Trả lời ngắn gọn 2 câu này sau

Câu 1: Để tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD trong hình chóp S.ABCD, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và vectơ: - Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. - Ta có OA = OB = OC = OD = $\frac{AC}{2} = \sqrt{2}$. - Gọi H là hình chiếu của O lên SD. 2. Tính khoảng cách từ O đến SD: - Ta có SO = $\sqrt{SA^2 - OA^2} = \sqrt{3^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{9 - 2} = \sqrt{7}$. - Diện tích tam giác SOD là: \[ S_{SOD} = \frac{1}{2} \times SO \times OD = \frac{1}{2} \times \sqrt{7} \times \sqrt{2} = \frac{\sqrt{14}}{2} \] - Diện tích tam giác SOD cũng có thể tính qua SD và OH: \[ S_{SOD} = \frac{1}{2} \times SD \times OH \] - Ta biết SD = 3, vậy: \[ \frac{\sqrt{14}}{2} = \frac{1}{2} \times 3 \times OH \implies OH = \frac{\sqrt{14}}{3} \] 3. Khoảng cách giữa AB và SD: - Vì AB song song với CD và CD nằm trong mặt phẳng (SCD), nên khoảng cách giữa AB và SD chính là khoảng cách từ O đến SD. - Vậy khoảng cách giữa AB và SD là: \[ d(AB, SD) = OH = \frac{\sqrt{14}}{3} \approx 1.25 \] Đáp số: Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD là 1.25. Câu 2: Trước tiên, ta xác định các điểm và đoạn thẳng liên quan trong hình chóp S.ABCD. - Đáy ABCD là hình vuông cạnh \(a\sqrt{2}\). - \(SA = a\) và \(SC = a\sqrt{3}\). - M là trung điểm của AD, N là trung điểm của SD. Ta sẽ tìm góc giữa hai đường thẳng MN và SC. Bước 1: Xác định tọa độ các đỉnh của hình chóp S.ABCD. - Gọi A(0, 0, 0), B(\(a\sqrt{2}\), 0, 0), C(\(a\sqrt{2}\), \(a\sqrt{2}\), 0), D(0, \(a\sqrt{2}\), 0). - Vì SA = a và SC = \(a\sqrt{3}\), ta có thể xác định tọa độ của S. Giả sử S có tọa độ (x, y, z). Bước 2: Xác định tọa độ của S. - Ta có \(SA^2 = x^2 + y^2 + z^2 = a^2\). - Ta có \(SC^2 = (x - a\sqrt{2})^2 + (y - a\sqrt{2})^2 + z^2 = 3a^2\). Giải hệ phương trình này để tìm tọa độ của S: \[ x^2 + y^2 + z^2 = a^2 \] \[ (x - a\sqrt{2})^2 + (y - a\sqrt{2})^2 + z^2 = 3a^2 \] Bước 3: Xác định tọa độ của M và N. - M là trung điểm của AD, nên M có tọa độ \((0, \frac{a\sqrt{2}}{2}, 0)\). - N là trung điểm của SD, nên N có tọa độ \((\frac{x}{2}, \frac{y + a\sqrt{2}}{2}, \frac{z}{2})\). Bước 4: Tìm vectơ MN và SC. - Vectơ MN = N - M = \((\frac{x}{2} - 0, \frac{y + a\sqrt{2}}{2} - \frac{a\sqrt{2}}{2}, \frac{z}{2} - 0)\) = \((\frac{x}{2}, \frac{y}{2}, \frac{z}{2})\). - Vectơ SC = C - S = \((a\sqrt{2} - x, a\sqrt{2} - y, -z)\). Bước 5: Tính góc giữa hai vectơ MN và SC. - Ta sử dụng công thức cosin của góc giữa hai vectơ: \[ \cos \theta = \frac{\vec{MN} \cdot \vec{SC}}{|\vec{MN}| |\vec{SC}|} \] Tính tích vô hướng \(\vec{MN} \cdot \vec{SC}\): \[ \vec{MN} \cdot \vec{SC} = \left(\frac{x}{2}\right)(a\sqrt{2} - x) + \left(\frac{y}{2}\right)(a\sqrt{2} - y) + \left(\frac{z}{2}\right)(-z) \] Tính độ dài của các vectơ: \[ |\vec{MN}| = \sqrt{\left(\frac{x}{2}\right)^2 + \left(\frac{y}{2}\right)^2 + \left(\frac{z}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \frac{a}{2} \] \[ |\vec{SC}| = \sqrt{(a\sqrt{2} - x)^2 + (a\sqrt{2} - y)^2 + (-z)^2} = a\sqrt{3} \] Sau khi thay các giá trị vào công thức, ta tính được góc \(\theta\). Cuối cùng, ta kết luận góc giữa hai đường thẳng MN và SC.