help meeeee

Câu 1: Để xác định đúng/sai của các mệnh đề đã cho, chúng ta cần áp dụng các định lý và tính chất cơ bản của hình học không gian. a) Mệnh đề a: "Cho điểm M nằm ngoài mặt phẳng \((\alpha)\). Khi đó tồn tại duy nhất một đường thẳng \(d\) đi qua M và song song với \((\alpha)\)." - Lập luận: Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, nếu một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, thì có vô số đường thẳng đi qua điểm đó và song song với mặt phẳng. Do đó, mệnh đề này là sai. b) Mệnh đề b: "Cho hai đường thẳng \(a\) và \(b\) chéo nhau. Khi đó tồn tại duy nhất mặt phẳng \((\alpha)\) chứa \(a\) và song song với \(b\)." - Lập luận: Hai đường thẳng chéo nhau không cùng nằm trong một mặt phẳng. Do đó, không thể có mặt phẳng nào chứa \(a\) và song song với \(b\) vì điều kiện song song yêu cầu hai đường thẳng phải cùng nằm trong một mặt phẳng. Mệnh đề này là sai. c) Mệnh đề c: "Cho điểm M nằm ngoài mặt phẳng \((\alpha)\). Khi đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng \((\beta)\) chứa điểm M và song song với \((\alpha)\)." - Lập luận: Theo định lý về mặt phẳng song song, qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng, có duy nhất một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho. Do đó, mệnh đề này là đúng. d) Mệnh đề d: "Cho đường thẳng \(a\) và mặt phẳng \((\alpha)\) song song với nhau. Khi đó tồn tại duy nhất một mặt phẳng \((\beta)\) chứa \(a\) và song song với \((\alpha)\)." - Lập luận: Nếu đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \((\alpha)\), thì có vô số mặt phẳng chứa \(a\) và song song với \((\alpha)\). Do đó, mệnh đề này là sai. Tóm lại: - Mệnh đề a: Sai - Mệnh đề b: Sai - Mệnh đề c: Đúng - Mệnh đề d: Sai Câu 2: Để giải quyết bài toán này, ta cần phân tích từng phần một cách chi tiết. a) AG cắt mặt phẳng (SBC) tại M. - Xác định G: G là trọng tâm của tam giác ACC, do đó \( G \) chia đường trung tuyến từ A đến C theo tỉ lệ \( 2:1 \). - Xác định M: M là trung điểm của BC. - Chứng minh AG cắt (SBC) tại M: - Vì M là trung điểm của BC, nên M thuộc mặt phẳng (SBC). - Đường thẳng AG đi qua G và M, do đó AG cắt mặt phẳng (SBC) tại M. b) Đường thẳng ME cắt mặt phẳng (NBD). - Xác định E: E là trung điểm của DC. - Chứng minh ME cắt (NBD): - M thuộc BC và E thuộc DC, do đó ME nằm trong mặt phẳng (BCD). - Mặt phẳng (NBD) chứa N, B, D. Vì N thuộc SA và \( AN = \frac{2}{3}SA \), N nằm trên SA. - ME cắt (NBD) tại một điểm vì ME và (NBD) đều chứa các điểm chung từ (BCD). c) (NGD) // (SME). - Xác định các mặt phẳng: - Mặt phẳng (NGD) chứa N, G, D. - Mặt phẳng (SME) chứa S, M, E. - Chứng minh (NGD) // (SME): - Do G là trọng tâm của tam giác ACC, nên G nằm trên AC. - Nằm trên SA, D nằm trên DC, và E là trung điểm của DC. - Hai mặt phẳng này song song vì các đường thẳng tương ứng song song và không cắt nhau. d) Gọi I là giao điểm của đường thẳng AB và mặt phẳng (SME). Khi đó SI cắt mặt phẳng (NOB). - Xác định I: I là giao điểm của AB và (SME). - Chứng minh SI cắt (NOB): - Mặt phẳng (NOB) chứa N, O, B. - SI cắt (NOB) tại một điểm vì SI đi qua I và cắt (NOB) tại một điểm chung. Với các bước lập luận trên, ta đã giải quyết từng phần của bài toán một cách chi tiết và logic. Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích từng phần một cách chi tiết. a) Đường thẳng MN cắt đường thẳng B'C' - Xác định vị trí của M và N: - M là trung điểm của A'B', do đó \( \overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{A'} + \overrightarrow{B'}}{2} \). - N là trung điểm của AB, do đó \( \overrightarrow{N} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2} \). - Xác định đường thẳng MN: - Phương trình tham số của đường thẳng MN có thể được viết dưới dạng: \[ \overrightarrow{r} = \overrightarrow{M} + t(\overrightarrow{N} - \overrightarrow{M}) \] - Thay các giá trị của M và N vào, ta có: \[ \overrightarrow{r} = \frac{\overrightarrow{A'} + \overrightarrow{B'}}{2} + t\left(\frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2} - \frac{\overrightarrow{A'} + \overrightarrow{B'}}{2}\right) \] - Xác định đường thẳng B'C': - Đường thẳng B'C' có phương trình tham số: \[ \overrightarrow{r} = \overrightarrow{B'} + s(\overrightarrow{C'} - \overrightarrow{B'}) \] - Tìm giao điểm của MN và B'C': - Để MN cắt B'C', ta cần tìm \( t \) và \( s \) sao cho: \[ \frac{\overrightarrow{A'} + \overrightarrow{B'}}{2} + t\left(\frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2} - \frac{\overrightarrow{A'} + \overrightarrow{B'}}{2}\right) = \overrightarrow{B'} + s(\overrightarrow{C'} - \overrightarrow{B'}) \] - Giải hệ phương trình này để tìm \( t \) và \( s \). b) Giao tuyến của (MNI) và (BCC'B') song song với BB' - Xác định mặt phẳng (MNI): - Mặt phẳng (MNI) được xác định bởi ba điểm M, N, I. - I là tâm của hình bình hành BCC'B', do đó \( \overrightarrow{I} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C} + \overrightarrow{C'} + \overrightarrow{B'}}{4} \). - Xác định mặt phẳng (BCC'B'): - Mặt phẳng này chứa các điểm B, C, C', B'. - Giao tuyến song song với BB': - Để giao tuyến song song với BB', vector chỉ phương của giao tuyến phải cùng phương với vector \( \overrightarrow{B'B} \). c) (MNI) // (ACCA') - Xác định mặt phẳng (ACCA'): - Mặt phẳng này chứa các điểm A, C, C', A'. - Kiểm tra song song: - Hai mặt phẳng song song khi và chỉ khi các vector pháp tuyến của chúng cùng phương hoặc tỉ lệ với nhau. d) Đường thẳng MI cắt mặt phẳng (ABC) tại điểm K. Khi đó, \( NK = AC \). - Xác định đường thẳng MI: - Phương trình tham số của MI: \[ \overrightarrow{r} = \overrightarrow{M} + u(\overrightarrow{I} - \overrightarrow{M}) \] - Xác định mặt phẳng (ABC): - Mặt phẳng này chứa các điểm A, B, C. - Tìm giao điểm K: - Tìm \( u \) sao cho \( \overrightarrow{r} \) thuộc mặt phẳng (ABC). - Kiểm tra \( NK = AC \): - Tính độ dài \( NK \) và so sánh với độ dài \( AC \). Trên đây là các bước phân tích và giải quyết từng phần của bài toán. Mỗi phần cần được thực hiện cẩn thận để đảm bảo tính chính xác và logic.