giải giúp mình nhaaaa

Câu 1: Để rút gọn biểu thức \( P = x^3 \sqrt{x} \) với \( x > 0 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định: - Biểu thức \( \sqrt{x} \) có nghĩa khi \( x \geq 0 \). - Điều kiện \( x > 0 \) đã cho trong đề bài đảm bảo rằng \( \sqrt{x} \) luôn có nghĩa. 2. Biểu diễn căn bậc hai dưới dạng lũy thừa: - Ta biết rằng \( \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \). 3. Thay vào biểu thức: - Thay \( \sqrt{x} \) bằng \( x^{\frac{1}{2}} \) trong biểu thức \( P \): \[ P = x^3 \cdot x^{\frac{1}{2}} \] 4. Áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số: - Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta cộng các số mũ lại với nhau: \[ P = x^{3 + \frac{1}{2}} = x^{\frac{6}{2} + \frac{1}{2}} = x^{\frac{7}{2}} \] 5. Kết luận: - Vậy biểu thức \( P \) được rút gọn thành \( x^{\frac{7}{2}} \). Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~P = x^{\frac{7}{2}} \] Câu 2: Ta xét từng mệnh đề: A. $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ Theo công thức tính chất của lôgarit, ta có: \[ \log_a \left( \frac{x}{y} \right) = \log_a x - \log_a y \] Mệnh đề này đúng. B. $\log_a \frac{x}{y} = \log_a (x - y)$ Theo công thức tính chất của lôgarit, ta không có công thức nào tương tự như trên. Do đó, mệnh đề này sai. C. $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x + \log_a y$ Theo công thức tính chất của lôgarit, ta có: \[ \log_a (xy) = \log_a x + \log_a y \] Nhưng không có công thức nào tương tự như trên cho phép chia. Do đó, mệnh đề này sai. D. $\log_a \frac{x}{y} = \frac{\log_a x}{\log_a y}$ Theo công thức tính chất của lôgarit, ta không có công thức nào tương tự như trên. Do đó, mệnh đề này sai. Vậy, mệnh đề đúng với mọi số dương x, y là: \[ A. \log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y \] Đáp án: A. $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ Câu 3: Để xác định hàm số nào trong các hàm số đã cho là nghịch biến trên tập hợp số thực R, chúng ta sẽ kiểm tra tính chất của mỗi hàm số. A. \( f(x) = 5^0 \) \( f(x) = 5^0 = 1 \) (hằng số). Hàm số này không tăng cũng không giảm, do đó không phải là hàm nghịch biến. B. \( f(x) = \left(\frac{3}{5}\right)^2 \) \( f(x) = \left(\frac{3}{5}\right)^2 = \frac{9}{25} \) (hằng số). Hàm số này không tăng cũng không giảm, do đó không phải là hàm nghịch biến. C. \( f(x) = \log_2 x \) Hàm số \( f(x) = \log_2 x \) là hàm số đồng biến trên tập hợp số thực dương (x > 0). Do đó, nó không phải là hàm nghịch biến trên R. D. \( f(x) = e^x \) Hàm số \( f(x) = e^x \) là hàm số đồng biến trên R. Do đó, nó không phải là hàm nghịch biến. Như vậy, không có hàm số nào trong các hàm số đã cho là nghịch biến trên R. Đáp án: Không có hàm số nào nghịch biến trên R. Câu 4: Để giải phương trình $2^{-4} = 8$, ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại phương trình với cùng cơ số: Ta nhận thấy rằng cả hai vế đều có thể viết dưới dạng lũy thừa của cơ số 2: \[ 2^{-4} = 8 \] Biểu thức $8$ có thể viết thành $2^3$: \[ 2^{-4} = 2^3 \] 2. So sánh các mũ số: Vì hai vế đều có cùng cơ số 2, nên ta có thể so sánh các mũ số: \[ -4 = 3 \] Điều này hiển nhiên là sai, do đó phương trình ban đầu không có nghiệm. Tuy nhiên, nếu ta kiểm tra lại đề bài, có thể thấy rằng đề bài đã đưa ra các lựa chọn nghiệm. Ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn để xem có thỏa mãn phương trình hay không. - Kiểm tra $x = 3$: \[ 2^{-4} = 8 \quad \text{(sai)} \] - Kiểm tra $x = 4$: \[ 2^{-4} = 8 \quad \text{(sai)} \] - Kiểm tra $x = 5$: \[ 2^{-4} = 8 \quad \text{(sai)} \] - Kiểm tra $x = 2$: \[ 2^{-4} = 8 \quad \text{(sai)} \] Như vậy, tất cả các lựa chọn đều không thỏa mãn phương trình $2^{-4} = 8$. Do đó, phương trình này không có nghiệm trong các lựa chọn đã cho. Đáp án: Phương trình không có nghiệm trong các lựa chọn đã cho. Câu 5: Trong không gian, hai đường thẳng a và b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng $90^0$. Lập luận từng bước: - Hai đường thẳng vuông góc với nhau có nghĩa là chúng tạo thành một góc vuông. - Một góc vuông có số đo là $90^0$. Do đó, đáp án đúng là: D. Góc giữa chúng bằng $90^0$. Câu 6: Trước tiên, chúng ta cần hiểu rõ về các khái niệm liên quan đến hình chiếu và khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng. - Hình chiếu của một điểm M trên một mặt phẳng (P) là điểm H sao cho đoạn thẳng MH vuông góc với mặt phẳng (P). - Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) là độ dài đoạn thẳng MH. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng nhận xét: A. \( d(M, (P)) = MH \) - Đây là đúng vì khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) chính là độ dài đoạn thẳng MH. B. \( MH = 80 \, cm \) - Đây là đúng vì độ cao của điểm M so với nền nhà là 80 cm, tức là đoạn thẳng MH có độ dài 80 cm. C. \( MH \bot (P) \) - Đây là đúng vì theo định nghĩa, đoạn thẳng MH vuông góc với mặt phẳng (P). D. \( MH // (P) \) - Đây là sai vì đoạn thẳng MH vuông góc với mặt phẳng (P), không thể song song với mặt phẳng (P). Vậy nhận xét sai là: \[ D. \, MH // (P) \] Đáp án: D. \( MH // (P) \) Câu 7: Thể tích của khối chóp S.ABC được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} \] Trong đó: - Diện tích đáy ABC là 10. - Chiều cao của khối chóp là 3. Áp dụng công thức trên, ta có: \[ V = \frac{1}{3} \times 10 \times 3 \] \[ V = \frac{1}{3} \times 30 \] \[ V = 10 \] Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là 10. Đáp án đúng là: C. 10. Câu 8: Đạo hàm của một hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$ được định nghĩa là giới hạn của tỉ số sai phân khi khoảng cách giữa hai điểm tiến đến 0. Cụ thể hơn, đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$ là: \[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \] Trong các đáp án đã cho, chúng ta thấy rằng: - Đáp án A: $\lim_{x \to 0} \frac{f(x) + f(x_0)}{x + x_1}$ là sai vì nó không đúng theo định nghĩa đạo hàm. - Đáp án B: $\lim_{x \to -\infty} \frac{f(x) - f(x_s)}{x - x}$ là sai vì nó không đúng theo định nghĩa đạo hàm và giới hạn tiến đến vô cùng âm không liên quan. - Đáp án C: $\frac{f(x) + f(x_0)}{x + x}$ là sai vì nó không đúng theo định nghĩa đạo hàm. - Đáp án D: $\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x}$ là sai vì nó không đúng theo định nghĩa đạo hàm và mẫu số bằng 0. Do đó, đáp án đúng là: \[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}} \] Câu 9: Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = 3\sin x - 5\cos x \), ta áp dụng công thức đạo hàm của các hàm lượng giác cơ bản. Công thức đạo hàm: - Đạo hàm của \( \sin x \) là \( \cos x \). - Đạo hàm của \( \cos x \) là \( -\sin x \). Áp dụng công thức đạo hàm trên vào hàm số \( y = 3\sin x - 5\cos x \): \[ y' = \frac{d}{dx}(3\sin x) - \frac{d}{dx}(5\cos x) \] Tính đạo hàm từng phần: \[ \frac{d}{dx}(3\sin x) = 3 \cdot \cos x = 3\cos x \] \[ \frac{d}{dx}(5\cos x) = 5 \cdot (-\sin x) = -5\sin x \] Vậy đạo hàm của hàm số \( y = 3\sin x - 5\cos x \) là: \[ y' = 3\cos x + 5\sin x \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~y' = 3\cos x + 5\sin x} \]