Giúp mình với!

Câu 1. Để tìm tập xác định của hàm số $y=\frac{x+1}{x-1}$, ta cần đảm bảo rằng mẫu số không bằng không vì một phân số không thể có mẫu số bằng không. Bước 1: Xác định điều kiện của mẫu số: \[ x - 1 \neq 0 \] Bước 2: Giải bất phương trình: \[ x \neq 1 \] Bước 3: Kết luận tập xác định: Tập xác định của hàm số là tất cả các số thực ngoại trừ 1. Do đó, tập xác định là: \[ D = \mathbb{R} \setminus \{1\} \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~D=\mathbb R\setminus\{1\}. \] Câu 2. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số $y = x^2 - 4x + 11$, ta cần tìm đạo hàm của hàm số này. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^2 - 4x + 11) = 2x - 4 \] Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm: - Hàm số đồng biến khi đạo hàm dương, tức là $y' > 0$. - Ta giải bất phương trình $2x - 4 > 0$: \[ 2x - 4 > 0 \] \[ 2x > 4 \] \[ x > 2 \] Do đó, hàm số $y = x^2 - 4x + 11$ đồng biến trên khoảng $(2; +\infty)$. Vậy đáp án đúng là: \[ C.~(2; +\infty) \] Câu 3. Ta xét tam thức bậc hai $f(x) = -2x^2 + 8x - 8$. Để xác định dấu của tam thức này, ta cần tìm các nghiệm của phương trình $f(x) = 0$. Phương trình $-2x^2 + 8x - 8 = 0$ có thể được viết lại thành: \[ -2(x^2 - 4x + 4) = 0 \] \[ x^2 - 4x + 4 = 0 \] \[ (x - 2)^2 = 0 \] Vậy phương trình có nghiệm kép $x = 2$. Do hệ số $a = -2 < 0$, tam thức $f(x)$ sẽ có dạng đồ thị là một parabol mở xuống. Parabol này tiếp xúc với trục hoành tại điểm $(2, 0)$. Vì vậy, tam thức $f(x)$ luôn nhỏ hơn hoặc bằng 0 với mọi $x \in \mathbb{R}$. Cụ thể: - Khi $x = 2$, ta có $f(2) = 0$. - Khi $x \neq 2$, ta có $f(x) < 0$. Như vậy, mệnh đề đúng là: \[ C.~f(x) \leq 0 \text{ với mọi } x \in \mathbb{R}. \] Câu 4. Để tìm vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d: x + 2y - 1 = 0\), ta cần xác định các hệ số của \(x\) và \(y\) trong phương trình này. Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng: \[ x + 2y - 1 = 0 \] Trong phương trình này, hệ số của \(x\) là 1 và hệ số của \(y\) là 2. Do đó, vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) sẽ có dạng \((a; b)\), trong đó \(a\) là hệ số của \(x\) và \(b\) là hệ số của \(y\). Vậy vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là: \[ \overrightarrow{n} = (1; 2) \] Do đó, đáp án đúng là: \[ B. \overrightarrow{n} = (1; 2) \] Câu 5. Để tìm đường thẳng song song với đường thẳng \(d: x - 2y - 1 = 0\), ta cần tìm đường thẳng có cùng hệ số góc với đường thẳng \(d\). Phương trình đường thẳng \(d\) có dạng \(x - 2y - 1 = 0\). Ta viết lại phương trình này dưới dạng \(y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\). Từ đó, ta thấy hệ số góc của đường thẳng \(d\) là \(\frac{1}{2}\). Bây giờ, ta kiểm tra từng phương án để tìm đường thẳng có cùng hệ số góc \(\frac{1}{2}\): A. \(x + 2y + 1 = 0\) - Viết lại phương trình: \(2y = -x - 1\) - \(y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\) - Hệ số góc là \(-\frac{1}{2}\), không phải \(\frac{1}{2}\). B. \(2x - y = 0\) - Viết lại phương trình: \(y = 2x\) - Hệ số góc là \(2\), không phải \(\frac{1}{2}\). C. \(-x + 2y + 1 = 0\) - Viết lại phương trình: \(2y = x - 1\) - \(y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{2}\) - Hệ số góc là \(\frac{1}{2}\), đúng. D. \(-2x + 4y - 1 = 0\) - Viết lại phương trình: \(4y = 2x + 1\) - \(y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{4}\) - Hệ số góc là \(\frac{1}{2}\), đúng. Như vậy, cả hai phương án C và D đều có cùng hệ số góc \(\frac{1}{2}\) với đường thẳng \(d\). Tuy nhiên, trong các lựa chọn, chỉ có một đáp án đúng. Do đó, ta chọn phương án C vì nó là phương án đầu tiên đúng trong danh sách. Đáp án: C. \(-x + 2y + 1 = 0\). Câu 6. Để xác định phương trình của đường tròn trong các phương trình đã cho, ta cần kiểm tra xem phương trình nào có dạng chuẩn của phương trình đường tròn, tức là $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$, trong đó $(a, b)$ là tọa độ tâm và $r$ là bán kính. Ta sẽ lần lượt kiểm tra từng phương trình: A. $x^2 + 2y^2 - 4x - 8y + 1 = 0$ Phương trình này có hệ số của $y^2$ là 2, không phải là 1, nên không phải là phương trình đường tròn. B. $x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0$ Ta nhóm các hạng tử liên quan đến $x$ và $y$ lại và hoàn thành bình phương: \[ x^2 - 4x + y^2 + 6y = 12 \] \[ (x - 2)^2 - 4 + (y + 3)^2 - 9 = 12 \] \[ (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25 \] Phương trình này có dạng chuẩn của phương trình đường tròn với tâm $(2, -3)$ và bán kính $5$. C. $x^2 + y^2 - 2x - 8y + 20 = 0$ Ta nhóm các hạng tử liên quan đến $x$ và $y$ lại và hoàn thành bình phương: \[ x^2 - 2x + y^2 - 8y = -20 \] \[ (x - 1)^2 - 1 + (y - 4)^2 - 16 = -20 \] \[ (x - 1)^2 + (y - 4)^2 = -3 \] Phương trình này không thể là phương trình đường tròn vì bán kính không thể là số âm. D. $4x^2 + y^2 - 10x - 6y - 2 = 0$ Phương trình này có hệ số của $x^2$ là 4, không phải là 1, nên không phải là phương trình đường tròn. Từ các phép kiểm tra trên, ta thấy phương trình đúng là phương trình của đường tròn là: \[ B.~x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0 \] Đáp án: B. Câu 7. Phương trình elip đã cho là $\frac{x^2}{4} + y^2 = 1$. Ta nhận thấy đây là dạng chuẩn của phương trình elip $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$, trong đó $a^2 = 4$ và $b^2 = 1$. Do đó, ta có $a = 2$ và $b = 1$. Tiêu cự của elip được tính bằng công thức $c = \sqrt{a^2 - b^2}$. Thay các giá trị của $a$ và $b$ vào công thức này, ta có: \[ c = \sqrt{4 - 1} = \sqrt{3} \] Vậy tọa độ của hai tiêu điểm của elip là $(\pm c, 0)$, tức là $(\pm \sqrt{3}, 0)$. Do đó, một tiêu điểm của elip có tọa độ là $A(\sqrt{3}, 0)$. Đáp án đúng là: $A.~A(\sqrt{3}, 0)$. Câu 8. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng quy tắc nhân trong lý thuyết tổ hợp. Bước 1: Xác định số lựa chọn cho mỗi loại trang phục. - Số cách chọn quần: 4 cách. - Số cách chọn áo: 6 cách. - Số cách chọn cà vạt: 3 cách. Bước 2: Áp dụng quy tắc nhân để tính tổng số cách chọn bộ "quần-áo-cà vạt". Tổng số cách chọn bộ "quần-áo-cà vạt" là: \[ 4 \times 6 \times 3 = 72 \] Vậy, có 72 cách chọn bộ "quần-áo-cà vạt" khác nhau. Đáp án đúng là: A. 72. Câu 9. Để kiểm tra từng mệnh đề, ta sẽ sử dụng các công thức cơ bản về tổ hợp và hoán vị. 1. Mệnh đề A: \( A^k_n = k! \cdot C^k_n \) - Công thức của số hoán vị \( A^k_n \) là: \[ A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!} \] - Công thức của số tổ hợp \( C^k_n \) là: \[ C^k_n = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \] - Nhân \( C^k_n \) với \( k! \): \[ k! \cdot C^k_n = k! \cdot \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} = \frac{n!}{(n-k)!} = A^k_n \] - Vậy mệnh đề A đúng. 2. Mệnh đề B: \( C^k_n = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \) - Đây là công thức chuẩn xác của số tổ hợp \( C^k_n \). Do đó, mệnh đề B đúng. 3. Mệnh đề C: \( C^k_n = C^{n-k}_n \) - Ta có thể chứng minh bằng cách sử dụng công thức của số tổ hợp: \[ C^{n-k}_n = \frac{n!}{(n-k)! \cdot (n-(n-k))!} = \frac{n!}{(n-k)! \cdot k!} = C^k_n \] - Vậy mệnh đề C đúng. 4. Mệnh đề D: \( A^k_n = n! \cdot C^k_n \) - Ta đã biết công thức của số hoán vị \( A^k_n \) là: \[ A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!} \] - Nếu nhân \( C^k_n \) với \( n! \): \[ n! \cdot C^k_n = n! \cdot \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} = \frac{(n!)^2}{k! \cdot (n-k)!} \] - Điều này không bằng \( A^k_n \), vì \( A^k_n = \frac{n!}{(n-k)!} \). Do đó, mệnh đề D sai. Đáp án: D. \( A^k_n = n! \cdot C^k_n \)