giải giúp mình nhaaaaaa

Câu 1: Để rút gọn biểu thức \( P = x^2 \sqrt{x} \) với \( x > 0 \), ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại căn thức dưới dạng lũy thừa: Ta biết rằng \(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\). Do đó, biểu thức \( P \) trở thành: \[ P = x^2 \cdot x^{\frac{1}{2}} \] 2. Áp dụng quy tắc nhân lũy thừa cùng cơ số: Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta cộng các số mũ lại với nhau. \[ P = x^{2 + \frac{1}{2}} \] 3. Tính tổng các số mũ: \[ 2 + \frac{1}{2} = \frac{4}{2} + \frac{1}{2} = \frac{5}{2} \] Vậy biểu thức \( P \) rút gọn thành: \[ P = x^{\frac{5}{2}} \] Do đó, đáp án đúng là: \[ D.~P = x^{\frac{5}{2}} \] Câu 2: Để xác định mệnh đề đúng với mọi số dương x, y, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề dựa trên các tính chất của hàm logarit. A. $\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y$ Theo tính chất của hàm logarit, ta có: \[ \log_a \left( \frac{x}{y} \right) = \log_a x - \log_a y \] Mệnh đề này đúng. B. $\log_x \frac{x}{y} = \log_x (x - y)$ Theo tính chất của hàm logarit, ta có: \[ \log_x \left( \frac{x}{y} \right) = \log_x x - \log_x y = 1 - \log_x y \] Mệnh đề này sai vì $\log_x \left( \frac{x}{y} \right) \neq \log_x (x - y)$. C. $\log_x \frac{x}{y} = \log_x x + \log_x y$ Theo tính chất của hàm logarit, ta có: \[ \log_x \left( \frac{x}{y} \right) = \log_x x - \log_x y = 1 - \log_x y \] Mệnh đề này sai vì $\log_x \left( \frac{x}{y} \right) \neq \log_x x + \log_x y$. D. $\log_a \frac{x}{y} = \frac{\log_a x}{\log_a y}$ Theo tính chất của hàm logarit, ta có: \[ \log_a \left( \frac{x}{y} \right) = \log_a x - \log_a y \] Mệnh đề này sai vì $\log_a \left( \frac{x}{y} \right) \neq \frac{\log_a x}{\log_a y}$. Kết luận: Mệnh đề đúng với mọi số dương x, y là: \[ A. \log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y \] Đáp án: A. Câu 3: Để xác định hàm số nào nghịch biến trên $\mathbb R$, chúng ta sẽ kiểm tra tính chất của mỗi hàm số đã cho. A. $f(x) = 5^x$ - Đây là hàm số mũ cơ số dương lớn hơn 1 ($5 > 1$). Hàm số mũ cơ số lớn hơn 1 là hàm số đồng biến trên $\mathbb R$. Do đó, $f(x) = 5^x$ là hàm số đồng biến. B. $f(x) = (\frac{3}{5})^x$ - Đây là hàm số mũ cơ số dương nhỏ hơn 1 ($0 < \frac{3}{5} < 1$). Hàm số mũ cơ số nhỏ hơn 1 là hàm số nghịch biến trên $\mathbb R$. Do đó, $f(x) = (\frac{3}{5})^x$ là hàm số nghịch biến. C. $f(x) = \log_2 x$ - Đây là hàm số logarit cơ số dương lớn hơn 1 ($2 > 1$). Hàm số logarit cơ số lớn hơn 1 là hàm số đồng biến trên miền xác định của nó (trong trường hợp này là $(0, +\infty)$). Do đó, $f(x) = \log_2 x$ là hàm số đồng biến trên $(0, +\infty)$. D. $f(x) = e^x$ - Đây là hàm số mũ cơ số dương lớn hơn 1 ($e > 1$). Hàm số mũ cơ số lớn hơn 1 là hàm số đồng biến trên $\mathbb R$. Do đó, $f(x) = e^x$ là hàm số đồng biến. Từ các phân tích trên, chỉ có hàm số $f(x) = (\frac{3}{5})^x$ là hàm số nghịch biến trên $\mathbb R$. Đáp án đúng là: B. $f(x) = (\frac{3}{5})^x$. Câu 4: Để giải phương trình $2^{i-1} = 8$, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Viết lại phương trình với cùng cơ số: Ta nhận thấy rằng $8$ có thể viết dưới dạng lũy thừa của $2$: \[ 8 = 2^3 \] Do đó, phương trình trở thành: \[ 2^{i-1} = 2^3 \] 2. So sánh các mũ số: Vì hai vế đều có cùng cơ số là $2$, nên ta có thể so sánh các mũ số: \[ i - 1 = 3 \] 3. Giải phương trình để tìm giá trị của \(i\): \[ i - 1 = 3 \\ i = 3 + 1 \\ i = 4 \] Vậy nghiệm của phương trình $2^{i-1} = 8$ là $i = 4$. Đáp án đúng là: $B.~x=4.$ Câu 5: Trong không gian, hai đường thẳng a và b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng $90^0$. Lập luận từng bước: - Hai đường thẳng vuông góc với nhau có nghĩa là chúng tạo thành một góc vuông. - Một góc vuông có số đo là $90^0$. Do đó, đáp án đúng là: D. Góc giữa chúng bằng $90^0$. Câu 6: Trước tiên, chúng ta cần hiểu rằng: - \( d(M; (P)) \) là khoảng cách từ điểm \( M \) đến mặt phẳng \( (P) \). - \( MH \) là đoạn thẳng nối điểm \( M \) với hình chiếu \( H \) của nó trên mặt phẳng \( (P) \). Theo đề bài: - Điểm \( M \) có độ cao so với nền nhà là 80 cm. - \( H \) là hình chiếu của \( M \) trên mặt phẳng \( (P) \). Nhận xét từng đáp án: \( A.~d(M; (P)) = MH \) Đúng vì khoảng cách từ điểm \( M \) đến mặt phẳng \( (P) \) chính là độ dài đoạn thẳng \( MH \). \( B.~MH = 80~cm \) Đúng vì độ cao của điểm \( M \) so với nền nhà là 80 cm, do đó đoạn thẳng \( MH \) cũng sẽ có độ dài là 80 cm. \( C.~MH \bot (P) \) Đúng vì theo định nghĩa, đoạn thẳng nối một điểm với hình chiếu của nó trên một mặt phẳng luôn vuông góc với mặt phẳng đó. \( D.~MH // (P) \) Sai vì đoạn thẳng \( MH \) vuông góc với mặt phẳng \( (P) \), không thể song song với nó. Vậy nhận xét sai là: \( D.~MH // (P) \) Câu 7: Thể tích của khối chóp S.ABC được tính theo công thức: \[ V = \frac{1}{3} \times \text{Diện tích đáy} \times \text{Chiều cao} \] Trong đó: - Diện tích đáy ABC là 10. - Chiều cao của khối chóp là 3. Áp dụng công thức trên, ta có: \[ V = \frac{1}{3} \times 10 \times 3 \] \[ V = \frac{1}{3} \times 30 \] \[ V = 10 \] Vậy thể tích của khối chóp S.ABC là 10. Đáp án đúng là: C. 10. Câu 8: Đạo hàm của một hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$ được định nghĩa là giới hạn của tỉ số sai phân khi khoảng cách giữa hai điểm trên đồ thị của hàm số tiến đến 0. Cụ thể hơn, đạo hàm của hàm số $y = f(x)$ tại điểm $x_0$ được tính theo công thức: \[ f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \] Trong các đáp án đã cho, ta thấy rằng: - Đáp án A: $\lim_{x \to x} \frac{f(x) + f(x_0)}{x + x_0}$ là sai vì nó không đúng với định nghĩa của đạo hàm. - Đáp án B: $\lim_{x \to x} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$ là đúng với định nghĩa của đạo hàm. - Đáp án C: $\frac{f(x) + f(x_0)}{x + x_0}$ là sai vì nó không đúng với định nghĩa của đạo hàm. - Đáp án D: $\frac{f(x) - f(x_6)}{x - x_8}$ là sai vì nó không đúng với định nghĩa của đạo hàm. Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~\lim_{x \to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}} \] Câu 9: Để tìm đạo hàm của hàm số \( y = 3\sin x - 5\cos x \), ta áp dụng công thức đạo hàm của các hàm lượng giác cơ bản. Công thức đạo hàm: - Đạo hàm của \( \sin x \) là \( \cos x \). - Đạo hàm của \( \cos x \) là \( -\sin x \). Áp dụng công thức đạo hàm trên vào hàm số \( y = 3\sin x - 5\cos x \): \[ y' = \frac{d}{dx}(3\sin x) - \frac{d}{dx}(5\cos x) \] Tính đạo hàm từng phần: \[ \frac{d}{dx}(3\sin x) = 3 \cdot \cos x = 3\cos x \] \[ \frac{d}{dx}(5\cos x) = 5 \cdot (-\sin x) = -5\sin x \] Vậy đạo hàm của hàm số \( y = 3\sin x - 5\cos x \) là: \[ y' = 3\cos x + 5\sin x \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{B.~y' = 3\cos x + 5\sin x} \]