Ncncncmcmcmcm

Câu 9: Để kiểm tra từng phát biểu, ta sẽ sử dụng tính chất của trọng tâm và trung điểm trong hình học. A. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}$ - Trọng tâm G của tam giác BCD chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1 từ đỉnh đến trọng tâm. - Do đó, $\overrightarrow{AG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD})$. - Nhân cả hai vế với 3 ta có: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD} = 3\overrightarrow{AG}$. - Phát biểu này đúng. B. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AM}$ - M là trung điểm của BC, do đó $\overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$. - Nhân cả hai vế với 2 ta có: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AM}$. - Phát biểu này đúng. C. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AN} = 3\overrightarrow{AG}$ - N là trung điểm của CD, do đó $\overrightarrow{AN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD})$. - Thay vào ta có: $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) = 3\overrightarrow{AG}$. - Điều này không đúng vì $\overrightarrow{AN}$ không phải là một phần của tổng $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}$. - Phát biểu này sai. D. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = 2\overrightarrow{AN}$ - N là trung điểm của CD, do đó $\overrightarrow{AN} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD})$. - Điều này không đúng vì $\overrightarrow{AN}$ liên quan đến $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AD}$, không liên quan trực tiếp đến $\overrightarrow{AB}$. - Phát biểu này sai. Như vậy, phát biểu sai là: C. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AN} = 3\overrightarrow{AG}$. Câu 10: Để tìm phương trình mặt cầu đường kính AB, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB: - Tọa độ của A là $(0, 4, 1)$. - Tọa độ của B là $(-2, 0, 3)$. - Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng AB là: \[ M = \left( \frac{0 + (-2)}{2}, \frac{4 + 0}{2}, \frac{1 + 3}{2} \right) = \left( -1, 2, 2 \right) \] 2. Tính bán kính của mặt cầu: - Bán kính R của mặt cầu là khoảng cách từ trung điểm M đến một trong hai điểm A hoặc B. - Ta tính khoảng cách từ M đến A: \[ R = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (4 - 2)^2 + (1 - 2)^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \] 3. Viết phương trình mặt cầu: - Phương trình mặt cầu có tâm tại M và bán kính R là: \[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = (\sqrt{6})^2 \] \[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = 6 \] Vậy phương trình mặt cầu đường kính AB là: \[ (x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = 6 \] Đáp án đúng là: D.~(x + 1)^2 + (y - 2)^2 + (z - 2)^2 = 6. Câu 11: Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua điểm \( A(1;1;0) \) và vuông góc với đường thẳng \(\frac{x-1}{2} = \frac{y}{3} = \frac{z+2}{-5}\), ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: - Đường thẳng đã cho có phương hướng được xác định bởi vectơ \(\vec{d} = (2, 3, -5)\). - Mặt phẳng vuông góc với đường thẳng này, do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng cũng là \(\vec{n} = (2, 3, -5)\). 2. Viết phương trình mặt phẳng: - Phương trình mặt phẳng có dạng \( ax + by + cz + d = 0 \), trong đó \((a, b, c)\) là vectơ pháp tuyến và \(d\) là hằng số. - Thay \((a, b, c) = (2, 3, -5)\) vào phương trình, ta có: \[ 2x + 3y - 5z + d = 0 \] 3. Xác định hằng số \(d\): - Mặt phẳng đi qua điểm \(A(1;1;0)\). Thay tọa độ của điểm \(A\) vào phương trình mặt phẳng để tìm \(d\): \[ 2(1) + 3(1) - 5(0) + d = 0 \] \[ 2 + 3 + d = 0 \] \[ 5 + d = 0 \] \[ d = -5 \] 4. Viết phương trình cuối cùng của mặt phẳng: - Thay \(d = -5\) vào phương trình mặt phẳng, ta có: \[ 2x + 3y - 5z - 5 = 0 \] Do đó, phương trình mặt phẳng là: \[ 2x + 3y - 5z - 5 = 0 \] Vậy đáp án đúng là: \[ C.~2x + 3y - 5z - 5 = 0 \] Câu 12: Để tìm góc giữa hai đường thẳng \( d_1 \) và \( d_2 \), ta cần xác định các vector chỉ phương của chúng. Vector chỉ phương của đường thẳng \( d_1 \) là: \[ \vec{u}_1 = (2, 1, 1) \] Vector chỉ phương của đường thẳng \( d_2 \) là: \[ \vec{u}_2 = (-1, -2, 1) \] Góc giữa hai đường thẳng \( d_1 \) và \( d_2 \) là góc giữa hai vector chỉ phương \( \vec{u}_1 \) và \( \vec{u}_2 \). Ta tính tích vô hướng của hai vector này: \[ \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 2 \cdot (-1) + 1 \cdot (-2) + 1 \cdot 1 = -2 - 2 + 1 = -3 \] Tiếp theo, ta tính độ dài của mỗi vector: \[ |\vec{u}_1| = \sqrt{2^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6} \] \[ |\vec{u}_2| = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \] Tích vô hướng của hai vector chia cho tích độ dài của chúng sẽ cho ta cosin của góc giữa hai vector: \[ \cos \theta = \frac{\vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2}{|\vec{u}_1| |\vec{u}_2|} = \frac{-3}{\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}} = \frac{-3}{6} = -\frac{1}{2} \] Do đó, góc \( \theta \) giữa hai đường thẳng là: \[ \theta = \cos^{-1} \left( -\frac{1}{2} \right) = 120^\circ \] Vậy góc giữa hai đường thẳng \( d_1 \) và \( d_2 \) là \( 120^\circ \). Đáp án đúng là: \( B.~120^0 \) Câu 1: a) Tập xác định của hàm số đã cho là $D=(-3;3).$ b) Hàm số đã cho có đạo hàm $f^\prime(x)=\frac{9-2x^2}{\sqrt{9-x^2}}(-3< x< 3).$ c) Ta có $f^\prime(x)=0\Leftrightarrow x=\pm\frac{3}{\sqrt{2}}.$ Biểu đồ giá trị của đạo hàm: $f(-3)=f(3)=0; f(-\frac{3}{\sqrt{2}})=-\frac{9}{2}; f(\frac{3}{\sqrt{2}})=\frac{9}{2}.$ Vậy giá trị lớn nhất của hàm số đã cho là $\frac{9}{2},$ đạt được khi $x=\frac{3}{\sqrt{2}}.$ d) Ta có $2f(x)-1=0\Leftrightarrow x\sqrt{9-x^2}=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x^4-9x^2+\frac{1}{4}=0.$ Phương trình này có hai nghiệm phân biệt $x_1^2=\frac{9-\sqrt{80}}{2}; x_2^2=\frac{9+\sqrt{80}}{2}.$ Mỗi nghiệm trên tương ứng với hai giá trị của $x,$ vậy phương trình $2f(x)-1=0$ có ba nghiệm phân biệt. Câu 2: a) Ta có: \[ \int f(x) \, dx = \int 3 \sin x \, dx = -3 \cos x + C \] b) Diện tích của hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \), trục Ox, trục Oy và đường thẳng \( x = \pi \): \[ S_H = \left| \int_0^\pi 3 \sin x \, dx \right| \] Tính tích phân: \[ \int_0^\pi 3 \sin x \, dx = 3 \left[ -\cos x \right]_0^\pi = 3 \left( -\cos \pi + \cos 0 \right) = 3 \left( -(-1) + 1 \right) = 3 \times 2 = 6 \] Do đó, diện tích của hình phẳng (H) là 6. c) Diện tích của hình phẳng \( (H_a) \) giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \), trục Ox, trục Oy và đường thẳng \( x = a \): \[ S_{H_a} = \left| \int_0^a 3 \sin x \, dx \right| \] Tính tích phân: \[ \int_0^a 3 \sin x \, dx = 3 \left[ -\cos x \right]_0^a = 3 \left( -\cos a + \cos 0 \right) = 3 \left( -\cos a + 1 \right) = 3 (1 - \cos a) \] Do đó, diện tích của hình phẳng \( (H_a) \) là: \[ S_{H_a} = 3 |1 - \cos a| \] d) Nếu diện tích của \( (H_a) \) bằng \(\frac{2}{3}\) diện tích của (H), ta có: \[ 3 |1 - \cos a| = \frac{2}{3} \times 6 = 4 \] Giải phương trình: \[ |1 - \cos a| = \frac{4}{3} \] Ta có hai trường hợp: 1. \( 1 - \cos a = \frac{4}{3} \Rightarrow \cos a = 1 - \frac{4}{3} = -\frac{1}{3} \) 2. \( 1 - \cos a = -\frac{4}{3} \Rightarrow \cos a = 1 + \frac{4}{3} = \frac{7}{3} \) (loại vì \(\cos a\) không thể lớn hơn 1) Do đó, ta có: \[ \cos a = -\frac{1}{3} \] Với \( a \in (0; \pi) \), ta có \( a \in \left( \frac{\pi}{2}; \pi \right) \). Kiểm tra khoảng \( a \in \left( \frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{12} \right) \): \[ \cos \left( \frac{7\pi}{12} \right) = -\frac{1}{3} \quad (\text{vì } \cos \left( \frac{7\pi}{12} \right) < 0 \text{ và } \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) = 0) \] Vậy \( a \in \left( \frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{12} \right) \). Đáp án đúng là: d) Nếu diện tích của \( (H_a) \) bằng \(\frac{2}{3}\) diện tích của (H) thì \( a \in \left( \frac{\pi}{2}; \frac{7\pi}{12} \right) \). Câu 3: a) Trọng tâm của tam giác ABC là $I(2;1;1).$ Trọng tâm của tam giác ABC được tính bằng cách lấy trung bình cộng tọa độ của ba đỉnh của tam giác đó. Tọa độ của trọng tâm I là: \[ I\left(\frac{6 + (-1) + 1}{3}; \frac{1 + 3 + (-1)}{3}; \frac{0 + 2 + 1}{3}\right) = I\left(\frac{6 - 1 + 1}{3}; \frac{1 + 3 - 1}{3}; \frac{0 + 2 + 1}{3}\right) = I\left(\frac{6}{3}; \frac{3}{3}; \frac{3}{3}\right) = I(2; 1; 1) \] b) Biết rằng C là trọng tâm của tam giác ABE. Tọa độ của điểm E là $(-2; -7; 1).$ Trọng tâm của tam giác ABE là điểm C, do đó ta có: \[ C\left(\frac{6 + (-1) + x_E}{3}; \frac{1 + 3 + y_E}{3}; \frac{0 + 2 + z_E}{3}\right) = C(1; -1; 1) \] Ta sẽ giải từng phần tọa độ của điểm E: 1. Với tọa độ x: \[ 1 = \frac{6 + (-1) + x_E}{3} \Rightarrow 1 = \frac{5 + x_E}{3} \Rightarrow 3 = 5 + x_E \Rightarrow x_E = -2 \] 2. Với tọa độ y: \[ -1 = \frac{1 + 3 + y_E}{3} \Rightarrow -1 = \frac{4 + y_E}{3} \Rightarrow -3 = 4 + y_E \Rightarrow y_E = -7 \] 3. Với tọa độ z: \[ 1 = \frac{0 + 2 + z_E}{3} \Rightarrow 1 = \frac{2 + z_E}{3} \Rightarrow 3 = 2 + z_E \Rightarrow z_E = 1 \] Vậy tọa độ của điểm E là $(-2; -7; 1)$.