Giúp t giải chi tiết với a

Câu 15. Trước tiên, ta cần biết rằng nếu hai biến cố A và B là độc lập thì xác suất của biến cố A không phụ thuộc vào biến cố B và ngược lại. Điều này có nghĩa là: \[ P(A|B) = P(A) \] \[ P(B|A) = P(B) \] Ta cũng biết rằng: \[ P(\overline{B}) = 0,6 \] Từ đây, ta tính được xác suất của biến cố B: \[ P(B) = 1 - P(\overline{B}) = 1 - 0,6 = 0,4 \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn: a) \( P(A|B) = 0,6 \) Vì A và B là độc lập, nên: \[ P(A|B) = P(A) = 0,7 \] Do đó, lựa chọn a) sai. b) \( P(B|\overline{A}) = 0,4 \) Vì A và B là độc lập, nên: \[ P(B|\overline{A}) = P(B) = 0,4 \] Do đó, lựa chọn b) đúng. c) \( P(B|\overline{A}) = 0,4 \) Vì A và B là độc lập, nên: \[ P(B|\overline{A}) = P(B) = 0,4 \] Do đó, lựa chọn c) đúng. d) \( P(\overline{B}|\overline{A}) = 0,6 \) Vì A và B là độc lập, nên: \[ P(\overline{B}|\overline{A}) = P(\overline{B}) = 0,6 \] Do đó, lựa chọn d) đúng. Kết luận: Các lựa chọn đúng là b), c) và d). Câu 16. Để giải quyết các câu hỏi về xác suất, ta sẽ lần lượt tính toán từng phần dựa trên các thông tin đã cho. Phần a) - Ta biết rằng $P(\overline{A}) = 0,4$. Do đó, xác suất của biến cố A là: \[ P(A) = 1 - P(\overline{A}) = 1 - 0,4 = 0,6 \] - Ta cũng biết rằng $P(B) = 0,8$. Do đó, xác suất của biến cố $\overline{B}$ là: \[ P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2 \] Phần b) - Xác suất của biến cố A xảy ra khi biết biến cố B đã xảy ra là: \[ P(A | B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{0,4}{0,8} = 0,5 = \frac{1}{2} \] Phần c) - Xác suất của biến cố $\overline{B}$ xảy ra khi biết biến cố A đã xảy ra là: \[ P(\overline{B} | A) = \frac{P(A \cap \overline{B})}{P(A)} \] Ta cần tính $P(A \cap \overline{B})$ trước: \[ P(A \cap \overline{B}) = P(A) - P(A \cap B) = 0,6 - 0,4 = 0,2 \] Do đó: \[ P(\overline{B} | A) = \frac{0,2}{0,6} = \frac{1}{3} \] Phần d) - Xác suất của biến cố $\overline{A} \cap B$ là: \[ P(\overline{A} \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0,8 - 0,4 = 0,4 \] Tóm lại, các kết quả là: - a) $P(A) = 0,6$ và $P(\overline{B}) = 0,2$ - b) $P(A | B) = \frac{1}{2}$ - c) $P(\overline{B} | A) = \frac{1}{3}$ - d) $P(\overline{A} \cap B) = 0,4$ Đáp số: a) $P(A) = 0,6$ và $P(\overline{B}) = 0,2$ b) $P(A | B) = \frac{1}{2}$ c) $P(\overline{B} | A) = \frac{1}{3}$ d) $P(\overline{A} \cap B) = 0,4$ Câu 17. a) A và B là hai biến cố độc lập: - Điều kiện để hai biến cố A và B là độc lập là \( P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \). - Ta có \( P(A) = 0,5 \), \( P(B) = 0,6 \) và \( P(A \cap B) = 0,4 \). - Tính \( P(A) \cdot P(B) = 0,5 \cdot 0,6 = 0,3 \). - Vì \( 0,4 \neq 0,3 \), nên A và B không phải là hai biến cố độc lập. b) Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là 0,3: - Xác suất thắng thầu đúng 1 dự án là \( P((A \cap B^c) \cup (A^c \cap B)) \). - Ta có \( P(A \cap B^c) = P(A) - P(A \cap B) = 0,5 - 0,4 = 0,1 \). - Ta có \( P(A^c \cap B) = P(B) - P(A \cap B) = 0,6 - 0,4 = 0,2 \). - Vậy \( P((A \cap B^c) \cup (A^c \cap B)) = 0,1 + 0,2 = 0,3 \). c) Biết công ty thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là 0,4: - Xác suất này là \( P(B|A) \). - Ta có \( P(B|A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{0,4}{0,5} = 0,8 \). d) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là 0,8: - Xác suất này là \( P(B|A^c) \). - Ta có \( P(B|A^c) = \frac{P(A^c \cap B)}{P(A^c)} = \frac{0,2}{0,5} = 0,4 \). Kết luận: a) A và B không phải là hai biến cố độc lập. b) Xác suất công ty thắng thầu đúng 1 dự án là 0,3. c) Biết công ty thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là 0,8. d) Biết công ty không thắng thầu dự án 1, xác suất công ty thắng thầu dự án 2 là 0,4. Câu 18. a) Xác suất để có tên Hiền: Tổng số học sinh là 30, trong đó có 3 bạn tên Hiền. Xác suất để có tên Hiền là: \[ P(\text{Hiền}) = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} \] b) Xác suất để có tên Hiền, nhưng với điều kiện bạn đó nữ: Trong 3 bạn tên Hiền, có 1 bạn nữ. Xác suất để có tên Hiền và là nữ là: \[ P(\text{Hiền và nữ}) = \frac{1}{30} \] Xác suất để có tên Hiền là: \[ P(\text{Hiền}) = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} \] Xác suất để có tên Hiền và là nữ, với điều kiện bạn đó nữ là: \[ P(\text{nữ} | \text{Hiền}) = \frac{P(\text{Hiền và nữ})}{P(\text{Hiền})} = \frac{\frac{1}{30}}{\frac{1}{10}} = \frac{1}{3} \] c) Xác suất để có tên Hiền, nhưng với điều kiện bạn đó nam: Trong 3 bạn tên Hiền, có 2 bạn nam. Xác suất để có tên Hiền và là nam là: \[ P(\text{Hiền và nam}) = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} \] Xác suất để có tên Hiền là: \[ P(\text{Hiền}) = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} \] Xác suất để có tên Hiền và là nam, với điều kiện bạn đó nam là: \[ P(\text{nam} | \text{Hiền}) = \frac{P(\text{Hiền và nam})}{P(\text{Hiền})} = \frac{\frac{1}{15}}{\frac{1}{10}} = \frac{2}{3} \] d) Nếu thầy giáo gọi 1 bạn có tên là Hiền lên bảng thì xác xuất để bạn đó là bạn nữ: Xác suất để có tên Hiền và là nữ là: \[ P(\text{Hiền và nữ}) = \frac{1}{30} \] Xác suất để có tên Hiền là: \[ P(\text{Hiền}) = \frac{3}{30} = \frac{1}{10} \] Xác suất để có tên Hiền và là nữ, với điều kiện bạn đó nữ là: \[ P(\text{nữ} | \text{Hiền}) = \frac{P(\text{Hiền và nữ})}{P(\text{Hiền})} = \frac{\frac{1}{30}}{\frac{1}{10}} = \frac{1}{3} \] Đáp số: a) $\frac{1}{10}$ b) $\frac{1}{3}$ c) $\frac{2}{3}$ d) $\frac{1}{3}$ Câu 19. Để kiểm tra xem hai biến cố A và B có độc lập không, ta cần kiểm tra xem xác suất của biến cố B có phụ thuộc vào việc biến cố A đã xảy ra hay chưa. 1. Tính xác suất của biến cố A: - Tổng số quả bóng trong hộp là \(3 + 4 = 7\) quả. - Số quả bóng màu xanh là 3 quả. - Xác suất của biến cố A là: \[ P(A) = \frac{3}{7} \] 2. Tính xác suất của biến cố B: - Số quả bóng màu đỏ là 4 quả. - Xác suất của biến cố B là: \[ P(B) = \frac{4}{7} \] 3. Tính xác suất của biến cố B khi biết biến cố A đã xảy ra: - Vì mỗi lần lấy bóng đều ghi lại màu của quả bóng và bỏ lại quả bóng đó vào hộp, nên việc lấy bóng ở lần thứ hai không bị ảnh hưởng bởi việc lấy bóng ở lần thứ nhất. - Do đó, xác suất của biến cố B khi biết biến cố A đã xảy ra vẫn là: \[ P(B|A) = \frac{4}{7} \] 4. So sánh \(P(B)\) và \(P(B|A)\): - Ta thấy rằng \(P(B) = \frac{4}{7}\) và \(P(B|A) = \frac{4}{7}\). Vì \(P(B) = P(B|A)\), nên hai biến cố A và B là độc lập. Đáp án: Hai biến cố A và B là độc lập. Câu 20. Để tính xác suất lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính xác suất lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất: - Số lượng viên bi xanh là 30. - Tổng số lượng viên bi là 50. - Xác suất lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất là: \[ P(\text{bi xanh lần thứ nhất}) = \frac{30}{50} = \frac{3}{5} \] 2. Tính xác suất lấy được một viên bi trắng ở lần thứ hai, sau khi đã lấy ra một viên bi xanh ở lần thứ nhất: - Sau khi lấy ra một viên bi xanh, số lượng viên bi còn lại là 49. - Số lượng viên bi trắng không thay đổi, vẫn là 20. - Xác suất lấy được một viên bi trắng ở lần thứ hai là: \[ P(\text{bi trắng lần thứ hai | bi xanh lần thứ nhất}) = \frac{20}{49} \] 3. Tính xác suất tổng cộng để lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai: - Xác suất tổng cộng là tích của xác suất lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và xác suất lấy được một viên bi trắng ở lần thứ hai: \[ P(\text{bi xanh lần thứ nhất và bi trắng lần thứ hai}) = P(\text{bi xanh lần thứ nhất}) \times P(\text{bi trắng lần thứ hai | bi xanh lần thứ nhất}) \] \[ P(\text{bi xanh lần thứ nhất và bi trắng lần thứ hai}) = \frac{3}{5} \times \frac{20}{49} = \frac{60}{245} = \frac{12}{49} \] Vậy xác suất để lấy được một viên bi xanh ở lần thứ nhất và một viên bi trắng ở lần thứ hai là $\frac{12}{49}$. Câu 21. Để tìm xác suất rút được câu hỏi lý thuyết khó, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tổng số phiếu: Tổng số phiếu là 40 phiếu. 2. Xác định số phiếu có câu hỏi lý thuyết khó: Số phiếu có câu hỏi lý thuyết khó là 5 phiếu. 3. Tính xác suất: Xác suất để rút được một câu hỏi lý thuyết khó là tỉ số giữa số phiếu có câu hỏi lý thuyết khó và tổng số phiếu. \[ P(\text{câu hỏi lý thuyết khó}) = \frac{\text{số phiếu có câu hỏi lý thuyết khó}}{\text{tổng số phiếu}} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8} \] Vậy xác suất rút được câu hỏi lý thuyết khó là $\frac{1}{8}$. Đáp án: $\frac{1}{8}$ Câu 22. Khi gieo hai con xúc xắc cân đối, đồng chất, ta có tổng số kết quả có thể xảy ra là \(6 \times 6 = 36\) kết quả. Ta xét trường hợp có ít nhất một con xúc xắc ra mặt 5 chấm: - Nếu con xúc xắc thứ nhất ra mặt 5 chấm, con xúc xắc thứ hai có thể ra các mặt từ 1 đến 6. Ta có các kết quả: (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6). - Nếu con xúc xắc thứ hai ra mặt 5 chấm, con xúc xắc thứ nhất có thể ra các mặt từ 1 đến 6. Ta có các kết quả: (1,5), (2,5), (3,5), (4,5), (5,5), (6,5). Tuy nhiên, kết quả (5,5) đã được đếm hai lần, nên ta loại bỏ một lần. Vậy tổng số kết quả có ít nhất một con xúc xắc ra mặt 5 chấm là: \[6 + 6 - 1 = 11\] Tiếp theo, ta xét các kết quả trong đó tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 10: - Kết quả (5,5) có tổng là 10. - Kết quả (5,6) có tổng là 11. - Kết quả (6,5) có tổng là 11. Như vậy, có 3 kết quả thỏa mãn điều kiện tổng số chấm lớn hơn hoặc bằng 10 và có ít nhất một con xúc xắc ra mặt 5 chấm. Xác suất để tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc lớn hơn hoặc bằng 10, nếu biết rằng có ít nhất một con đã ra mặt 5 chấm là: \[ P = \frac{\text{số kết quả có tổng lớn hơn hoặc bằng 10 và có ít nhất một con ra mặt 5 chấm}}{\text{số kết quả có ít nhất một con ra mặt 5 chấm}} = \frac{3}{11} \] Đáp số: $\frac{3}{11}$ Câu 23. Để tính xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp, ta làm như sau: 1. Tìm số trường hợp thuận lợi: - Số cách chọn 2 sản phẩm từ 5 sản phẩm chất lượng thấp là: \[ C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10 \] 2. Tìm tổng số trường hợp có thể xảy ra: - Số cách chọn 2 sản phẩm từ 20 sản phẩm là: \[ C_{20}^2 = \frac{20!}{2!(20-2)!} = \frac{20 \times 19}{2 \times 1} = 190 \] 3. Tính xác suất: - Xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp là: \[ P = \frac{\text{số trường hợp thuận lợi}}{\text{tổng số trường hợp có thể xảy ra}} = \frac{10}{190} = \frac{1}{19} \] Vậy xác suất để cả hai sản phẩm được lấy ra đều có chất lượng thấp là $\frac{1}{19}$. Câu 24. Gọi A là biến cố "Chọn được sách khoa học" Gọi B là biến cố "Chọn được sách khoa học tự nhiên" Xác suất để quyển sách được chọn là sách khoa học tự nhiên, biết rằng đó là quyển sách về khoa học là xác suất của biến cố B trong điều kiện biến cố A đã xảy ra. Theo đề bài: - Xác suất để chọn được sách khoa học là P(A) = 0,35 - Xác suất để chọn được sách khoa học tự nhiên là P(B) = 0,14 Xác suất để chọn được sách khoa học tự nhiên trong điều kiện đã biết là sách khoa học là: \[ P(B|A) = \frac{P(B)}{P(A)} = \frac{0,14}{0,35} = 0,4 \] Đáp số: 0,4