Cho tam giác ABC nhọn. AB AC <. Kẻ đường cao BE và CF cắt nhau tại H. a) Chứng minh: ABE ∽ ACF. b) Chứng minh: HF HC HE HB = . c) Gọi N là giao điểm của AH và EF, D là giao điểm của đường thẳng BC và đ...

a) Xét tam giác ABE và tam giác ACF, ta có: - Góc A chung. - Góc AEB và góc AFC đều là góc vuông (vì BE và CF là đường cao). Do đó, tam giác ABE ∽ tam giác ACF (g.g). b) Vì tam giác ABE ∽ tam giác ACF, nên ta có tỉ lệ: $$ Ta cũng có: $$ Nhân hai tỉ lệ này lại, ta được: $$ Suy ra: $$ Từ đây, ta có: $$ Vì tam giác ABE ∽ tam giác ACF, nên ta có: $$ c) Ta sẽ chứng minh ON vuông góc với DI bằng cách sử dụng tính chất của đường trung tuyến và đường cao trong tam giác. - Vì O là trung điểm của BC, nên ta có OB = OC. - Vì I là trung điểm của AH, nên ta có AI = IH. Xét tam giác ABD và tam giác ACD, ta có: - Góc BAD và góc CAD là góc chung. - Góc ADB và góc ADC đều là góc vuông (vì D là giao điểm của đường thẳng BC và đường thẳng EF). Do đó, tam giác ABD ∽ tam giác ACD (g.g). Vì tam giác ABD ∽ tam giác ACD, nên ta có: $$ Suy ra: $$ Vậy D là trung điểm của BC. Bây giờ, xét tam giác OND và tam giác IND, ta có: - Góc OND và góc IND là góc chung. - Góc ODN và góc IDN đều là góc vuông (vì ON và DI là đường trung tuyến và đường cao). Do đó, tam giác OND ∽ tam giác IND (g.g). Vì tam giác OND ∽ tam giác IND, nên ta có: $$ Suy ra: $$ Vậy ta đã chứng minh được ON vuông góc với DI.