Nnmmz giảiiiii Câu 2. Cho hàm số $f(x)=\frac{x-1}{x+1}$ có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với,đường thẳng $\Delta:y=-\frac12x+3$ có dạng $y=ax+b.$ Tính $T=a^2.b.$ Biết tọa độ tiếp điểm có hoành độ âm., Lời giải,

Question

Nnmmz giảiiiii > Câu 2. Cho hàm số $f(x)=\frac{x-1}{x+1}$ có đồ thị (C). Phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với,đường thẳng $\Delta:y=-\frac12x+3$ có dạng $y=ax+b.$ Tính $T=a^2.b.$ Biết tọa độ tiếp điểm có hoành độ âm.,>  Lời giải,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/5418d722fe11458a990a315df3d1305e.jpg />

Mua hàng shopee · Accepted Answer

Gọi $M(x_0; y_0)$ là tiếp điểm.

Ta có $f'(x) = \frac{2}{(x+1)^2}$.

Vì tiếp tuyến vuông góc với $\Delta: y = -\frac{1}{2}x + 3$ nên $f'(x_0).(-\frac{1}{2}) = -1 \Leftrightarrow f'(x_0) = 2$.

$\Leftrightarrow \frac{2}{(x_0+1)^2} = 2 \Leftrightarrow (x_0+1)^2 = 1 \Leftrightarrow x_0 + 1 = \pm 1 \Leftrightarrow \left[

\begin{array}{l}

x_0 = 0 \

x_0 = -2

\end{array}

ight.$.

Vì tọa độ tiếp điểm có hoành độ âm nên $x_0 = -2$.

$y_0 = f(-2) = \frac{-2-1}{-2+1} = 3$.

Vậy $M(-2;3)$.

Phương trình tiếp tuyến tại $M(-2;3)$ là:

$y - 3 = 2(x+2) \Leftrightarrow y = 2x+7$.

Vậy $a = 2$, $b = 7$.

$T = a^2.b = 2^2.7 = 28$.

Timi · Answer

Câu 2.
Đường thẳng $\Delta: y = -\frac{1}{2}x + 3$ có hệ số góc là $-\frac{1}{2}$.

Phương trình tiếp tuyến với (C) vuông góc với đường thẳng $\Delta$ sẽ có hệ số góc là $2$ (vì tích của hai hệ số góc vuông góc bằng $-1$).

Ta có $f&#x27;(x) = \frac{(x+1)-(x-1)}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.

Để tìm điểm tiếp xúc, ta giải phương trình $f&#x27;(x) = 2$, tức là $\frac{2}{(x+1)^2} = 2$. Điều này dẫn đến $(x+1)^2 = 1$, suy ra $x = 0$ hoặc $x = -2$.

Vì tọa độ tiếp điểm có hoành độ âm, ta chọn $x = -2$. Thay vào $f(x)$ để tìm tung độ tiếp điểm:
$$ f(-2) = \frac{-2-1}{-2+1} = \frac{-3}{-1} = 3. $$

Vậy tọa độ tiếp điểm là $(-2, 3)$.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(-2, 3)$ với hệ số góc $2$ là:
$$ y - 3 = 2(x + 2) $$
$$ y = 2x + 7. $$

Do đó, $a = 2$ và $b = 7$. Ta tính $T = a^2 \cdot b$:
$$ T = 2^2 \cdot 7 = 4 \cdot 7 = 28. $$

Đáp số: $T = 28$.