Câu 15: (2,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A có ABC = 60°. Trên cạnh BC lấy điểm M sao cho CAM = 30°. a) Tính ACB và chứng minh AMAC cân tại M. b) Chứng minh ABAM là tam giác đều. c) Chứng minh đ...

Câu 15: a) Ta có ACB = 90° - ABC = 90° - 60° = 30° Mà CAM = 30° nên MAC = 180° - (CAM + ACB) = 180° - (30° + 30°) = 120° Vì MAC = 120° nên AMAC là tam giác cân tại M. b) Ta có BAM = ABC - MAC = 60° - 30° = 30° Mà MAC = 120° nên BAM = 180° - (MAC + BAM) = 180° - (120° + 30°) = 30° Vì BAM = BAM = 30° nên ABAM là tam giác đều. c) Vì ABAM là tam giác đều nên AB = AM Mà AMAC là tam giác cân tại M nên AM = MC Từ đó ta có AB = MC Ta có ABM = 60° - BAM = 60° - 30° = 30° Mà ACB = 30° nên ABM = ACB Vậy tam giác ABM và tam giác ACM có: AB = MC ABM = ACB BA = CA Nên tam giác ABM và tam giác ACM bằng nhau (cạnh - góc - cạnh) Do đó BM = CM (hai cạnh tương ứng) Vậy M là trung điểm của đoạn thẳng BC.