Ndjdhsbsnznxnbx

Bài 1. Để tìm gradient của hàm số \( f \) tại điểm \( P \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính các đạo hàm riêng của \( f \) a. \( f(x, y, z) = e^{xy} \cos z \) - Đạo hàm riêng theo \( x \): \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \cos z \right) = y e^{xy} \cos z \] - Đạo hàm riêng theo \( y \): \[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \cos z \right) = x e^{xy} \cos z \] - Đạo hàm riêng theo \( z \): \[ \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left( e^{xy} \cos z \right) = -e^{xy} \sin z \] b. \( f(x, y, z) = \frac{xy}{z} \) - Đạo hàm riêng theo \( x \): \[ \frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{xy}{z} \right) = \frac{y}{z} \] - Đạo hàm riêng theo \( y \): \[ \frac{\partial f}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{xy}{z} \right) = \frac{x}{z} \] - Đạo hàm riêng theo \( z \): \[ \frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z} \left( \frac{xy}{z} \right) = -\frac{xy}{z^2} \] Bước 2: Thay tọa độ điểm \( P \) vào các đạo hàm riêng a. \( f(x, y, z) = e^{xy} \cos z \) tại \( P = (0, 2, 0) \) - \(\frac{\partial f}{\partial x}(0, 2, 0) = 2 e^{0 \cdot 2} \cos 0 = 2 \cdot 1 \cdot 1 = 2\) - \(\frac{\partial f}{\partial y}(0, 2, 0) = 0 e^{0 \cdot 2} \cos 0 = 0 \cdot 1 \cdot 1 = 0\) - \(\frac{\partial f}{\partial z}(0, 2, 0) = -e^{0 \cdot 2} \sin 0 = -1 \cdot 0 = 0\) Gradient của \( f \) tại \( P \) là: \[ \nabla f(0, 2, 0) = \left( 2, 0, 0 \right) \] b. \( f(x, y, z) = \frac{xy}{z} \) tại \( P = (2, -1, 5) \) - \(\frac{\partial f}{\partial x}(2, -1, 5) = \frac{-1}{5} = -\frac{1}{5}\) - \(\frac{\partial f}{\partial y}(2, -1, 5) = \frac{2}{5}\) - \(\frac{\partial f}{\partial z}(2, -1, 5) = -\frac{2 \cdot (-1)}{5^2} = \frac{2}{25}\) Gradient của \( f \) tại \( P \) là: \[ \nabla f(2, -1, 5) = \left( -\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{2}{25} \right) \] Kết luận - Gradient của \( f(x, y, z) = e^{xy} \cos z \) tại \( P = (0, 2, 0) \) là \( \nabla f(0, 2, 0) = \left( 2, 0, 0 \right) \). - Gradient của \( f(x, y, z) = \frac{xy}{z} \) tại \( P = (2, -1, 5) \) là \( \nabla f(2, -1, 5) = \left( -\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{2}{25} \right) \). Bài 2 Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. Phần a) $f(x, y, z) = xy^2 + x^2z + yz$, $P(1, 1, 2)$, $v = i + 2j - k$ Bước 1: Tính các đạo hàm riêng của $f$: \[ f_x = y^2 + 2xz \\ f_y = 2xy + z \\ f_z = x^2 + y \] Bước 2: Đánh giá các đạo hàm riêng tại điểm $P(1, 1, 2)$: \[ f_x(1, 1, 2) = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot 2 = 1 + 4 = 5 \\ f_y(1, 1, 2) = 2 \cdot 1 \cdot 1 + 2 = 2 + 2 = 4 \\ f_z(1, 1, 2) = 1^2 + 1 = 1 + 1 = 2 \] Bước 3: Xác định véc tơ đơn vị $\hat{v}$ từ véc tơ $v = i + 2j - k$: \[ |v| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \\ \hat{v} = \frac{1}{\sqrt{6}}i + \frac{2}{\sqrt{6}}j - \frac{1}{\sqrt{6}}k \] Bước 4: Tính đạo hàm theo hướng: \[ D_v f = f_x \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} + f_y \cdot \frac{2}{\sqrt{6}} + f_z \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right) \\ = 5 \cdot \frac{1}{\sqrt{6}} + 4 \cdot \frac{2}{\sqrt{6}} + 2 \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right) \\ = \frac{5}{\sqrt{6}} + \frac{8}{\sqrt{6}} - \frac{2}{\sqrt{6}} \\ = \frac{5 + 8 - 2}{\sqrt{6}} \\ = \frac{11}{\sqrt{6}} \\ = \frac{11\sqrt{6}}{6} \] Phần b) $f(x, y, z) = \ln(x^2 + y^2 + z^2)$, $P(0, 0, 1)$, vectơ từ $P$ đến $Q(2, 2, 0)$ Bước 1: Tính các đạo hàm riêng của $f$: \[ f_x = \frac{2x}{x^2 + y^2 + z^2} \\ f_y = \frac{2y}{x^2 + y^2 + z^2} \\ f_z = \frac{2z}{x^2 + y^2 + z^2} \] Bước 2: Đánh giá các đạo hàm riêng tại điểm $P(0, 0, 1)$: \[ f_x(0, 0, 1) = \frac{2 \cdot 0}{0^2 + 0^2 + 1^2} = 0 \\ f_y(0, 0, 1) = \frac{2 \cdot 0}{0^2 + 0^2 + 1^2} = 0 \\ f_z(0, 0, 1) = \frac{2 \cdot 1}{0^2 + 0^2 + 1^2} = 2 \] Bước 3: Xác định véc tơ từ $P$ đến $Q$: \[ v = Q - P = (2 - 0)i + (2 - 0)j + (0 - 1)k = 2i + 2j - k \] Bước 4: Xác định véc tơ đơn vị $\hat{v}$ từ véc tơ $v = 2i + 2j - k$: \[ |v| = \sqrt{2^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3 \\ \hat{v} = \frac{2}{3}i + \frac{2}{3}j - \frac{1}{3}k \] Bước 5: Tính đạo hàm theo hướng: \[ D_v f = f_x \cdot \frac{2}{3} + f_y \cdot \frac{2}{3} + f_z \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \\ = 0 \cdot \frac{2}{3} + 0 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) \\ = 0 + 0 - \frac{2}{3} \\ = -\frac{2}{3} \] Phần c) $f(x, y, z) = x \sin y + y \sin z + z \sin x$, $P(1, 0, 0)$, $v = 2\sqrt{3}i + 2j$ Bước 1: Tính các đạo hàm riêng của $f$: \[ f_x = \sin y + z \cos x \\ f_y = x \cos y + \sin z \\ f_z = y \cos z + \sin x \] Bước 2: Đánh giá các đạo hàm riêng tại điểm $P(1, 0, 0)$: \[ f_x(1, 0, 0) = \sin 0 + 0 \cdot \cos 1 = 0 \\ f_y(1, 0, 0) = 1 \cdot \cos 0 + \sin 0 = 1 \\ f_z(1, 0, 0) = 0 \cdot \cos 0 + \sin 1 = \sin 1 \] Bước 3: Xác định véc tơ đơn vị $\hat{v}$ từ véc tơ $v = 2\sqrt{3}i + 2j$: \[ |v| = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 + 2^2} = \sqrt{12 + 4} = \sqrt{16} = 4 \\ \hat{v} = \frac{2\sqrt{3}}{4}i + \frac{2}{4}j = \frac{\sqrt{3}}{2}i + \frac{1}{2}j \] Bước 4: Tính đạo hàm theo hướng: \[ D_v f = f_x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + f_y \cdot \frac{1}{2} + f_z \cdot 0 \\ = 0 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + 1 \cdot \frac{1}{2} + \sin 1 \cdot 0 \\ = 0 + \frac{1}{2} + 0 \\ = \frac{1}{2} \] Kết luận - Đạo hàm theo hướng của $f$ tại $P(1, 1, 2)$ theo hướng $v = i + 2j - k$ là $\frac{11\sqrt{6}}{6}$. - Đạo hàm theo hướng của $f$ tại $P(0, 0, 1)$ theo hướng vectơ từ $P$ đến $Q(2, 2, 0)$ là $-\frac{2}{3}$. - Đạo hàm theo hướng của $f$ tại $P(1, 0, 0)$ theo hướng $v = 2\sqrt{3}i + 2j$ là $\frac{1}{2}$. Bài 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết. a) Tìm tốc độ biến thiên của T tại điểm $(1, -2, 1)$ theo hướng của véc tơ $4i - j + 2k$. Bước 1: Xác định hàm số $T(x, y, z) = 2x^2 - y^2 + 4z^2$. Bước 2: Tính các đạo hàm riêng của $T$: \[ \frac{\partial T}{\partial x} = 4x, \quad \frac{\partial T}{\partial y} = -2y, \quad \frac{\partial T}{\partial z} = 8z \] Bước 3: Tính gradient của $T$: \[ \nabla T = \left( \frac{\partial T}{\partial x}, \frac{\partial T}{\partial y}, \frac{\partial T}{\partial z} \right) = (4x, -2y, 8z) \] Bước 4: Đánh giá gradient tại điểm $(1, -2, 1)$: \[ \nabla T(1, -2, 1) = (4 \cdot 1, -2 \cdot (-2), 8 \cdot 1) = (4, 4, 8) \] Bước 5: Xác định véc tơ $\vec{u} = 4i - j + 2k = (4, -1, 2)$ và chuẩn hóa nó: \[ |\vec{u}| = \sqrt{4^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21} \] \[ \hat{u} = \left( \frac{4}{\sqrt{21}}, \frac{-1}{\sqrt{21}}, \frac{2}{\sqrt{21}} \right) \] Bước 6: Tính tốc độ biến thiên của $T$ theo hướng của $\vec{u}$: \[ D_{\vec{u}} T = \nabla T \cdot \hat{u} = (4, 4, 8) \cdot \left( \frac{4}{\sqrt{21}}, \frac{-1}{\sqrt{21}}, \frac{2}{\sqrt{21}} \right) = \frac{4 \cdot 4 + 4 \cdot (-1) + 8 \cdot 2}{\sqrt{21}} = \frac{16 - 4 + 16}{\sqrt{21}} = \frac{28}{\sqrt{21}} \] b) Theo hướng nào T tăng nhanh nhất tại điểm này? Bước 1: Tăng nhanh nhất theo hướng của gradient: \[ \nabla T(1, -2, 1) = (4, 4, 8) \] c) Tốc độ tăng lớn nhất đó là bao nhiêu? Bước 1: Tính độ dài của gradient: \[ |\nabla T(1, -2, 1)| = \sqrt{4^2 + 4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 16 + 64} = \sqrt{96} = 4\sqrt{6} \] Kết luận: a) Tốc độ biến thiên của $T$ tại điểm $(1, -2, 1)$ theo hướng của véc tơ $4i - j + 2k$ là $\frac{28}{\sqrt{21}}$. b) $T$ tăng nhanh nhất theo hướng của véc tơ $(4, 4, 8)$. c) Tốc độ tăng lớn nhất là $4\sqrt{6}$. Bài 4 Để tìm tiếp diện và pháp tuyến của hyperboloid \(x^2 + y^2 - z^2 = 5\) tại điểm \(M(4, 5, 6)\), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình tiếp diện: Phương trình tiếp diện của mặt \(F(x, y, z) = 0\) tại điểm \(M(x_0, y_0, z_0)\) là: \[ F_x(x_0, y_0, z_0)(x - x_0) + F_y(x_0, y_0, z_0)(y - y_0) + F_z(x_0, y_0, z_0)(z - z_0) = 0 \] Ở đây, \(F(x, y, z) = x^2 + y^2 - z^2 - 5\). Ta tính các đạo hàm riêng: \[ F_x = 2x, \quad F_y = 2y, \quad F_z = -2z \] Tại điểm \(M(4, 5, 6)\): \[ F_x(4, 5, 6) = 2 \cdot 4 = 8, \quad F_y(4, 5, 6) = 2 \cdot 5 = 10, \quad F_z(4, 5, 6) = -2 \cdot 6 = -12 \] Thay vào phương trình tiếp diện: \[ 8(x - 4) + 10(y - 5) - 12(z - 6) = 0 \] Rút gọn phương trình: \[ 8x - 32 + 10y - 50 - 12z + 72 = 0 \] \[ 8x + 10y - 12z - 10 = 0 \] \[ 4x + 5y - 6z - 5 = 0 \] 2. Tìm phương trình pháp tuyến: Vector pháp tuyến của mặt tại điểm \(M(4, 5, 6)\) là \(\vec{n} = (8, 10, -12)\). Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \(M(4, 5, 6)\) và có vector pháp tuyến \(\vec{n} = (8, 10, -12)\) là: \[ \begin{cases} x = 4 + 8t \\ y = 5 + 10t \\ z = 6 - 12t \end{cases} \] Kết luận: - Tiếp diện của hyperboloid \(x^2 + y^2 - z^2 = 5\) tại điểm \(M(4, 5, 6)\) là: \[ 4x + 5y - 6z - 5 = 0 \] - Pháp tuyến của hyperboloid \(x^2 + y^2 - z^2 = 5\) tại điểm \(M(4, 5, 6)\) là: \[ \begin{cases} x = 4 + 8t \\ y = 5 + 10t \\ z = 6 - 12t \end{cases} \] Bài 5. Để tìm phương trình mặt phẳng tiếp xúc với các mặt cong tại các điểm tương ứng, ta sẽ áp dụng công thức chung cho phương trình mặt phẳng tiếp xúc của một mặt cong \( F(x, y, z) = 0 \) tại điểm \( M(x_0, y_0, z_0) \): \[ F_x(x_0, y_0, z_0)(x - x_0) + F_y(x_0, y_0, z_0)(y - y_0) + F_z(x_0, y_0, z_0)(z - z_0) = 0 \] Trong đó: - \( F_x \), \( F_y \), \( F_z \) lần lượt là đạo hàm riêng theo \( x \), \( y \), \( z \) của hàm \( F \). Câu a: \( xy^2 + yz^2 + zx^2 = 25 \) tại \( M(1, 2, 3) \) 1. Xác định hàm \( F(x, y, z) \): \[ F(x, y, z) = xy^2 + yz^2 + zx^2 - 25 \] 2. Tính các đạo hàm riêng: \[ F_x = y^2 + 2zx \] \[ F_y = 2xy + z^2 \] \[ F_z = 2yz + x^2 \] 3. Đánh giá các đạo hàm tại điểm \( M(1, 2, 3) \): \[ F_x(1, 2, 3) = 2^2 + 2 \cdot 3 \cdot 1 = 4 + 6 = 10 \] \[ F_y(1, 2, 3) = 2 \cdot 1 \cdot 2 + 3^2 = 4 + 9 = 13 \] \[ F_z(1, 2, 3) = 2 \cdot 2 \cdot 3 + 1^2 = 12 + 1 = 13 \] 4. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc: \[ 10(x - 1) + 13(y - 2) + 13(z - 3) = 0 \] \[ 10x - 10 + 13y - 26 + 13z - 39 = 0 \] \[ 10x + 13y + 13z - 75 = 0 \] Câu b: \( z^3 + xyz = 33 \) tại \( P(1, 2, 3) \) 1. Xác định hàm \( F(x, y, z) \): \[ F(x, y, z) = z^3 + xyz - 33 \] 2. Tính các đạo hàm riêng: \[ F_x = yz \] \[ F_y = xz \] \[ F_z = 3z^2 + xy \] 3. Đánh giá các đạo hàm tại điểm \( P(1, 2, 3) \): \[ F_x(1, 2, 3) = 2 \cdot 3 = 6 \] \[ F_y(1, 2, 3) = 1 \cdot 3 = 3 \] \[ F_z(1, 2, 3) = 3 \cdot 3^2 + 1 \cdot 2 = 27 + 2 = 29 \] 4. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc: \[ 6(x - 1) + 3(y - 2) + 29(z - 3) = 0 \] \[ 6x - 6 + 3y - 6 + 29z - 87 = 0 \] \[ 6x + 3y + 29z - 99 = 0 \] Kết luận Phương trình mặt phẳng tiếp xúc với các mặt cong tại các điểm tương ứng là: a. \( 10x + 13y + 13z - 75 = 0 \) b. \( 6x + 3y + 29z - 99 = 0 \)