cho pt: $x^{2\ }-2\left(m-1\right)-m-3=0$
a.tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt x1,x2
b.tìm m để x1,x2 thỏa mãn $\left(x1-x2\right)^{2}$=$4m^{2}-5x1+x2$

Question

Mua hàng shopee · Accepted Answer

a. Để phương trình $x^2 - 2(m-1)x - m - 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$, điều kiện là $\Delta' > 0$. Ta có:

$\Delta' = (m-1)^2 - (-m-3) = m^2 - 2m + 1 + m + 3 = m^2 - m + 4$.

Vì $m^2 - m + 4 = (m - \frac{1}{2})^2 + \frac{15}{4} > 0$ với mọi $m$, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$.

b. Theo định lý Viète, ta có $x_1 + x_2 = 2(m-1)$ và $x_1x_2 = -m-3$.

Ta có $(x_1 - x_2)^2 = 4m^2 - 5x_1 + x_2$.

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1x_2 = [2(m-1)]^2 - 4(-m-3) = 4(m^2 - 2m + 1) + 4m + 12 = 4m^2 - 8m + 4 + 4m + 12 = 4m^2 - 4m + 16$.

Vậy $4m^2 - 4m + 16 = 4m^2 - 5x_1 + x_2$, suy ra $-4m + 16 = -5x_1 + x_2$.

Ta có $x_1 + x_2 = 2m - 2$. Nhân 5 vào ta có $5x_1 + 5x_2 = 10m - 10$.

Cộng hai vế $-5x_1 + x_2 = -4m + 16$ và $5x_1 + 5x_2 = 10m - 10$, ta được $6x_2 = 6m + 6$, suy ra $x_2 = m + 1$.

Thay $x_2 = m+1$ vào $x_1 + x_2 = 2m - 2$, ta được $x_1 = 2m - 2 - x_2 = 2m - 2 - (m+1) = m - 3$.

Thay $x_1 = m - 3$ và $x_2 = m + 1$ vào $x_1x_2 = -m - 3$, ta có $(m-3)(m+1) = -m - 3$.

$m^2 - 3m + m - 3 = -m - 3$, suy ra $m^2 - 2m - 3 = -m - 3$, hay $m^2 - m = 0$.

$m(m-1) = 0$. Vậy $m = 0$ hoặc $m = 1$.

Thử lại:

Nếu $m=0$, thì $x_1 = -3, x_2 = 1$. $(x_1-x_2)^2 = (-3-1)^2 = 16$.

$4m^2 - 5x_1 + x_2 = 0 - 5(-3) + 1 = 15 + 1 = 16$.

Vậy $m=0$ thỏa mãn.

Nếu $m=1$, thì $x_1 = -2, x_2 = 2$. $(x_1-x_2)^2 = (-2-2)^2 = 16$.

$4m^2 - 5x_1 + x_2 = 4 - 5(-2) + 2 = 4 + 10 + 2 = 16$.

Vậy $m=1$ thỏa mãn.

Kết luận: $m = 0$ hoặc $m = 1$.

Timi · Answer

a) Để phương trình $x^{2} - 2(m-1)x - m - 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$, ta cần điều kiện:
$$ \Delta > 0 $$

Tính $\Delta$:
$$ \Delta = b^2 - 4ac $$
$$ \Delta = [-2(m-1)]^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-m-3) $$
$$ \Delta = 4(m-1)^2 + 4(m+3) $$
$$ \Delta = 4(m^2 - 2m + 1) + 4m + 12 $$
$$ \Delta = 4m^2 - 8m + 4 + 4m + 12 $$
$$ \Delta = 4m^2 - 4m + 16 $$

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt:
$$ 4m^2 - 4m + 16 > 0 $$

Chia cả hai vế cho 4:
$$ m^2 - m + 4 > 0 $$

Ta thấy rằng $m^2 - m + 4$ luôn dương vì nó là một tam thức bậc hai có hệ số $a = 1 > 0$ và $\Delta&#x27; = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15 < 0$. Do đó, $m^2 - m + 4$ luôn dương với mọi giá trị của $m$.

Vậy, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$.

b) Ta có:
$$ (x_1 - x_2)^2 = 4m^2 - 5(x_1 + x_2) $$

Theo công thức Viète:
$$ x_1 + x_2 = 2(m-1) $$
$$ x_1 x_2 = -(m+3) $$

Thay vào biểu thức:
$$ (x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 $$
$$ (x_1 - x_2)^2 = [2(m-1)]^2 - 4[-(m+3)] $$
$$ (x_1 - x_2)^2 = 4(m-1)^2 + 4(m+3) $$
$$ (x_1 - x_2)^2 = 4(m^2 - 2m + 1) + 4m + 12 $$
$$ (x_1 - x_2)^2 = 4m^2 - 8m + 4 + 4m + 12 $$
$$ (x_1 - x_2)^2 = 4m^2 - 4m + 16 $$

Theo đề bài:
$$ 4m^2 - 4m + 16 = 4m^2 - 5 \cdot 2(m-1) $$
$$ 4m^2 - 4m + 16 = 4m^2 - 10m + 10 $$

Bằng cách trừ $4m^2$ từ cả hai vế:
$$ -4m + 16 = -10m + 10 $$

Di chuyển các hạng tử liên quan đến $m$ sang một vế:
$$ 6m = -6 $$

Giải cho $m$:
$$ m = -1 $$

Vậy, giá trị của $m$ để $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn $(x_1 - x_2)^2 = 4m^2 - 5(x_1 + x_2)$ là $m = -1$.

cho pt: \(x^{2\ }-2\left(m-1\right)-m-3=0\) a.tìm m để pt có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 b.tìm m để x1,x2 thỏa mãn \(\left(x1-x2\right)^{2}\)=\(4m^{2}-5x1+x2\)