hộ tyuiiii đúng sai vs aaaa

Câu 51. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định các biến cố và xác suất liên quan. 1. Xác định các biến cố: - Biến cố \( A \): Học sinh được chọn giỏi Ngoại ngữ. - Biến cố \( B \): Học sinh được chọn giỏi Tin học. - Biến cố \( C \): Học sinh được chọn được nhận thưởng (giỏi ít nhất một trong hai môn). 2. Xác định số lượng học sinh trong mỗi biến cố: - Số học sinh giỏi Ngoại ngữ: 40 học sinh. - Số học sinh giỏi Tin học: 30 học sinh. - Số học sinh giỏi cả Ngoại ngữ và Tin học: 20 học sinh. 3. Tính số học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn: - Số học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn = Số học sinh giỏi Ngoại ngữ + Số học sinh giỏi Tin học - Số học sinh giỏi cả hai môn. - Số học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn = 40 + 30 - 20 = 50 học sinh. 4. Xác định các xác suất: - Xác suất của biến cố \( A \): \( P(A) = \frac{40}{100} = \frac{2}{5} \). - Xác suất của biến cố \( B \): \( P(B) = \frac{30}{100} = \frac{3}{10} \). - Xác suất của biến cố \( C \): \( P(C) = \frac{50}{100} = \frac{1}{2} \). 5. Kiểm tra các lựa chọn: - \( A.~C = A \cup B \): Đúng vì biến cố \( C \) bao gồm tất cả học sinh giỏi ít nhất một trong hai môn, tức là \( A \cup B \). - \( B.~P(C) = P(A) + P(B) \): Sai vì \( P(C) \neq P(A) + P(B) \). Thực tế, \( P(C) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \). - \( C.~P(A) = \frac{2}{5}; P(B) = \frac{3}{10} \): Đúng vì đã tính toán ở trên. - \( D.~P(C) = \frac{1}{2} \): Đúng vì đã tính toán ở trên. Do đó, các lựa chọn đúng là: - \( A.~C = A \cup B \) - \( C.~P(A) = \frac{2}{5}; P(B) = \frac{3}{10} \) - \( D.~P(C) = \frac{1}{2} \) Đáp án: \( A, C, D \). Câu 52. A. Phương trình vận tốc của vật là $v(t) = -3t^2 + 12t + 15$ (tính theo đơn vị m/s). B. Vật dừng lại khi vận tốc của nó bằng 0: \[ -3t^2 + 12t + 15 = 0 \] Chia cả hai vế cho -3: \[ t^2 - 4t - 5 = 0 \] Phương trình này có dạng \(at^2 + bt + c = 0\), ta sử dụng công thức nghiệm: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Ở đây, \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = -5\): \[ t = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5)}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ t_1 = \frac{4 + 6}{2} = 5 \quad \text{và} \quad t_2 = \frac{4 - 6}{2} = -1 \] Vì thời gian không thể âm, nên ta loại nghiệm \(t_2 = -1\). Vậy vật dừng lại sau khoảng thời gian \(t = 5\) giây. C. Vận tốc lớn nhất mà vật đạt được trong quá trình chuyển động: Phương trình vận tốc là \(v(t) = -3t^2 + 12t + 15\). Để tìm giá trị lớn nhất của \(v(t)\), ta tìm đạo hàm của \(v(t)\) và đặt nó bằng 0: \[ v'(t) = -6t + 12 \] \[ -6t + 12 = 0 \implies t = 2 \] Thay \(t = 2\) vào phương trình vận tốc: \[ v(2) = -3(2)^2 + 12(2) + 15 = -12 + 24 + 15 = 27 \text{ (m/s)} \] Vậy vận tốc lớn nhất mà vật đạt được là 27 m/s. D. Quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến lúc đạt vận tốc lớn nhất: Thời điểm vật đạt vận tốc lớn nhất là \(t = 2\) giây. Ta thay \(t = 2\) vào phương trình quãng đường: \[ s(2) = -(2)^3 + 6(2)^2 + 15(2) = -8 + 24 + 30 = 46 \text{ (m)} \] Tóm lại: A. Phương trình vận tốc của vật là \(v(t) = -3t^2 + 12t + 15\) (m/s). B. Vật dừng lại sau khoảng thời gian \(t = 5\) giây. C. Vận tốc lớn nhất mà vật đạt được trong quá trình chuyển động là 27 m/s. D. Quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến lúc đạt vận tốc lớn nhất là 46 m. Câu 53. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn một để xác định câu trả lời đúng. A. \( BC \perp (SCD) \) - \( BC \) nằm trong mặt phẳng \( ABCD \). - \( SA \perp (ABCD) \), do đó \( SA \perp BC \). - \( CD \perp BC \) vì \( ABCD \) là hình vuông. - Do đó, \( BC \) vuông góc với cả \( SA \) và \( CD \). Điều này chứng tỏ \( BC \perp (SCD) \). B. Khoảng cách từ \( A \) đến \( (SBC) \) bằng \( \frac{2\sqrt{6}a}{3} \) - Ta cần tính khoảng cách từ điểm \( A \) đến mặt phẳng \( (SBC) \). - Diện tích \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times BC = \frac{1}{2} \times 2a \times 2a = 2a^2 \). - Diện tích \( S_{SBC} = \frac{1}{2} \times BC \times SA = \frac{1}{2} \times 2a \times 2\sqrt{2}a = 2\sqrt{2}a^2 \). - Thể tích \( V_{SABC} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times SA = \frac{1}{3} \times 2a^2 \times 2\sqrt{2}a = \frac{4\sqrt{2}a^3}{3} \). - Khoảng cách từ \( A \) đến \( (SBC) \) là \( d = \frac{3V_{SABC}}{S_{SBC}} = \frac{3 \times \frac{4\sqrt{2}a^3}{3}}{2\sqrt{2}a^2} = \frac{4\sqrt{2}a^3}{2\sqrt{2}a^2} = 2a \). C. Góc nhị diện \( (S;BC;A) \) bằng \( 60^\circ \) - Góc giữa hai mặt phẳng \( (SBC) \) và \( (ABC) \) là góc giữa hai đường thẳng \( SB \) và \( AB \). - \( SB = \sqrt{SA^2 + AB^2} = \sqrt{(2\sqrt{2}a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{8a^2 + 4a^2} = \sqrt{12a^2} = 2\sqrt{3}a \). - \( \cos(\angle SBA) = \frac{AB}{SB} = \frac{2a}{2\sqrt{3}a} = \frac{1}{\sqrt{3}} \). - \( \angle SBA = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \neq 60^\circ \). D. Góc của \( SD \) và \( (ABCD) \) là \( \angle SDA \) - \( SD = \sqrt{SA^2 + AD^2} = \sqrt{(2\sqrt{2}a)^2 + (2a)^2} = \sqrt{8a^2 + 4a^2} = \sqrt{12a^2} = 2\sqrt{3}a \). - \( \cos(\angle SDA) = \frac{AD}{SD} = \frac{2a}{2\sqrt{3}a} = \frac{1}{\sqrt{3}} \). - \( \angle SDA = \cos^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \). Từ các lập luận trên, ta thấy rằng: - Lựa chọn A đúng vì \( BC \perp (SCD) \). - Lựa chọn B sai vì khoảng cách từ \( A \) đến \( (SBC) \) không phải là \( \frac{2\sqrt{6}a}{3} \). - Lựa chọn C sai vì góc nhị diện \( (S;BC;A) \) không phải là \( 60^\circ \). - Lựa chọn D đúng vì góc của \( SD \) và \( (ABCD) \) là \( \angle SDA \). Do đó, câu trả lời đúng là: \[ \boxed{A} \] Câu 54. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: Ta có hàm số \( y = f(x) = \cos x + \sin 2x + 3 \). Đạo hàm của \( \cos x \) là \( -\sin x \). Đạo hàm của \( \sin 2x \) là \( 2 \cos 2x \). Do đó, đạo hàm của \( f(x) \) là: \[ f'(x) = -\sin x + 2 \cos 2x \] 2. Tìm điểm cực trị: Để tìm điểm cực trị, ta giải phương trình \( f'(x) = 0 \): \[ -\sin x + 2 \cos 2x = 0 \] Ta biết rằng \( \cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x \), do đó thay vào ta có: \[ -\sin x + 2(1 - 2 \sin^2 x) = 0 \] \[ -\sin x + 2 - 4 \sin^2 x = 0 \] \[ 4 \sin^2 x + \sin x - 2 = 0 \] Đây là phương trình bậc hai đối với \( \sin x \). Gọi \( t = \sin x \), ta có: \[ 4t^2 + t - 2 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ t = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 32}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{33}}{8} \] Vậy \( \sin x = \frac{-1 + \sqrt{33}}{8} \) hoặc \( \sin x = \frac{-1 - \sqrt{33}}{8} \). Ta loại \( \sin x = \frac{-1 - \sqrt{33}}{8} \) vì \( \sin x \) phải nằm trong khoảng \([-1, 1]\). Do đó, \( \sin x = \frac{-1 + \sqrt{33}}{8} \). 3. Xác định dấu của đạo hàm: Để xác định dấu của đạo hàm \( f'(x) \), ta xét các khoảng giữa các nghiệm của phương trình \( f'(x) = 0 \). Ta thấy rằng \( f'(x) \) đổi dấu từ âm sang dương tại \( x \) sao cho \( \sin x = \frac{-1 + \sqrt{33}}{8} \). 4. Tìm giá trị cực đại và cực tiểu: - Khi \( \sin x = \frac{-1 + \sqrt{33}}{8} \), ta có: \[ \cos x = \sqrt{1 - \left(\frac{-1 + \sqrt{33}}{8}\right)^2} \] \[ \cos x = \sqrt{1 - \frac{(-1 + \sqrt{33})^2}{64}} \] \[ \cos x = \sqrt{\frac{64 - (1 - 2\sqrt{33} + 33)}{64}} \] \[ \cos x = \sqrt{\frac{30 + 2\sqrt{33}}{64}} \] \[ \cos x = \frac{\sqrt{30 + 2\sqrt{33}}}{8} \] Thay vào \( f(x) \): \[ f(x) = \frac{\sqrt{30 + 2\sqrt{33}}}{8} + \sin 2x + 3 \] \[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x = 2 \cdot \frac{-1 + \sqrt{33}}{8} \cdot \frac{\sqrt{30 + 2\sqrt{33}}}{8} \] \[ \sin 2x = \frac{(-1 + \sqrt{33}) \sqrt{30 + 2\sqrt{33}}}{32} \] Do đó: \[ f(x) = \frac{\sqrt{30 + 2\sqrt{33}}}{8} + \frac{(-1 + \sqrt{33}) \sqrt{30 + 2\sqrt{33}}}{32} + 3 \] Tương tự, ta cũng có thể tính giá trị cực tiểu tương ứng. Kết luận: - Hàm số \( y = \cos x + \sin 2x + 3 \) có giá trị cực đại và cực tiểu tại các điểm \( x \) sao cho \( \sin x = \frac{-1 + \sqrt{33}}{8} \) và \( \sin x = \frac{-1 - \sqrt{33}}{8} \) (loại). Do đó, giá trị cực đại của hàm số là: \[ f(x) = \frac{\sqrt{30 + 2\sqrt{33}}}{8} + \frac{(-1 + \sqrt{33}) \sqrt{30 + 2\sqrt{33}}}{32} + 3 \] Giá trị cực tiểu của hàm số là: \[ f(x) = \frac{\sqrt{30 - 2\sqrt{33}}}{8} + \frac{(-1 - \sqrt{33}) \sqrt{30 - 2\sqrt{33}}}{32} + 3 \]