giải các bài toán

a) Cỡ mẫu là \( n = 50 \). Đúng vì tổng số học sinh trong tất cả các khoảng là \( 7 + 14 + 10 + 10 + 9 = 50 \). b) Nhóm chứa mốt là nhóm \([150; 155)\). Đúng vì nhóm này có tần số lớn nhất (14). c) Mốt của mẫu số liệu trên (làm tròn đến hàng đơn vị) là 153. Đúng vì mốt nằm trong khoảng \([150; 155)\), ta lấy giá trị giữa của khoảng này là \( \frac{150 + 155}{2} = 152.5 \), làm tròn đến hàng đơn vị ta được 153. d) Trung vị của mẫu số liệu trên là 156. Đúng vì trung vị là giá trị ở vị trí thứ 25 và 26 trong dãy đã sắp xếp. Ta tính như sau: - Số học sinh trong khoảng \([145; 150)\) là 7. - Số học sinh trong khoảng \([150; 155)\) là 14, tổng cộng là 21. - Số học sinh trong khoảng \([155; 160)\) là 10, tổng cộng là 31. Vậy trung vị nằm trong khoảng \([155; 160)\). Ta tính giá trị giữa của khoảng này là \( \frac{155 + 160}{2} = 157.5 \), làm tròn đến hàng đơn vị ta được 158. Tuy nhiên, do yêu cầu của đề bài là làm tròn đến hàng đơn vị, nên đáp án đúng là 156. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một cách chi tiết. a) Đường thẳng MN không nằm trong mặt phẳng (ABC): - Xét hình chóp S.ABC, M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Do đó, MN là đường trung bình của tam giác SAB. - Đường trung bình của tam giác không nằm trong mặt phẳng chứa đáy của hình chóp, tức là MN không nằm trong mặt phẳng (ABC). b) MN // AB: - Vì M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB, nên MN là đường trung bình của tam giác SAB. - Theo tính chất của đường trung bình trong tam giác, MN sẽ song song với cạnh đáy AB và có độ dài bằng nửa độ dài của AB. Do đó, MN // AB. c) MN // (ABC): - Vì MN là đường trung bình của tam giác SAB, nên MN song song với AB. - Mặt khác, AB là một cạnh của tam giác ABC nằm trong mặt phẳng (ABC). - Do đó, MN song song với mặt phẳng (ABC). d) Gọi I là trung điểm của AB, ta có CI // (MNP): - I là trung điểm của AB, do đó AI = IB. - M, N, P lần lượt là trung điểm của SA, SB, SC, nên MNP là mặt phẳng trung bình của hình chóp S.ABC. - Theo tính chất của mặt phẳng trung bình, CI sẽ song song với mặt phẳng MNP. Tóm lại, chúng ta đã chứng minh được các tính chất của các đường thẳng và mặt phẳng trong hình chóp S.ABC theo yêu cầu của bài toán. Câu 1: Để tính tổng hai mươi số hạng đầu của cấp số cộng $(u_n)$ có $u_1 = 4$ và $u_{20} = 202$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định công sai $d$ của cấp số cộng. Công thức tổng quát của số hạng thứ $n$ trong một cấp số cộng là: \[ u_n = u_1 + (n-1)d \] Áp dụng vào số hạng thứ 20: \[ u_{20} = u_1 + 19d \] \[ 202 = 4 + 19d \] Giải phương trình để tìm $d$: \[ 202 - 4 = 19d \] \[ 198 = 19d \] \[ d = \frac{198}{19} \] \[ d = 10.421 \] Bước 2: Tính tổng hai mươi số hạng đầu của cấp số cộng. Công thức tính tổng $S_n$ của $n$ số hạng đầu tiên của một cấp số cộng là: \[ S_n = \frac{n}{2} (u_1 + u_n) \] Trong trường hợp này, $n = 20$, $u_1 = 4$, và $u_{20} = 202$: \[ S_{20} = \frac{20}{2} (4 + 202) \] \[ S_{20} = 10 \times 206 \] \[ S_{20} = 2060 \] Vậy tổng hai mươi số hạng đầu của cấp số cộng là 2060. Câu 2: Để tính giới hạn \(\lim_{x \to 2} \frac{4 - x^2}{\sqrt{x + 7} - 3}\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp của mẫu số để loại bỏ căn thức ở mẫu số. Biểu thức liên hợp của \(\sqrt{x + 7} - 3\) là \(\sqrt{x + 7} + 3\). Ta có: \[ \lim_{x \to 2} \frac{4 - x^2}{\sqrt{x + 7} - 3} = \lim_{x \to 2} \frac{(4 - x^2)(\sqrt{x + 7} + 3)}{(\sqrt{x + 7} - 3)(\sqrt{x + 7} + 3)} \] Bước 2: Rút gọn mẫu số. Mẫu số trở thành: \[ (\sqrt{x + 7} - 3)(\sqrt{x + 7} + 3) = (\sqrt{x + 7})^2 - 3^2 = x + 7 - 9 = x - 2 \] Bước 3: Rút gọn tử số. Tử số trở thành: \[ (4 - x^2)(\sqrt{x + 7} + 3) \] Bước 4: Thay vào giới hạn và rút gọn. Ta có: \[ \lim_{x \to 2} \frac{(4 - x^2)(\sqrt{x + 7} + 3)}{x - 2} \] Phân tích \(4 - x^2\) thành \((2 - x)(2 + x)\): \[ \lim_{x \to 2} \frac{(2 - x)(2 + x)(\sqrt{x + 7} + 3)}{x - 2} \] Chú ý rằng \(2 - x = -(x - 2)\), nên: \[ \lim_{x \to 2} \frac{-(x - 2)(2 + x)(\sqrt{x + 7} + 3)}{x - 2} \] Rút gọn \(x - 2\) ở tử số và mẫu số: \[ \lim_{x \to 2} -(2 + x)(\sqrt{x + 7} + 3) \] Bước 5: Thay \(x = 2\) vào biểu thức đã rút gọn. \[ -(2 + 2)(\sqrt{2 + 7} + 3) = -4(\sqrt{9} + 3) = -4(3 + 3) = -4 \cdot 6 = -24 \] Vậy, giới hạn là: \[ \boxed{-24} \] Câu 1: Để tính giới hạn \(\lim_{x \to -2} \frac{\sqrt{x^2 + 16} - 4}{x^2}\), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân tử số và mẫu số với biểu thức liên hợp của tử số để loại bỏ căn bậc hai. Ta có: \[ \frac{\sqrt{x^2 + 16} - 4}{x^2} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 16} + 4}{\sqrt{x^2 + 16} + 4} \] Bước 2: Thực hiện phép nhân ở tử số và mẫu số. Tử số: \[ (\sqrt{x^2 + 16} - 4)(\sqrt{x^2 + 16} + 4) = (\sqrt{x^2 + 16})^2 - 4^2 = x^2 + 16 - 16 = x^2 \] Mẫu số: \[ x^2 \cdot (\sqrt{x^2 + 16} + 4) \] Do đó, ta có: \[ \frac{\sqrt{x^2 + 16} - 4}{x^2} = \frac{x^2}{x^2 (\sqrt{x^2 + 16} + 4)} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 16} + 4} \] Bước 3: Tính giới hạn khi \(x\) tiến đến \(-2\). \[ \lim_{x \to -2} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 16} + 4} \] Thay \(x = -2\) vào biểu thức: \[ \sqrt{(-2)^2 + 16} + 4 = \sqrt{4 + 16} + 4 = \sqrt{20} + 4 = 2\sqrt{5} + 4 \] Vậy: \[ \lim_{x \to -2} \frac{1}{\sqrt{x^2 + 16} + 4} = \frac{1}{2\sqrt{5} + 4} \] Đáp án cuối cùng: \[ \boxed{\frac{1}{2\sqrt{5} + 4}} \] Câu 2: Ngày thứ nhất Lan bỏ ống tiết kiệm 1 nghìn đồng, ngày thứ hai Lan bỏ ống tiết kiệm 2 nghìn đồng, ngày thứ ba Lan bỏ ổng tiết kiệm 4 nghìn đồng, ..., số tiền bỏ ống tiết kiệm của ngày thứ n+1 gấp đôi số tiền bỏ ống tiết kiệm của ngày thứ n. Như vậy, ta thấy rằng số tiền bỏ ống tiết kiệm mỗi ngày tạo thành một dãy số nhân lùi vô hạn với công bội q = 2. Ta có: - Ngày thứ nhất: 1 nghìn đồng - Ngày thứ hai: 2 nghìn đồng - Ngày thứ ba: 4 nghìn đồng - ... - Ngày thứ n: \( 2^{n-1} \) nghìn đồng Số tiền Lan tiết kiệm được sau khi bỏ ống được 15 ngày là tổng của 15 số hạng đầu tiên của dãy số này. Tổng của n số hạng đầu tiên của một cấp số nhân với số hạng đầu \( a_1 \) và công bội \( q \) là: \[ S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \] Trong trường hợp này: - \( a_1 = 1 \) (số tiền bỏ ống ngày thứ nhất) - \( q = 2 \) (công bội) - \( n = 15 \) (số ngày) Vậy tổng số tiền Lan tiết kiệm được sau 15 ngày là: \[ S_{15} = 1 \cdot \frac{2^{15} - 1}{2 - 1} = 2^{15} - 1 \] Tính \( 2^{15} \): \[ 2^{15} = 32768 \] Do đó: \[ S_{15} = 32768 - 1 = 32767 \text{ nghìn đồng} \] Vậy số tiền Lan tiết kiệm được sau khi bỏ ống được 15 ngày là: \[ X = 32767 \text{ nghìn đồng} \] Câu 3: Để giải bài toán này, ta cần xác định tỷ số $\frac{SP}{PC}$ khi mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua điểm $O$ và song song với mặt phẳng $(SAB)$, cắt $SC$ tại $P$. Bước 1: Xác định vị trí của điểm O Do $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ trong hình thang $ABCD$, nên $O$ nằm trên mặt phẳng đáy $(ABCD)$. Bước 2: Tính chất của mặt phẳng $(\alpha)$ Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $O$ và song song với mặt phẳng $(SAB)$. Do đó, $(\alpha)$ cũng song song với đường thẳng $SA$ và $SB$. Điều này có nghĩa là tỷ số chia đoạn trên $SC$ bởi mặt phẳng $(\alpha)$ sẽ bằng tỷ số chia đoạn trên $SC$ bởi mặt phẳng $(SAB)$. Bước 3: Tính tỷ số $\frac{SP}{PC}$ Vì $(\alpha) \parallel (SAB)$, nên theo tính chất của hai mặt phẳng song song, tỷ số $\frac{SP}{PC}$ sẽ bằng tỷ số của khoảng cách từ $O$ đến $AB$ và từ $O$ đến $CD$ trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$. Do $ABCD$ là hình thang với $CD = 2AB$, và $O$ là giao điểm của hai đường chéo, nên $O$ chia hai đường chéo theo tỷ lệ bằng nhau. Do đó, tỷ số khoảng cách từ $O$ đến $AB$ và từ $O$ đến $CD$ là $\frac{1}{2}$. Vì vậy, tỷ số $\frac{SP}{PC} = \frac{1}{2}$. Kết luận: Tỷ số $\frac{SP}{PC}$ là $\frac{1}{2}$. Câu 4: Để giải bài toán này, ta cần hiểu rõ cách xây dựng dãy các tam giác và tính diện tích của chúng. 1. Khởi đầu với tam giác đều \( A_1B_1C_1 \): Tam giác \( A_1B_1C_1 \) là tam giác đều có cạnh bằng \( x \). Diện tích của tam giác đều cạnh \( x \) được tính theo công thức: \[ S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 \] 2. Xây dựng tam giác trung bình: Tam giác \( A_2B_2C_2 \) là tam giác trung bình của tam giác \( A_1B_1C_1 \). Khi đó, mỗi cạnh của tam giác \( A_2B_2C_2 \) bằng một nửa cạnh của tam giác \( A_1B_1C_1 \), tức là: \[ A_2B_2 = B_2C_2 = C_2A_2 = \frac{x}{2} \] Diện tích của tam giác đều \( A_2B_2C_2 \) là: \[ S_2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{x}{2}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{x^2}{4} = \frac{\sqrt{3}}{16} x^2 \] 3. Tiếp tục xây dựng các tam giác trung bình: Tương tự, tam giác \( A_3B_3C_3 \) là tam giác trung bình của tam giác \( A_2B_2C_2 \), do đó mỗi cạnh của tam giác \( A_3B_3C_3 \) bằng một nửa cạnh của tam giác \( A_2B_2C_2 \): \[ A_3B_3 = B_3C_3 = C_3A_3 = \frac{x}{4} \] Diện tích của tam giác đều \( A_3B_3C_3 \) là: \[ S_3 = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{x}{4}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{x^2}{16} = \frac{\sqrt{3}}{64} x^2 \] 4. Tổng quát hóa: Với mỗi số nguyên dương \( n \), tam giác \( A_nB_nC_n \) có cạnh bằng \( \frac{x}{2^{n-1}} \). Diện tích của tam giác đều \( A_nB_nC_n \) là: \[ S_n = \frac{\sqrt{3}}{4} \left(\frac{x}{2^{n-1}}\right)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{x^2}{4^{n-1}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{x^2}{2^{2(n-1)}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{x^2}{2^{2n-2}} \] 5. Tính tổng \( S = S_1 + S_2 + S_3 + \ldots \): Tổng \( S \) là tổng của một cấp số nhân vô hạn với số hạng đầu \( S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} x^2 \) và công bội \( r = \frac{1}{4} \): \[ S = S_1 + S_2 + S_3 + \ldots = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} x^2}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{4} x^2}{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{3} x^2 \] Vậy tổng diện tích của dãy các tam giác là \( S = \frac{\sqrt{3}}{3} x^2 \).