giúppppp tuiiiiii

Câu 1: Để rút gọn biểu thức \( P = x^{\frac{1}{2}} \sqrt{x} \) với \( x > 0 \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định: - Biểu thức \( x^{\frac{1}{2}} \) và \( \sqrt{x} \) đều có nghĩa khi \( x > 0 \). 2. Biểu diễn căn bậc hai dưới dạng lũy thừa: - Ta biết rằng \( \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \). 3. Thay vào biểu thức: - Biểu thức \( P \) trở thành: \[ P = x^{\frac{1}{2}} \cdot x^{\frac{1}{2}} \] 4. Áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số: - Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta cộng các số mũ lại: \[ P = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = x^1 = x \] Như vậy, biểu thức \( P \) đã được rút gọn thành \( x \). Tuy nhiên, trong các đáp án được đưa ra, không có đáp án nào đúng với kết quả này. Do đó, có thể có sự nhầm lẫn hoặc sai sót trong việc cung cấp các lựa chọn đáp án. Tuy nhiên, nếu chúng ta xét lại các lựa chọn đã cho, ta thấy rằng không có lựa chọn nào đúng với kết quả \( x \). Vì vậy, có thể có lỗi trong đề bài hoặc các lựa chọn đáp án. Đáp án: Đáp án đúng không nằm trong các lựa chọn được cung cấp. Câu 2: Để xác định mệnh đề đúng với mọi số dương x, y, ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề dựa trên các tính chất của logarit. A. $\log_s\frac{x}{y} = \log_s x - \log_s y$ Theo tính chất của logarit, ta có: \[ \log_s \left( \frac{x}{y} \right) = \log_s x - \log_s y \] Mệnh đề này đúng. B. $\log_s\frac{x}{y} = \log_s (x - y)$ Theo tính chất của logarit, ta không có công thức nào cho phép viết $\log_s \left( \frac{x}{y} \right)$ dưới dạng $\log_s (x - y)$. Do đó, mệnh đề này sai. C. $\log_s\frac{x}{y} = \log_s x + \log_s y$ Theo tính chất của logarit, ta có: \[ \log_s (xy) = \log_s x + \log_s y \] Nhưng không có công thức nào cho phép viết $\log_s \left( \frac{x}{y} \right)$ dưới dạng $\log_s x + \log_s y$. Do đó, mệnh đề này sai. D. $\log_x \frac{x}{y} = \frac{\log_x x}{\log_x y}$ Theo tính chất của logarit, ta có: \[ \log_x \left( \frac{x}{y} \right) = \log_x x - \log_x y \] Mà $\log_x x = 1$, nên: \[ \log_x \left( \frac{x}{y} \right) = 1 - \log_x y \] Do đó, mệnh đề này sai. Kết luận: Mệnh đề đúng với mọi số dương x, y là: \[ A. \log_s \frac{x}{y} = \log_s x - \log_s y \] Câu 3: Để xác định hàm số nào trong các hàm số đã cho là nghịch biến trên $\mathbb{R}$, ta sẽ kiểm tra tính chất của mỗi hàm số. A. $f(x) = 5^x$ - Đây là hàm số mũ cơ số dương lớn hơn 1 ($5 > 1$). Hàm số mũ cơ số dương lớn hơn 1 là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó, $f(x) = 5^x$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. B. $f(x) = (\frac{3}{5})^x$ - Đây là hàm số mũ cơ số dương nhỏ hơn 1 ($0 < \frac{3}{5} < 1$). Hàm số mũ cơ số dương nhỏ hơn 1 là hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Do đó, $f(x) = (\frac{3}{5})^x$ là hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. C. $f(x) = \log_2 x$ - Đây là hàm số logarit cơ số dương lớn hơn 1 ($2 > 1$). Hàm số logarit cơ số dương lớn hơn 1 là hàm số đồng biến trên miền xác định của nó (trong trường hợp này là $(0, +\infty)$). Do đó, $f(x) = \log_2 x$ là hàm số đồng biến trên $(0, +\infty)$. D. $f(x) = e^x$ - Đây là hàm số mũ cơ số dương lớn hơn 1 ($e > 1$). Hàm số mũ cơ số dương lớn hơn 1 là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Do đó, $f(x) = e^x$ là hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Từ các phân tích trên, ta thấy rằng chỉ có hàm số $f(x) = (\frac{3}{5})^x$ là hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án đúng là: B. $f(x) = (\frac{3}{5})^x$. Câu 4: Để giải phương trình $2^{x-1} = 8$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại phương trình với cùng cơ số: Ta nhận thấy rằng $8$ có thể viết dưới dạng lũy thừa của $2$: \[ 8 = 2^3 \] Do đó, phương trình trở thành: \[ 2^{x-1} = 2^3 \] 2. So sánh các mũ số: Vì hai vế đều có cùng cơ số là $2$, nên ta có thể so sánh các mũ số: \[ x - 1 = 3 \] 3. Giải phương trình bậc nhất: Giải phương trình $x - 1 = 3$: \[ x = 3 + 1 \] \[ x = 4 \] Vậy nghiệm của phương trình $2^{x-1} = 8$ là $x = 4$. Đáp án đúng là: $B.~x=4.$ Câu 5: Trong không gian, hai đường thẳng a và b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng $90^0$. Lập luận từng bước: - Hai đường thẳng vuông góc với nhau có nghĩa là chúng tạo thành một góc vuông. - Một góc vuông có số đo là $90^0$. Do đó, đáp án đúng là: D. Góc giữa chúng bằng $90^0$. Câu 6: Trước tiên, chúng ta cần hiểu rằng điểm M trên tường có độ cao so với nền nhà là 80 cm, nghĩa là khoảng cách từ điểm M thẳng đứng xuống mặt phẳng (P) chứa sàn nhà là 80 cm. Hình chiếu của M trên mặt phẳng (P) là điểm H. - A. \( d(M; (P)) = MH \): Điều này đúng vì khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) chính là đoạn thẳng MH. - B. \( MH = 80 \text{ cm} \): Điều này cũng đúng vì độ cao từ điểm M đến mặt phẳng (P) là 80 cm, tức là MH = 80 cm. - C. \( MH \bot (P) \): Điều này đúng vì đoạn thẳng MH là đường vuông góc hạ từ điểm M xuống mặt phẳng (P). - D. \( MH // (P) \): Điều này sai vì đoạn thẳng MH là đường vuông góc hạ từ điểm M xuống mặt phẳng (P), không thể song song với (P). Nhận xét sai là: \[ D.~MH//(P). \] Đáp án: \( D.~MH//(P). \) Câu 7: Thể tích của khối chóp S.ABC được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} \] Trong đó: - Diện tích đáy ABC là 10. - Chiều cao của khối chóp là 3. Áp dụng công thức trên, ta có: \[ V = \frac{1}{3} \times 10 \times 3 \] \[ V = \frac{1}{3} \times 30 \] \[ V = 10 \] Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là 10. Đáp án đúng là: C. 10. Câu 8: Đạo hàm của một hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$ được định nghĩa là giới hạn của tỉ số sai phân khi $x$ tiến đến $x_0$. Cụ thể, đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$ là: \[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \] Trong các đáp án đã cho, ta thấy rằng: - Đáp án A: $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x) + f(x_0)}{x + x_0}$ không đúng vì nó không liên quan đến giới hạn khi $x$ tiến đến $x_0$ và cũng không phải là tỉ số sai phân. - Đáp án B: $\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ đúng theo định nghĩa của đạo hàm. - Đáp án C: $\frac{f(x) + f(x_0)}{x + x_0}$ không đúng vì nó không phải là giới hạn và cũng không phải là tỉ số sai phân. - Đáp án D: $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ không đúng vì nó không có giới hạn khi $x$ tiến đến $x_0$. Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}} \] Câu 9: Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = 3\sin x - 5\cos x \), ta áp dụng công thức đạo hàm của các hàm lượng giác cơ bản. Công thức đạo hàm: - Đạo hàm của \( \sin x \) là \( \cos x \). - Đạo hàm của \( \cos x \) là \( -\sin x \). Áp dụng công thức này vào hàm số đã cho: \[ y = 3\sin x - 5\cos x \] Tìm đạo hàm của mỗi thành phần: - Đạo hàm của \( 3\sin x \) là \( 3 \cdot \cos x = 3\cos x \). - Đạo hàm của \( -5\cos x \) là \( -5 \cdot (-\sin x) = 5\sin x \). Vậy đạo hàm của hàm số \( y = 3\sin x - 5\cos x \) là: \[ y' = 3\cos x + 5\sin x \] Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~y' = 3\cos x + 5\sin x. \]