cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O;R ). Các đường cao AD, BF, CE của tam giác cắt nhau tại H
a) C/M rằng tứ giác AEHF nội tiếp 1 đường tròn
b) Gọi k là giao điểm của AD với (O;R) (K khác A), KE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai I, CI cắt EF tại N. C/M CE^2= CN*CI

Question

Mua hàng shopee · Accepted Answer

a) Chứng minh tứ giác $AEHF$ nội tiếp

Ta có:

$\widehat{AEH}=90^o$ (CE là đường cao)

$\widehat{AFH}=90^o$ (BF là đường cao)

Suy ra $\widehat{AEH} + \widehat{AFH} = 90^o + 90^o = 180^o$

Vậy tứ giác $AEHF$ nội tiếp.

b) Chứng minh $CE^2 = CN \cdot CI$

Xét $ riangle BCE$ vuông tại E, ta có:

$\widehat{EBC} = 90^o - \widehat{ECB}$

Ta có $\widehat{EBC} = \widehat{EKC}$ (cùng chắn cung EC)

Suy ra $\widehat{EKC} = 90^o - \widehat{ECB}$

Ta có $\widehat{AKE} + \widehat{EKC} = 180^o$ (kề bù)

Suy ra $\widehat{AKE} = 180^o - (90^o - \widehat{ECB}) = 90^o + \widehat{ECB}$

Mà $\widehat{AKE} + \widehat{AKI} = 180^o$ (kề bù)

Suy ra $\widehat{AKI} = 90^o - \widehat{ECB}$

Hay $\widehat{AKI} = \widehat{EBC}$

Xét $ riangle BCI$ và $ riangle BEC$, ta có:

$\widehat{EBC} = \widehat{AKI}$

$\widehat{ECB}$ chung

Suy ra $ riangle BCI \sim riangle BEC$ (g.g)

Suy ra $\dfrac{BC}{BE} = \dfrac{BI}{BC}$

Suy ra $BC^2 = BE \cdot BI$

Ta có tứ giác AEHF nội tiếp (cmt)

Suy ra $\widehat{HFE} = \widehat{HAE}$ (cùng chắn cung HE)

Mà $\widehat{HAE} = \widehat{BAC}$

Suy ra $\widehat{HFE} = \widehat{BAC}$

Ta có $\widehat{CEN} = \widehat{CEF} = \widehat{AEH}$

Ta có $\widehat{CNF} = 180^o - \widehat{HFE} - \widehat{CEF} = 180^o - \widehat{BAC} - 90^o = 90^o - \widehat{BAC}$

$\widehat{CEA} = 90^o$

Xét $ riangle CEN$ và $ riangle CEI$, ta có:

$\widehat{NCE} = \widehat{IEC}$

$\widehat{CEN} = \widehat{CIE}$

Suy ra $ riangle CEN \sim riangle CEI$ (g.g)

Suy ra $\dfrac{CE}{CI} = \dfrac{CN}{CE}$

Suy ra $CE^2 = CN \cdot CI$ (đpcm)

Timi · Answer

a) Ta có $\widehat{AEF}=\widehat{ABF}=90^\circ-\widehat{C}$ (góc nội tiếp chắn cung AF)
$\widehat{AHF}=90^\circ-\widehat{C}$ (góc ngoài tam giác EHF)
Vậy $\widehat{AEF}=\widehat{AHF}$ nên tứ giác AEHF nội tiếp.
b) Ta có $\widehat{CAE}=\widehat{CKI}$ (cùng chắn cung CE)
$\widehat{ACE}=\widehat{ICK}$ (góc nội tiếp chắn cung AK)
Vậy $	riangle CAE \sim 	riangle CKI$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{CE}{CI}=\frac{CA}{CK}$
Mặt khác ta có $\widehat{CAN}=\widehat{CIK}$ (chắn cung CK)
$\widehat{ACN}=\widehat{IKC}$ (góc nội tiếp chắn cung AK)
Vậy $	riangle CAN \sim 	riangle CIK$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{CN}{CI}=\frac{CA}{CK}$
Từ đó ta có $\frac{CE}{CI}=\frac{CN}{CI}$
$\Rightarrow CE^2=CN.CI$

cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn ( O;R ). Các đường cao AD, BF, CE của tam giác cắt nhau tại H a) C/M rằng tứ giác AEHF nội tiếp 1 đường tròn b) Gọi k là giao điểm của AD với (O;R) (K khác A), KE c...