gảiiiiiiii

Câu 2. Trước tiên, ta cần xác định các khoảng cách từ điểm O, D và CD đến mặt phẳng (SAB). Bước 1: Xác định khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) - Vì SO vuông góc với đáy ABCD, nên SO cũng vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong đáy ABCD, bao gồm AB. - Ta có thể tính diện tích tam giác SAB bằng hai cách: - Cách 1: Diện tích tam giác SAB = $\frac{1}{2} \times SA \times SB \times \sin(\widehat{ASB})$ - Cách 2: Diện tích tam giác SAB = $\frac{1}{2} \times AB \times x$ Do đó, ta có: \[ \frac{1}{2} \times SA \times SB \times \sin(\widehat{ASB}) = \frac{1}{2} \times AB \times x \] Biết rằng SO = $\frac{3a}{4}$ và SO vuông góc với đáy ABCD, ta có thể tính SA và SB bằng cách sử dụng Pythagoras: \[ SA = SB = \sqrt{SO^2 + OA^2} = \sqrt{\left(\frac{3a}{4}\right)^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{9a^2}{16} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{13a^2}{16}} = \frac{a\sqrt{13}}{4} \] Diện tích tam giác SAB: \[ \text{Diện tích } SAB = \frac{1}{2} \times AB \times x = \frac{1}{2} \times a \times x \] Ta cũng biết rằng: \[ \text{Diện tích } SAB = \frac{1}{2} \times SA \times SB \times \sin(\widehat{ASB}) = \frac{1}{2} \times \left(\frac{a\sqrt{13}}{4}\right) \times \left(\frac{a\sqrt{13}}{4}\right) \times \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \times \frac{13a^2}{16} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{13a^2 \sqrt{3}}{64} \] Do đó: \[ \frac{1}{2} \times a \times x = \frac{13a^2 \sqrt{3}}{64} \] \[ x = \frac{13a \sqrt{3}}{32} \] Bước 2: Xác định khoảng cách từ D đến mặt phẳng (SAB) - Vì D nằm trên đường thẳng vuông góc với đáy ABCD, ta có thể tính khoảng cách từ D đến (SAB) bằng cách sử dụng tính chất của hình chóp và hình thoi. - Ta có thể thấy rằng khoảng cách từ D đến (SAB) sẽ gấp đôi khoảng cách từ O đến (SAB): \[ y = 2x = 2 \times \frac{13a \sqrt{3}}{32} = \frac{13a \sqrt{3}}{16} \] Bước 3: Xác định khoảng cách từ CD đến SA - Vì CD song song với AB và SA vuông góc với đáy ABCD, ta có thể thấy rằng khoảng cách từ CD đến SA sẽ bằng khoảng cách từ D đến (SAB): \[ z = y = \frac{13a \sqrt{3}}{16} \] Bước 4: Kiểm tra các mệnh đề - Mệnh đề a) $x = \frac{3a}{4}$: Sai vì $x = \frac{13a \sqrt{3}}{32}$ - Mệnh đề b) $y = 2x$: Đúng vì $y = 2 \times \frac{13a \sqrt{3}}{32} = \frac{13a \sqrt{3}}{16}$ - Mệnh đề c) $y = z + x$: Đúng vì $y = \frac{13a \sqrt{3}}{16}$ và $z = \frac{13a \sqrt{3}}{16}$, do đó $y = z + x$ - Mệnh đề d) $x + y + z = \frac{15a}{8}$: Sai vì $x + y + z = \frac{13a \sqrt{3}}{32} + \frac{13a \sqrt{3}}{16} + \frac{13a \sqrt{3}}{16} = \frac{13a \sqrt{3}}{32} + \frac{26a \sqrt{3}}{32} = \frac{39a \sqrt{3}}{32}$ Kết luận: - Mệnh đề a) Sai - Mệnh đề b) Đúng - Mệnh đề c) Đúng - Mệnh đề d) Sai Câu 3. a) Đặt $t=3^x>0$, ta có phương trình $t^2-2t=0\Leftrightarrow t=0$ hoặc $t=2$. Do $t>0$ nên $t=2$. Suy ra $3^x=2\Leftrightarrow x=\log_32$. Vậy đường thẳng $y=0$ cắt đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ là $x=\log_32$. Mệnh đề đúng. b) Ta có $f(x)\geq-1\Leftrightarrow t^2-2t+1\geq0\Leftrightarrow (t-1)^2\geq0$. Biểu thức $(t-1)^2$ luôn luôn lớn hơn hoặc bằng 0 với mọi giá trị của $t$. Vậy bất phương trình $f(x)\geq-1$ có vô số nghiệm. Mệnh đề sai. c) Ta có $f(x)\geq0\Leftrightarrow t^2-2t\geq0\Leftrightarrow t(t-2)\geq0$. Xét bảng xét dấu: $t< 0$: Dấu âm $t=0$: Dấu bằng $0< t< 2$: Dấu âm $t=2$: Dấu bằng $t>2$: Dấu dương Vậy $t(t-2)\geq0$ khi $t\leq0$ hoặc $t\geq2$. Do $t>0$ nên $t\geq2$. Suy ra $3^x\geq2\Leftrightarrow x\geq\log_32$. Tập nghiệm của bất phương trình $f(x)\geq0$ là $[\log_32,+\infty)$. Mệnh đề sai. d) Đường thẳng $y=0$ cắt đồ thị hàm số (C) tại điểm có hoành độ là $x=\log_32$. Mệnh đề sai. Câu 4. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Bước 1: Xác định giới hạn của hàm số khi \( x \to 1 \) Ta có: \[ f(x) = \begin{cases} \frac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{khi } x \neq 1 \\ a & \text{khi } x = 1 \end{cases} \] Trước tiên, ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \to 1 \): \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \] Chúng ta nhận thấy rằng \( x^2 - 1 \) có thể được phân tích thành \( (x - 1)(x + 1) \). Do đó: \[ \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} = x + 1 \quad \text{khi } x \neq 1 \] Vậy: \[ \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2 \] Bước 2: Xác định giá trị của \( a \) để hàm số liên tục tại \( x = 1 \) Để hàm số \( f(x) \) liên tục tại \( x = 1 \), ta cần: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \] Từ bước 1, ta đã biết: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = 2 \] Do đó, để hàm số liên tục tại \( x = 1 \), ta cần: \[ f(1) = a = 2 \] Bước 3: Kiểm tra đạo hàm của hàm số tại \( x = 1 \) Đạo hàm của hàm số \( f(x) \) tại \( x = 1 \) tồn tại nếu: \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} \] Khi \( x \neq 1 \), ta có: \[ f(x) = x + 1 \] Do đó: \[ f(1 + h) = (1 + h) + 1 = 2 + h \] \[ f(1) = 2 \] Vậy: \[ \lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{(2 + h) - 2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h}{h} = \lim_{h \to 0} 1 = 1 \] Như vậy, đạo hàm của hàm số \( f(x) \) tại \( x = 1 \) tồn tại và bằng 1. Kết luận - Đáp án đúng là: c) Với \( a = 2 \) thì hàm số có đạo hàm tại \( x = 1 \) Đáp số: c) Với \( a = 2 \) thì hàm số có đạo hàm tại \( x = 1 \)