trả lời câu hỏi

Câu 11. Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=\frac{2x+3}{x-1}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giới hạn của hàm số khi \( x \to \infty \) và \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 3}{x - 1} \] Ta chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 3}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}} \] Khi \( x \to \infty \), các phân số $\frac{3}{x}$ và $\frac{1}{x}$ sẽ tiến đến 0: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2 \] Tương tự, ta cũng có: \[ \lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 3}{x - 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2 \] 2. Kết luận: Vì giới hạn của hàm số khi \( x \to \infty \) và \( x \to -\infty \) đều bằng 2, nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \( y = 2 \). Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~y=2. \] Câu 12. Để xác định khoảng đồng biến của hàm số \( y = \frac{x}{x^2 + 1} \), ta sẽ tính đạo hàm của hàm số này và tìm các điểm mà đạo hàm dương. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \( y = \frac{x}{x^2 + 1} \). Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \left( \frac{x}{x^2 + 1} \right)' = \frac{(x)'(x^2 + 1) - x(x^2 + 1)'}{(x^2 + 1)^2} \] Tính đạo hàm từng thành phần: \[ (x)' = 1 \] \[ (x^2 + 1)' = 2x \] Thay vào công thức: \[ y' = \frac{1 \cdot (x^2 + 1) - x \cdot 2x}{(x^2 + 1)^2} = \frac{x^2 + 1 - 2x^2}{(x^2 + 1)^2} = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} \] Bước 2: Xác định dấu của đạo hàm \( y' \). Ta có: \[ y' = \frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2} \] Phân tử của đạo hàm là \( 1 - x^2 \). Ta xét dấu của \( 1 - x^2 \): - \( 1 - x^2 > 0 \) khi \( x^2 < 1 \), tức là \( -1 < x < 1 \) - \( 1 - x^2 < 0 \) khi \( x^2 > 1 \), tức là \( x < -1 \) hoặc \( x > 1 \) Mẫu số \( (x^2 + 1)^2 \) luôn dương vì \( x^2 + 1 > 0 \) với mọi \( x \). Do đó, đạo hàm \( y' \) dương khi \( -1 < x < 1 \) và âm khi \( x < -1 \) hoặc \( x > 1 \). Bước 3: Kết luận khoảng đồng biến của hàm số. Hàm số \( y = \frac{x}{x^2 + 1} \) đồng biến trên khoảng \( (-1, 1) \). Vậy đáp án đúng là: \[ C.~(-1;1) \] Câu 13. Để tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y = \frac{2x + 3}{x - 1}$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm giới hạn của hàm số khi \( x \to \infty \) và \( x \to -\infty \): Ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \) tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \infty} y = \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 3}{x - 1} \] Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2x + 3}{x - 1} = \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}} \] Khi \( x \to \infty \), các phân số \(\frac{3}{x}\) và \(\frac{1}{x}\) sẽ tiến đến 0: \[ \lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2 \] Tương tự, ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \to -\infty \): \[ \lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 3}{x - 1} \] Chia cả tử và mẫu cho \( x \): \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{2x + 3}{x - 1} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}} \] Khi \( x \to -\infty \), các phân số \(\frac{3}{x}\) và \(\frac{1}{x}\) cũng tiến đến 0: \[ \lim_{x \to -\infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1 - \frac{1}{x}} = \frac{2 + 0}{1 - 0} = 2 \] 2. Kết luận: Vì giới hạn của hàm số khi \( x \to \infty \) và \( x \to -\infty \) đều bằng 2, nên tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là \( y = 2 \). Do đó, đáp án đúng là: \[ B.~y = 2. \] Câu 14. Để xác định đường cong cho trong hình là đồ thị của hàm số nào, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho để xem nó có thỏa mãn các đặc điểm của đồ thị không. 1. Kiểm tra các giá trị đặc biệt: - Đồ thị đi qua điểm (0,1). Do đó, hàm số phải có giá trị y = 1 khi x = 0. - Kiểm tra từng hàm số: - \( A.~y=-x^3+2x-1 \) \[ y(0) = -(0)^3 + 2(0) - 1 = -1 \quad (\text{không thỏa mãn}) \] - \( B.~y=-x^3+3x+1 \) \[ y(0) = -(0)^3 + 3(0) + 1 = 1 \quad (\text{thỏa mãn}) \] - \( C.~y=2x^2-6x+1 \) \[ y(0) = 2(0)^2 - 6(0) + 1 = 1 \quad (\text{thỏa mãn}) \] - \( D.~y=x^3-3x+1 \) \[ y(0) = (0)^3 - 3(0) + 1 = 1 \quad (\text{thỏa mãn}) \] 2. Kiểm tra các điểm cực trị: - Đồ thị có hai điểm cực trị: một điểm cực đại và một điểm cực tiểu. - Ta sẽ tính đạo hàm của từng hàm số để tìm các điểm cực trị: - \( B.~y=-x^3+3x+1 \) \[ y' = -3x^2 + 3 \] Đặt \( y' = 0 \): \[ -3x^2 + 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = -(1)^3 + 3(1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 \] - Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \] Đồ thị có điểm cực đại tại \( (1, 3) \) và điểm cực tiểu tại \( (-1, -1) \). - \( C.~y=2x^2-6x+1 \) \[ y' = 4x - 6 \] Đặt \( y' = 0 \): \[ 4x - 6 = 0 \implies x = \frac{3}{2} \] - Tại \( x = \frac{3}{2} \): \[ y\left(\frac{3}{2}\right) = 2\left(\frac{3}{2}\right)^2 - 6\left(\frac{3}{2}\right) + 1 = 2 \cdot \frac{9}{4} - 9 + 1 = \frac{9}{2} - 9 + 1 = -\frac{5}{2} \] Đồ thị có điểm cực tiểu tại \( \left(\frac{3}{2}, -\frac{5}{2}\right) \). - \( D.~y=x^3-3x+1 \) \[ y' = 3x^2 - 3 \] Đặt \( y' = 0 \): \[ 3x^2 - 3 = 0 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1 \] - Tại \( x = 1 \): \[ y(1) = (1)^3 - 3(1) + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 \] - Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^3 - 3(-1) + 1 = -1 + 3 + 1 = 3 \] Đồ thị có điểm cực đại tại \( (-1, 3) \) và điểm cực tiểu tại \( (1, -1) \). 3. So sánh với đồ thị: - Đồ thị cho trong hình có điểm cực đại tại \( (-1, 3) \) và điểm cực tiểu tại \( (1, -1) \). - Chỉ có hàm số \( D.~y=x^3-3x+1 \) thỏa mãn các điều kiện này. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{D.~y=x^3-3x+1} \] Câu 15. Để xác định đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào, chúng ta sẽ kiểm tra từng hàm số đã cho. 1. Kiểm tra tính chất của các hàm số: - Hàm số \( y = \frac{2x-1}{x-1} \) có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \) và tiệm cận ngang tại \( y = 2 \). - Hàm số \( y = \frac{x+1}{x-1} \) có tiệm cận đứng tại \( x = 1 \) và tiệm cận ngang tại \( y = 1 \). - Hàm số \( y = x^3 + x^2 + 1 \) là hàm đa thức bậc 3, không có tiệm cận đứng hoặc ngang. - Hàm số \( y = x^3 - 3x - 1 \) cũng là hàm đa thức bậc 3, không có tiệm cận đứng hoặc ngang. 2. Kiểm tra điểm đặc biệt trên đồ thị: - Đồ thị đi qua điểm \( (0, -1) \). Chúng ta sẽ thay \( x = 0 \) vào từng hàm số để kiểm tra: - \( y = \frac{2(0)-1}{0-1} = \frac{-1}{-1} = 1 \) - \( y = \frac{0+1}{0-1} = \frac{1}{-1} = -1 \) - \( y = 0^3 + 0^2 + 1 = 1 \) - \( y = 0^3 - 3(0) - 1 = -1 \) Như vậy, chỉ có hai hàm số \( y = \frac{x+1}{x-1} \) và \( y = x^3 - 3x - 1 \) thỏa mãn điều kiện này. 3. Kiểm tra hành vi của hàm số khi \( x \to \pm \infty \): - Hàm số \( y = \frac{x+1}{x-1} \) khi \( x \to \pm \infty \), \( y \to 1 \). - Hàm số \( y = x^3 - 3x - 1 \) khi \( x \to \pm \infty \), \( y \to \pm \infty \). Như vậy, chỉ có hàm số \( y = x^3 - 3x - 1 \) có hành vi đúng khi \( x \to \pm \infty \). Kết luận: Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số \( y = x^3 - 3x - 1 \). Đáp án đúng là: \( D.~y=x^3-3x-1 \).