chọn đáp án đúng nhất

Câu 9: Ta có bảng số liệu đã cho: Tuổi thọ | "[2;3,5)" | "[3,5;5)" | "[5;6,5)" | "[6,5;8)" ---------|-----------|-----------|-----------|----------- Số bóng đèn | 8 | 22 | 35 | 15 Trước tiên, ta cần tìm giá trị đại diện cho mỗi khoảng tuổi thọ: - Khoảng "[2;3,5)": Giá trị đại diện là $\frac{2 + 3,5}{2} = 2,75$ - Khoảng "[3,5;5)": Giá trị đại diện là $\frac{3,5 + 5}{2} = 4,25$ - Khoảng "[5;6,5)": Giá trị đại diện là $\frac{5 + 6,5}{2} = 5,75$ - Khoảng "[6,5;8)": Giá trị đại diện là $\frac{6,5 + 8}{2} = 7,25$ Bây giờ, ta sẽ tính số trung bình của mẫu số liệu: $\text{Số trung bình} = \frac{(2,75 \times 8) + (4,25 \times 22) + (5,75 \times 35) + (7,25 \times 15)}{8 + 22 + 35 + 15}$ Tính tổng các tích: $= \frac{(2,75 \times 8) + (4,25 \times 22) + (5,75 \times 35) + (7,25 \times 15)}{80}$ $= \frac{22 + 93,5 + 201,25 + 108,75}{80}$ $= \frac{425,5}{80}$ $= 5,31875$ Làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai, ta có: $\approx 5,32$ Vậy số trung bình của mẫu số liệu là 5,32. Đáp án đúng là B. 5,32. Câu 10: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rõ cấu trúc của một hình chóp tam giác. Một hình chóp tam giác có: - Một đáy là một tam giác. - Ba mặt bên, mỗi mặt bên là một tam giác. Vậy tổng số các mặt bên và mặt đáy của hình chóp tam giác là: - Số mặt đáy: 1 - Số mặt bên: 3 Tổng số các mặt (bao gồm cả mặt đáy và mặt bên) là: \(1 + 3 = 4\). Do đó, đáp án đúng là A. 4. Câu 11: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\) trong hình chóp \(S.ABCD\) với đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Bước 1: Xác định các mặt phẳng - Mặt phẳng \((SAD)\) chứa các điểm \(S\), \(A\), \(D\). - Mặt phẳng \((SBC)\) chứa các điểm \(S\), \(B\), \(C\). Bước 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng Giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\) là một đường thẳng đi qua điểm chung của hai mặt phẳng này. Điểm chung rõ ràng là điểm \(S\). Bước 3: Xác định hướng của giao tuyến - Do đáy \(ABCD\) là hình bình hành, các cạnh đối song song với nhau: \(AB \parallel CD\) và \(AD \parallel BC\). - Để tìm giao tuyến, ta cần tìm một đường thẳng trong mặt phẳng \((SAD)\) và một đường thẳng trong mặt phẳng \((SBC)\) mà hai đường thẳng này song song với nhau. Bước 4: Xác định đường thẳng song song - Trong mặt phẳng \((SAD)\), đường thẳng \(AD\) nằm trong mặt phẳng này. - Trong mặt phẳng \((SBC)\), đường thẳng \(BC\) nằm trong mặt phẳng này. - Do \(AD \parallel BC\) (vì \(ABCD\) là hình bình hành), nên giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\) sẽ song song với \(AD\) và \(BC\). Kết luận Giao tuyến của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\) là một đường thẳng song song với \(AD\) và \(BC\). Do đó, đáp án đúng là: B. AD Câu 12: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phân tích hình chóp tứ giác \( S.ABCD \) và các điểm M, N đã cho. 1. Xác định các điểm M và N: - Điểm \( M \) là trung điểm của \( SA \). - Điểm \( N \) là trung điểm của \( SC \). 2. Xét đường thẳng \( MN \): - Vì \( M \) là trung điểm của \( SA \) và \( N \) là trung điểm của \( SC \), nên \( MN \) là đường trung bình của tam giác \( \triangle SAC \). 3. Tính chất của đường trung bình trong tam giác: - Đường trung bình của một tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa độ dài của cạnh đó. - Do đó, \( MN \parallel AC \) và \( MN = \frac{1}{2}AC \). 4. Xét các mặt phẳng: - Mặt phẳng \( (ABCD) \) chứa cạnh \( AC \). - Vì \( MN \parallel AC \) và \( AC \subset (ABCD) \), nên \( MN \parallel (ABCD) \). 5. Kết luận: - Khẳng định đúng là \( A.~MN \parallel (ABCD). \) Vậy, đáp án đúng là \( A.~MN \parallel (ABCD). \) Câu 13: Để giải quyết bài toán này, ta cần xem xét các khẳng định về quan hệ song song giữa các đường thẳng và mặt phẳng trong hình chóp S.ABCD với đáy là hình bình hành ABCD. 1. Khẳng định A: \(A^\prime B^\prime \parallel (SAB)\). - \(A^\prime\) và \(B^\prime\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SB\). - Đường thẳng \(A^\prime B^\prime\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\), do đó \(A^\prime B^\prime \parallel AB\) và \(A^\prime B^\prime = \frac{1}{2}AB\). - Vì \(A^\prime B^\prime\) song song với \(AB\) và nằm trong mặt phẳng \((SAB)\), nên \(A^\prime B^\prime \parallel (SAB)\). Khẳng định A là đúng. 2. Khẳng định B: \((A^\prime B^\prime C^\prime) \parallel (ACD)\). - \(A^\prime, B^\prime, C^\prime\) lần lượt là trung điểm của \(SA, SB, SC\). - Mặt phẳng \((A^\prime B^\prime C^\prime)\) là mặt phẳng trung bình của hình chóp \(S.ABCD\). - Mặt phẳng \((A^\prime B^\prime C^\prime)\) song song với mặt phẳng đáy \((ABCD)\) vì các đường trung bình song song với các cạnh tương ứng của đáy. - Do đó, \((A^\prime B^\prime C^\prime) \parallel (ABCD)\), mà \((ACD)\) là một phần của \((ABCD)\). Khẳng định B là đúng. 3. Khẳng định C: \(A^\prime B^\prime \parallel (SBC)\). - Tương tự như khẳng định A, \(A^\prime B^\prime\) là đường trung bình của tam giác \(SAB\), nên \(A^\prime B^\prime \parallel AB\). - Tuy nhiên, \(AB\) không song song với mặt phẳng \((SBC)\) vì \(AB\) không nằm trong mặt phẳng \((SBC)\). Khẳng định C là sai. 4. Khẳng định D: \((BA^\prime C^\prime) \parallel (B^\prime AC)\). - Xét mặt phẳng \((BA^\prime C^\prime)\), trong đó \(A^\prime\) và \(C^\prime\) là trung điểm của \(SA\) và \(SC\). - Mặt phẳng \((B^\prime AC)\) chứa \(B^\prime\), là trung điểm của \(SB\), và các điểm \(A, C\). - Không có lý do nào để hai mặt phẳng này song song với nhau vì không có cặp đường thẳng nào trong hai mặt phẳng này song song với nhau. Khẳng định D là sai. Tóm lại, các khẳng định đúng là A và B. Câu 14: Để xác định mệnh đề nào sai, chúng ta cần xem xét từng mệnh đề một cách chi tiết: A. Phép chiếu song song biến đường thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng. - Phép chiếu song song là một phép biến hình trong hình học không gian, trong đó các đường thẳng song song với nhau được chiếu lên một mặt phẳng theo một hướng cố định. Phép chiếu song song sẽ biến đường thẳng thành đường thẳng, tia thành tia, và đoạn thẳng thành đoạn thẳng. Do đó, mệnh đề A là đúng. B. Phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song. - Khi thực hiện phép chiếu song song, hai đường thẳng song song sẽ được biến thành hai đường thẳng song song trên mặt phẳng chiếu. Do đó, mệnh đề B là đúng. C. Phép chiếu song song biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không thay đổi thứ tự của ba điểm đó. - Phép chiếu song song bảo toàn tính thẳng hàng của các điểm. Điều này có nghĩa là nếu ba điểm ban đầu thẳng hàng, thì sau khi chiếu, ba điểm đó vẫn thẳng hàng và thứ tự của chúng không thay đổi. Do đó, mệnh đề C là đúng. D. Phép chiếu song song không làm thay đổi tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nằm trên hai đường thẳng song song hoặc cùng nằm trên một đường thẳng. - Phép chiếu song song không bảo toàn tỉ số độ dài của hai đoạn thẳng nếu chúng không cùng nằm trên một đường thẳng hoặc không nằm trên hai đường thẳng song song. Tỉ số độ dài chỉ được bảo toàn trong phép đồng dạng, không phải trong phép chiếu song song. Do đó, mệnh đề D là sai. Kết luận: Mệnh đề sai là mệnh đề D. Câu 15: Để xác định dãy số nào có giới hạn khác 0, chúng ta sẽ lần lượt tính giới hạn của mỗi dãy số trong các lựa chọn A, B, C và D. A. \( u_n = \frac{1}{n} \) Giới hạn của dãy số này khi \( n \to \infty \) là: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 \] B. \( u_n = \frac{1}{n^2} \) Giới hạn của dãy số này khi \( n \to \infty \) là: \[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^2} = 0 \] C. \( u_n = 1 - \frac{1}{n} \) Giới hạn của dãy số này khi \( n \to \infty \) là: \[ \lim_{n \to \infty} \left(1 - \frac{1}{n}\right) = 1 - 0 = 1 \] Do đó, giới hạn của dãy số này khác 0. D. \( u_n = \left(\frac{1}{2}\right)^n \) Giới hạn của dãy số này khi \( n \to \infty \) là: \[ \lim_{n \to \infty} \left(\frac{1}{2}\right)^n = 0 \] Từ các phép tính trên, ta thấy rằng chỉ có dãy số \( u_n = 1 - \frac{1}{n} \) có giới hạn khác 0. Đáp án đúng là: \( C.~u_n = 1 - \frac{1}{n} \). Câu 16: Để giải bài toán giới hạn này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) của hàm số. 2. Rút gọn biểu thức trong giới hạn. 3. Tính giới hạn. Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) Hàm số \(\frac{x-2}{x^2-4}\) có mẫu số là \(x^2 - 4\). Mẫu số này khác 0 khi: \[ x^2 - 4 \neq 0 \] \[ x^2 \neq 4 \] \[ x \neq 2 \text{ và } x \neq -2 \] Bước 2: Rút gọn biểu thức Biểu thức \(x^2 - 4\) có thể viết lại dưới dạng: \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \] Do đó, hàm số ban đầu có thể viết lại thành: \[ \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} \] Rút gọn phân số: \[ \frac{x-2}{(x-2)(x+2)} = \frac{1}{x+2} \quad \text{(với điều kiện } x \neq 2 \text{)} \] Bước 3: Tính giới hạn Bây giờ, chúng ta tính giới hạn của \(\frac{1}{x+2}\) khi \(x\) tiến đến 2: \[ \lim_{x \to 2} \frac{1}{x+2} \] Thay \(x = 2\) vào biểu thức: \[ \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4} \] Vậy, giới hạn của hàm số \(\lim_{x \to 2} \frac{x-2}{x^2-4}\) là \(\frac{1}{4}\). Đáp án đúng là: \( D. \frac{1}{4} \)