giải toán 11

Câu 9: Đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0$ được định nghĩa thông qua giới hạn của tỉ số sai phân khi $x$ tiến đến $x_0$. Cụ thể, đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0$ là: \[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \] Ta sẽ kiểm tra từng đáp án để xác định giới hạn đúng: - Đáp án A: $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ Đây chính là định nghĩa của đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_0$. - Đáp án B: $\lim_{x \to x_0} \left( \frac{f(x)}{x} - \frac{f(x_0)}{x_0} \right)$ Đáp án này không liên quan đến định nghĩa đạo hàm. - Đáp án C: $\lim_{x \to x_0} \frac{x - x_0}{f(x) - f(x_0)}$ Đáp án này là nghịch đảo của tỉ số sai phân, không phải đạo hàm. - Đáp án D: $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x - x_0)}{x - x_0}$ Đáp án này không đúng vì nó không phản ánh đúng tỉ số sai phân giữa $f(x)$ và $f(x_0)$. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}} \] Câu 10: Để xác định mệnh đề sai trong các mệnh đề đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề theo các quy tắc đạo hàm cơ bản. A. $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$ - Đây là công thức đạo hàm của hàm số lôgarit tự nhiên $\ln u$. Công thức này đúng. B. $(u^n)' = n \cdot u' \cdot u^{n-1}$ (n ∈ ℕ) - Đây là công thức đạo hàm của hàm số lũy thừa $u^n$. Công thức này đúng. C. $[\sin(u)]' = u' \cdot \cos u$ - Đây là công thức đạo hàm của hàm số sin(u). Công thức này đúng. D. $(e^u)' = u' \cdot e^x$ - Đây là công thức đạo hàm của hàm số mũ $e^u$. Tuy nhiên, công thức này sai vì đạo hàm của $e^u$ là $u' \cdot e^u$, không phải $u' \cdot e^x$. Do đó, mệnh đề sai là: D. $(e^u)' = u' \cdot e^x$ Đáp án: D. Câu 11: Để tìm phương trình tiếp tuyến của đường cong $y = x^3 + 3x^2 - 2$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ điểm tiếp xúc: Thay $x_0 = 1$ vào phương trình của đường cong: \[ y(1) = 1^3 + 3 \cdot 1^2 - 2 = 1 + 3 - 2 = 2 \] Vậy điểm tiếp xúc là $(1, 2)$. 2. Tính đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}(x^3 + 3x^2 - 2) = 3x^2 + 6x \] 3. Tính giá trị của đạo hàm tại điểm $x_0 = 1$: \[ y'(1) = 3 \cdot 1^2 + 6 \cdot 1 = 3 + 6 = 9 \] Vậy hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm $(1, 2)$ là $9$. 4. Viết phương trình tiếp tuyến: Phương trình tiếp tuyến của đường cong tại điểm $(x_0, y_0)$ với hệ số góc $k$ là: \[ y - y_0 = k(x - x_0) \] Thay $x_0 = 1$, $y_0 = 2$, và $k = 9$ vào phương trình trên: \[ y - 2 = 9(x - 1) \] Rút gọn phương trình: \[ y - 2 = 9x - 9 \implies y = 9x - 9 + 2 \implies y = 9x - 7 \] Vậy phương trình tiếp tuyến của đường cong $y = x^3 + 3x^2 - 2$ tại điểm có hoành độ $x_0 = 1$ là: \[ \boxed{y = 9x - 7} \] Đáp án đúng là: $A.~y = 9x - 7$. Câu 12: Để tìm đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{4x^2 + 1}$, ta áp dụng công thức đạo hàm của hàm số dạng căn bậc hai. Công thức đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{u(x)}$ là: \[ y' = \frac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}} \] Trong đó, $u(x) = 4x^2 + 1$. Ta tính đạo hàm của $u(x)$: \[ u'(x) = \frac{d}{dx}(4x^2 + 1) = 8x \] Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số dạng căn bậc hai: \[ y' = \frac{8x}{2\sqrt{4x^2 + 1}} \] Do đó, đạo hàm của hàm số $y = \sqrt{4x^2 + 1}$ là: \[ y' = \frac{8x}{2\sqrt{4x^2 + 1}} \] Vậy đáp án đúng là: \[ D.~y^\prime=\frac{8x}{2\sqrt{4x^2+1}} \] Câu 1: Để kiểm tra các mệnh đề, ta sẽ lần lượt xét từng mệnh đề dựa trên các thông tin đã cho và các tính chất của hình học. a) $(SAB) \perp (ABCD)$ - Ta biết rằng $SA \perp (ABCD)$, nghĩa là đường thẳng $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. - Mặt phẳng $(SAB)$ chứa đường thẳng $SA$ và đường thẳng $AB$ nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$. - Theo tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, nếu một đường thẳng vuông góc với một mặt phẳng thì mọi mặt phẳng chứa đường thẳng đó cũng vuông góc với mặt phẳng đó. - Do đó, mặt phẳng $(SAB)$ vuông góc với mặt phẳng $(ABCD)$. Vậy mệnh đề a) là đúng. Đáp án: Đúng.