Trả lời trắc nghiệm

Câu 1: Để xác định đẳng thức nào đúng, chúng ta cần tính giá trị của các hàm lượng giác tại góc \(150^\circ\). 1. Đẳng thức A: \(\cos 150^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) Ta biết rằng \(\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)\). Do đó, \(\cos 150^\circ = \cos(180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}\). Vậy đẳng thức A là sai. 2. Đẳng thức B: \(\alpha + 150^\circ = \sqrt{3}\) Đẳng thức này không có ý nghĩa vì \(\alpha\) không được định nghĩa trong bài toán. Do đó, đẳng thức B là sai. 3. Đẳng thức C: \(\tan 150^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}}\) Ta biết rằng \(\tan(180^\circ - \alpha) = -\tan(\alpha)\). Do đó, \(\tan 150^\circ = \tan(180^\circ - 30^\circ) = -\tan 30^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}}\). Vậy đẳng thức C là đúng. 4. Đẳng thức D: \(\sin 150^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\) Ta biết rằng \(\sin(180^\circ - \alpha) = \sin(\alpha)\). Do đó, \(\sin 150^\circ = \sin(180^\circ - 30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}\). Vậy đẳng thức D là sai. Kết luận: Đẳng thức đúng là \(\textcircled{C}~\tan 150^\circ = -\frac{1}{\sqrt{3}}\). Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định giá trị của \(\cos 2\alpha\) và khoảng giá trị của \(\alpha\). 2. Sử dụng công thức liên hệ giữa \(\sin \alpha\) và \(\cos 2\alpha\). Bước 1: Xác định giá trị của \(\cos 2\alpha\) và khoảng giá trị của \(\alpha\): - Ta biết rằng \(\cos 2\alpha = \frac{3}{5}\). - Khoảng giá trị của \(\alpha\) là \(\frac{3\pi}{4} < \alpha < \pi\). Bước 2: Sử dụng công thức liên hệ giữa \(\sin \alpha\) và \(\cos 2\alpha\): - Công thức liên hệ giữa \(\sin \alpha\) và \(\cos 2\alpha\) là: \[ \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2 \alpha \] - Thay giá trị \(\cos 2\alpha = \frac{3}{5}\) vào công thức trên: \[ \frac{3}{5} = 1 - 2\sin^2 \alpha \] - Giải phương trình để tìm \(\sin^2 \alpha\): \[ 2\sin^2 \alpha = 1 - \frac{3}{5} \] \[ 2\sin^2 \alpha = \frac{2}{5} \] \[ \sin^2 \alpha = \frac{1}{5} \] - Do \(\frac{3\pi}{4} < \alpha < \pi\), nên \(\sin \alpha > 0\). Vậy: \[ \sin \alpha = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5} \] Vậy giá trị của \(\sin \alpha\) là \(\frac{\sqrt{5}}{5}\). Đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~\frac{\sqrt{5}}{5}} \] Câu 3: Để xác định khẳng định nào sau đây sai, chúng ta sẽ kiểm tra tính chất lẻ của từng hàm số trong các lựa chọn A, B, C và D. A. Hàm số \( y = \sin x \) là hàm số lẻ: - Một hàm số \( f(x) \) được gọi là hàm số lẻ nếu \( f(-x) = -f(x) \). - Ta có \( \sin(-x) = -\sin(x) \). Do đó, hàm số \( y = \sin x \) là hàm số lẻ. B. Hàm số \( y = \cot x \) là hàm số lẻ: - Một hàm số \( f(x) \) được gọi là hàm số lẻ nếu \( f(-x) = -f(x) \). - Ta có \( \cot(-x) = \frac{\cos(-x)}{\sin(-x)} = \frac{\cos(x)}{-\sin(x)} = -\cot(x) \). Do đó, hàm số \( y = \cot x \) là hàm số lẻ. C. Hàm số \( y = \tan x \) là hàm số lẻ: - Một hàm số \( f(x) \) được gọi là hàm số lẻ nếu \( f(-x) = -f(x) \). - Ta có \( \tan(-x) = \frac{\sin(-x)}{\cos(-x)} = \frac{-\sin(x)}{\cos(x)} = -\tan(x) \). Do đó, hàm số \( y = \tan x \) là hàm số lẻ. D. Hàm số \( y = \cos x \) là hàm số lẻ: - Một hàm số \( f(x) \) được gọi là hàm số lẻ nếu \( f(-x) = -f(x) \). - Ta có \( \cos(-x) = \cos(x) \). Do đó, hàm số \( y = \cos x \) không phải là hàm số lẻ mà là hàm số chẵn. Vậy khẳng định sai là D. Hàm số \( y = \cos x \) là hàm số lẻ. Câu 4: Để giải phương trình \(\cos x = -\frac{1}{2}\), chúng ta cần tìm các giá trị của \(x\) sao cho cosin của \(x\) bằng \(-\frac{1}{2}\). 1. Xác định các góc cơ bản: Ta biết rằng \(\cos \left( \frac{2\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2}\) và \(\cos \left( \frac{4\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2}\). Do tính chất tuần hoàn của hàm cosin, các nghiệm sẽ lặp lại mỗi \(2\pi\). 2. Viết nghiệm tổng quát: Các nghiệm của phương trình \(\cos x = -\frac{1}{2}\) là: \[ x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \quad \text{và} \quad x = \frac{4\pi}{3} + k2\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] 3. Gộp nghiệm: Ta có thể gộp hai nghiệm trên thành một dạng chung: \[ x = \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi \quad \text{với} \quad k \in \mathbb{Z} \] Vậy tập nghiệm của phương trình \(\cos x = -\frac{1}{2}\) là: \[ \boxed{\left\{ \pm \frac{2\pi}{3} + k2\pi, k \in \mathbb{Z} \right\}} \] Câu 5: A. Dãy số 0, -3, 9, 22... không phải là dãy số giảm vì các số hạng không liên tục giảm đều. B. Dãy số 2, 4, 46, 68, 8... không phải là dãy số giảm vì các số hạng không liên tục giảm đều. C. Dãy số $\frac{1}{2}, -\frac{1}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{3}{5}$ không phải là dãy số giảm vì các số hạng không liên tục giảm đều. D. Dãy số -1, -3, -5, -7... là dãy số giảm vì mỗi số hạng tiếp theo đều nhỏ hơn số hạng trước đó. Vậy đáp án đúng là: $\boxed{\textcircled{D}}$ Câu 6: Để tìm số hạng tổng quát của cấp số cộng, ta sử dụng công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng: \[ u_n = u_1 + (n-1) \cdot d \] Với \( u_1 = 19 \) và công sai \( d = -2 \), ta thay vào công thức: \[ u_n = 19 + (n-1) \cdot (-2) \] Khai triển biểu thức trên: \[ u_n = 19 - 2(n-1) \] \[ u_n = 19 - 2n + 2 \] \[ u_n = 21 - 2n \] Vậy số hạng tổng quát của cấp số cộng là: \[ u_n = 21 - 2n \] So sánh với các đáp án đã cho: - A. \( u_n = -2n^2 + 33 \) - B. \( u_n = -3n + 24 \) - C. \( u_2 = -2n + 21 \) - D. \( u_n = 12 + 2n \) Không có đáp án nào khớp với kết quả \( u_n = 21 - 2n \). Có thể có lỗi trong các đáp án đã cho. Tuy nhiên, dựa trên tính toán của chúng ta, số hạng tổng quát chính xác là: \[ u_n = 21 - 2n \] Câu 7: Để xác định dãy số nào không phải là cấp số nhân, chúng ta cần kiểm tra xem tỷ lệ giữa các số hạng liên tiếp có phải là hằng số hay không. Nếu tỷ lệ này không phải là hằng số thì dãy đó không phải là cấp số nhân. A. Dãy số: 1; -3; 9; -27; 54 - Tỷ lệ giữa các số hạng liên tiếp: $\frac{-3}{1} = -3$ $\frac{9}{-3} = -3$ $\frac{-27}{9} = -3$ $\frac{54}{-27} = -2$ Tỷ lệ giữa các số hạng liên tiếp không phải là hằng số (sau cùng là -2 thay vì -3). Do đó, dãy số này không phải là cấp số nhân. B. Dãy số: 1; 2; 4; 8; 16 - Tỷ lệ giữa các số hạng liên tiếp: $\frac{2}{1} = 2$ $\frac{4}{2} = 2$ $\frac{8}{4} = 2$ $\frac{16}{8} = 2$ Tỷ lệ giữa các số hạng liên tiếp là hằng số (2). Do đó, dãy số này là cấp số nhân. C. Dãy số: 1; -1; 1; -1; 1; 1 - Tỷ lệ giữa các số hạng liên tiếp: $\frac{-1}{1} = -1$ $\frac{1}{-1} = -1$ $\frac{-1}{1} = -1$ $\frac{1}{-1} = -1$ $\frac{1}{1} = 1$ Tỷ lệ giữa các số hạng liên tiếp không phải là hằng số (cuối cùng là 1 thay vì -1). Do đó, dãy số này không phải là cấp số nhân. D. Dãy số: 1; -2; 4; -8; 16 - Tỷ lệ giữa các số hạng liên tiếp: $\frac{-2}{1} = -2$ $\frac{4}{-2} = -2$ $\frac{-8}{4} = -2$ $\frac{16}{-8} = -2$ Tỷ lệ giữa các số hạng liên tiếp là hằng số (-2). Do đó, dãy số này là cấp số nhân. Kết luận: Dãy số không phải là cấp số nhân là dãy số A. Đáp án: A. 1; -3; 9; -27; 54. Câu 8: Để xác định giá trị đại diện cho nhóm, chúng ta cần tính giá trị trung bình của các khoảng chiều cao trong nhóm đó. Giá trị đại diện thường được chọn là trung điểm của khoảng chiều cao trong nhóm. Dưới đây là cách tính giá trị đại diện cho từng nhóm: 1. Nhóm 1: [150; 153) - Trung điểm: \( \frac{150 + 153}{2} = 151.5 \) 2. Nhóm 2: [153; 156) - Trung điểm: \( \frac{153 + 156}{2} = 154.5 \) 3. Nhóm 3: [156; 159) - Trung điểm: \( \frac{156 + 159}{2} = 157.5 \) 4. Nhóm 4: [159; 162) - Trung điểm: \( \frac{159 + 162}{2} = 160.5 \) 5. Nhóm 5: [162; 165) - Trung điểm: \( \frac{162 + 165}{2} = 163.5 \) 6. Nhóm 6: [165; 168) - Trung điểm: \( \frac{165 + 168}{2} = 166.5 \) Như vậy, giá trị đại diện cho nhóm 4 là 160.5, vì đây là trung điểm của khoảng chiều cao [159; 162). Giá trị này được sử dụng để đại diện cho chiều cao của các học sinh trong nhóm này khi tính toán các chỉ số thống kê như trung bình cộng, phương sai, v.v.