cho tam giác abc, phân giác ad, qua d kẻ đường thẳng song song vs ab, cắt ac ở e qua e kẻ đường thẳng song song vs bc cắt ab ở k chứng minh ae=bk

Question

Accepted Answer

Để chứng minh $ AE = BK $, ta sẽ thực hiện các bước lập luận như sau:

1. Xét tam giác và các đường song song:

- Cho tam giác $ \triangle ABC $ với phân giác $ AD $.
   - Qua điểm $ D $, kẻ đường thẳng song song với $ AB $, cắt $ AC $ tại $ E $.
   - Qua điểm $ E $, kẻ đường thẳng song song với $ BC $, cắt $ AB $ tại $ K $.

2. Sử dụng tính chất đường song song:

- Do $ DE \parallel AB $, theo định lý về đường thẳng song song cắt hai cạnh của tam giác, ta có:
     $$
     \frac{AD}{DB} = \frac{AE}{EC}
     $$

- Do $ EK \parallel BC $, theo định lý về đường thẳng song song cắt hai cạnh của tam giác, ta có:
     $$
     \frac{AE}{EC} = \frac{AK}{KB}
     $$

3. Suy ra từ các tỉ lệ:

- Từ hai tỉ lệ trên, ta có:
     $$
     \frac{AD}{DB} = \frac{AK}{KB}
     $$

- Vì $ AD $ là phân giác của $ \angle BAC $, theo tính chất của phân giác trong tam giác, ta có:
     $$
     \frac{AB}{AC} = \frac{AD}{DB}
     $$

- Kết hợp với tỉ lệ $ \frac{AD}{DB} = \frac{AK}{KB} $, ta suy ra:
     $$
     \frac{AB}{AC} = \frac{AK}{KB}
     $$

4. Kết luận:

- Từ tỉ lệ $ \frac{AB}{AC} = \frac{AK}{KB} $ và $ EK \parallel BC $, ta suy ra $ AE = BK $.

Như vậy, ta đã chứng minh được $ AE = BK $ bằng cách sử dụng các tính chất của đường thẳng song song và phân giác trong tam giác.