Giaie hộ em với ah

Câu 1: Để tìm tọa độ điểm chắn tầm nhìn của người đó, ta cần xác định điểm giao giữa đường thẳng đi từ điểm M đến điểm N và mặt phẳng (Oxy). Đầu tiên, ta viết phương trình đường thẳng MN: - Vector $\overrightarrow{MN} = (-2 - 1; 0 - 2; 2 + 2) = (-3; -2; 4)$. - Đường thẳng MN có phương trình tham số: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - 3t \\ y = 2 - 2t \\ z = -2 + 4t \end{array} \right. \] Để tìm giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng (Oxy), ta đặt $z = 0$: \[ -2 + 4t = 0 \] \[ 4t = 2 \] \[ t = \frac{1}{2} \] Thay $t = \frac{1}{2}$ vào phương trình tham số của đường thẳng: \[ x = 1 - 3 \cdot \frac{1}{2} = 1 - \frac{3}{2} = -\frac{1}{2} \] \[ y = 2 - 2 \cdot \frac{1}{2} = 2 - 1 = 1 \] \[ z = 0 \] Vậy tọa độ điểm chắn tầm nhìn là $D\left(-\frac{1}{2}; 1; 0\right)$. Bây giờ, ta tính $a \cdot b + c$: \[ a = -\frac{1}{2}, \quad b = 1, \quad c = 0 \] \[ a \cdot b + c = \left(-\frac{1}{2}\right) \cdot 1 + 0 = -\frac{1}{2} \] Đáp số: $-\frac{1}{2}$ Câu 2: Gọi \( A \) là sự kiện "Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh X đã tốt nghiệp trung học phổ thông trong kì thi trên và học sinh đó đã đỗ đại học". Gọi \( B \) là sự kiện "Chọn ngẫu nhiên một học sinh của tỉnh X đã tốt nghiệp trung học phổ thông trong kì thi trên và học sinh đó đã chọn tổ hợp A00". Theo đề bài, ta có: - \( P(B) = 0,8 \) - \( P(\overline{B}) = 1 - P(B) = 0,2 \) - \( P(A|B) = 0,6 \) - \( P(A|\overline{B}) = 0,7 \) Ta cần tính xác suất \( P(B|A) \). Áp dụng công thức xác suất tổng hợp, ta có: \[ P(A) = P(B) \cdot P(A|B) + P(\overline{B}) \cdot P(A|\overline{B}) \] \[ P(A) = 0,8 \cdot 0,6 + 0,2 \cdot 0,7 \] \[ P(A) = 0,48 + 0,14 \] \[ P(A) = 0,62 \] Áp dụng công thức xác suất có điều kiện, ta có: \[ P(B|A) = \frac{P(B) \cdot P(A|B)}{P(A)} \] \[ P(B|A) = \frac{0,8 \cdot 0,6}{0,62} \] \[ P(B|A) = \frac{0,48}{0,62} \] \[ P(B|A) \approx 0,7742 \] Làm tròn đến hàng phần trăm, ta được: \[ P(B|A) \approx 0,77 \] Vậy xác suất để học sinh đó chọn tổ hợp A00 là \( 0,77 \). Câu 3: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng định lý Bayes để tìm xác suất không mắc bệnh hiểm nghèo Y của bà N sau khi xét nghiệm cho kết quả âm tính. Bước 1: Xác định các biến và xác suất ban đầu: - Tỉ lệ dân số mắc bệnh hiểm nghèo Y là 0,5%, tức là \( P(B) = 0,005 \). - Tỉ lệ dân số không mắc bệnh hiểm nghèo Y là \( P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 0,995 \). Bước 2: Xác định xác suất của các sự kiện liên quan đến kết quả xét nghiệm: - Nếu mắc bệnh hiểm nghèo Y, xác suất xét nghiệm dương tính là 0,94, tức là \( P(D|B) = 0,94 \). - Nếu mắc bệnh hiểm nghèo Y, xác suất xét nghiệm âm tính là \( P(A|B) = 1 - P(D|B) = 0,06 \). - Nếu không mắc bệnh hiểm nghèo Y, xác suất xét nghiệm âm tính là 0,97, tức là \( P(A|\bar{B}) = 0,97 \). - Nếu không mắc bệnh hiểm nghèo Y, xác suất xét nghiệm dương tính là \( P(D|\bar{B}) = 1 - P(A|\bar{B}) = 0,03 \). Bước 3: Áp dụng định lý Bayes để tìm xác suất không mắc bệnh hiểm nghèo Y sau khi xét nghiệm âm tính: - Xác suất xét nghiệm âm tính \( P(A) \): \[ P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|\bar{B})P(\bar{B}) \] \[ P(A) = (0,06)(0,005) + (0,97)(0,995) \] \[ P(A) = 0,0003 + 0,96515 \] \[ P(A) = 0,96545 \] - Xác suất không mắc bệnh hiểm nghèo Y sau khi xét nghiệm âm tính \( P(\bar{B}|A) \): \[ P(\bar{B}|A) = \frac{P(A|\bar{B})P(\bar{B})}{P(A)} \] \[ P(\bar{B}|A) = \frac{(0,97)(0,995)}{0,96545} \] \[ P(\bar{B}|A) = \frac{0,96515}{0,96545} \] \[ P(\bar{B}|A) \approx 0,9997 \] Vậy sau khi xét nghiệm cho kết quả âm tính, xác suất không mắc bệnh hiểm nghèo Y của bà N là khoảng 0,9997 hoặc 99,97%. Câu 4. Để tính góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$, ta cần tìm góc giữa hai vectơ chỉ phương của chúng. 1. Tìm vectơ chỉ phương của mỗi đường thẳng: - Đường thẳng $\Delta_1$ có phương trình: $\frac{x+24}{3} = \frac{y-25}{4} = \frac{z}{-5}$. Vectơ chỉ phương của $\Delta_1$ là $\vec{u}_1 = (3, 4, -5)$. - Đường thẳng $\Delta_2$ có phương trình: $\frac{x-26}{5} = \frac{y}{3} = \frac{z}{4}$. Vectơ chỉ phương của $\Delta_2$ là $\vec{u}_2 = (5, 3, 4)$. 2. Tính tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương: \[ \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 3 \cdot 5 + 4 \cdot 3 + (-5) \cdot 4 = 15 + 12 - 20 = 7 \] 3. Tính độ dài của mỗi vectơ chỉ phương: \[ |\vec{u}_1| = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] \[ |\vec{u}_2| = \sqrt{5^2 + 3^2 + 4^2} = \sqrt{25 + 9 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \] 4. Tính cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2}{|\vec{u}_1| |\vec{u}_2|} = \frac{7}{(5\sqrt{2})(5\sqrt{2})} = \frac{7}{50} \] 5. Tính góc $\theta$: \[ \theta = \cos^{-1}\left(\frac{7}{50}\right) \] 6. Lấy giá trị của góc $\theta$ và làm tròn đến hàng đơn vị: \[ \theta \approx 81^\circ \] Vậy, giá trị của góc giữa hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$ là 81 độ. Bài 6.2 Để giải quyết các bài toán theo yêu cầu trên, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một cách chi tiết và rõ ràng. Dưới đây là một ví dụ về cách giải một bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một hàm số bằng phương pháp đạo hàm. Bài toán: Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số \( f(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \) trên đoạn \([-1, 3]\). Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2) = 3x^2 - 6x \] Bước 2: Tìm các điểm cực trị Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ 3x^2 - 6x = 0 \] \[ 3x(x - 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] Bước 3: Kiểm tra các điểm cực trị và các biên của đoạn - Tại \( x = -1 \): \[ f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2 = -1 - 3 + 2 = -2 \] - Tại \( x = 0 \): \[ f(0) = 0^3 - 3(0)^2 + 2 = 2 \] - Tại \( x = 2 \): \[ f(2) = 2^3 - 3(2)^2 + 2 = 8 - 12 + 2 = -2 \] - Tại \( x = 3 \): \[ f(3) = 3^3 - 3(3)^2 + 2 = 27 - 27 + 2 = 2 \] Bước 4: So sánh các giá trị - \( f(-1) = -2 \) - \( f(0) = 2 \) - \( f(2) = -2 \) - \( f(3) = 2 \) Từ đó, ta thấy: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 2, đạt được khi \( x = 0 \) hoặc \( x = 3 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -2, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 2 \). Kết luận: - Giá trị lớn nhất của hàm số là 2, đạt được khi \( x = 0 \) hoặc \( x = 3 \). - Giá trị nhỏ nhất của hàm số là -2, đạt được khi \( x = -1 \) hoặc \( x = 2 \).