\widehat{BAC}=\widehat{BAH}+\widehat{HAC}=180^\circ - 2x$.

Vì NK=NG nên G là trung điểm của NK.

Suy ra $ riangle ACK$ cân tại C.

Suy ra $\widehat{CKA}=\widehat{CAK}$.

Vì $\widehat{ACB}=x$ nên $\widehat{ACK}=x$.

Suy ra $\widehat{BCK}=\widehat{BCA}+\widehat{ACK}=2x$.

Trong $ riangle BCK$ có:

$\widehat{CBK}+\widehat{BCK}+\widehat{BKC}=180^\circ$

Suy ra $\widehat{CBK} + 2x+ 180^\circ-2x=180^\circ$

Suy ra $\widehat{CBK}=90^\circ$

Vậy $CK \perp BC$.

c) Chứng minh I là trọng tâm của $ riangle BCK$

Xét $ riangle BCK$, ta có KH và CG là hai đường trung tuyến cắt nhau tại I.

Suy ra I là trọng tâm của $ riangle BCK$.

d) Chứng minh $GM < \frac{1}{4}(BC + AG)$

Gọi D là trung điểm BC. Suy ra AD là trung tuyến ứng với cạnh đáy BC. Vì $ riangle ABC$ cân tại A nên AD cũng là đường cao.

Ta có G là trọng tâm của $ riangle ABC$. Suy ra $AG = \frac{2}{3}AD$

Vì M là trung điểm của AB nên MD là đường trung bình của $ riangle ABC$

Suy ra MD = $\frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}AB$.

Ta có $GM < GD + DM = \frac{1}{3}AD + \frac{1}{2}AB = \frac{1}{3}(\frac{3}{2}AG) + \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}AG + \frac{1}{2}AB$

Ta lại có $AB < \frac{1}{2}BC$.

Suy ra $GM < \frac{1}{4}(BC + AG)$.