Giải hộ mình câu này với các bạn

Câu 15. 1. Giải phương trình: $x^2 - 4x + 3 = 0$ Phương pháp giải: - Ta sử dụng phương pháp phân tích để giải phương trình bậc hai này. Bước 1: Phân tích phương trình thành nhân tử. \[ x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) = 0 \] Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình. \[ (x - 1) = 0 \quad \text{hoặc} \quad (x - 3) = 0 \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = 3 \] Vậy nghiệm của phương trình là: $x = 1$ hoặc $x = 3$. 2. Cho phương trình $x^2 - 2(m-1)x + m^2 - m - 4 = 0$ với m là tham số. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn: $x^2_1 - 2x_2(x_2 - 2) + m^2 - 5m = 0$. Phương pháp giải: - Ta sử dụng công thức Viète và điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt. - Thay vào biểu thức đã cho và giải phương trình để tìm giá trị của m. Bước 1: Xác định điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta > 0$. \[ \Delta = [-2(m-1)]^2 - 4(m^2 - m - 4) \] \[ \Delta = 4(m-1)^2 - 4(m^2 - m - 4) \] \[ \Delta = 4(m^2 - 2m + 1) - 4(m^2 - m - 4) \] \[ \Delta = 4m^2 - 8m + 4 - 4m^2 + 4m + 16 \] \[ \Delta = -4m + 20 \] Để phương trình có hai nghiệm phân biệt, ta cần: \[ -4m + 20 > 0 \] \[ -4m > -20 \] \[ m < 5 \] Bước 2: Áp dụng công thức Viète. Theo công thức Viète, ta có: \[ x_1 + x_2 = 2(m-1) \] \[ x_1 x_2 = m^2 - m - 4 \] Bước 3: Thay vào biểu thức đã cho và giải phương trình. \[ x^2_1 - 2x_2(x_2 - 2) + m^2 - 5m = 0 \] \[ x^2_1 - 2x^2_2 + 4x_2 + m^2 - 5m = 0 \] Áp dụng công thức Viète: \[ x^2_1 + x^2_2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 \] \[ x^2_1 + x^2_2 = [2(m-1)]^2 - 2(m^2 - m - 4) \] \[ x^2_1 + x^2_2 = 4(m-1)^2 - 2(m^2 - m - 4) \] \[ x^2_1 + x^2_2 = 4(m^2 - 2m + 1) - 2(m^2 - m - 4) \] \[ x^2_1 + x^2_2 = 4m^2 - 8m + 4 - 2m^2 + 2m + 8 \] \[ x^2_1 + x^2_2 = 2m^2 - 6m + 12 \] Thay vào biểu thức: \[ 2m^2 - 6m + 12 - 2x^2_2 + 4x_2 + m^2 - 5m = 0 \] \[ 3m^2 - 11m + 12 - 2x^2_2 + 4x_2 = 0 \] Bước 4: Giải phương trình để tìm giá trị của m. \[ 3m^2 - 11m + 12 = 0 \] Phương pháp giải phương trình bậc hai: \[ m = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ m = \frac{11 \pm \sqrt{(-11)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 12}}{2 \cdot 3} \] \[ m = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 144}}{6} \] \[ m = \frac{11 \pm \sqrt{-23}}{6} \] Do $\sqrt{-23}$ là số phức, nên phương trình này không có nghiệm thực. Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn điều kiện đề bài. Câu 3. a) Với $m=7$, ta có phương trình: $x^2-7x+6=0$. Giải phương trình này: \[ x^2 - 7x + 6 = 0 \] \[ (x - 1)(x - 6) = 0 \] \[ x = 1 \text{ hoặc } x = 6 \] b) Để phương trình $x^2 - 7x + m - 1 = 0$ có hai nghiệm dương phân biệt $x_1$ và $x_2$, ta cần: 1. Đặt $f(x) = x^2 - 7x + m - 1$. 2. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt là: - $f(0) > 0$: $m - 1 > 0 \Rightarrow m > 1$ - $f(7) > 0$: $(7)^2 - 7(7) + m - 1 > 0 \Rightarrow m - 1 > 0 \Rightarrow m > 1$ - $\Delta > 0$: $(-7)^2 - 4(m - 1) > 0 \Rightarrow 49 - 4m + 4 > 0 \Rightarrow 53 - 4m > 0 \Rightarrow m < \frac{53}{4}$ - $x_1 + x_2 > 0$: $7 > 0$ (luôn đúng) - $x_1 \cdot x_2 > 0$: $m - 1 > 0 \Rightarrow m > 1$ Tóm lại, điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt là: \[ 1 < m < \frac{53}{4} \] Tiếp theo, ta cần thỏa mãn điều kiện $\sqrt{x_1} + \sqrt{x_2^2 - 6x_2 + m - 1} = 3$. Ta biết rằng $x_2^2 - 6x_2 + m - 1 = 0$ (vì $x_2$ là nghiệm của phương trình ban đầu), do đó: \[ \sqrt{x_1} + \sqrt{0} = 3 \] \[ \sqrt{x_1} = 3 \] \[ x_1 = 9 \] Thay $x_1 = 9$ vào phương trình ban đầu: \[ 9^2 - 7 \cdot 9 + m - 1 = 0 \] \[ 81 - 63 + m - 1 = 0 \] \[ 17 + m = 0 \] \[ m = -17 \] Tuy nhiên, $m = -17$ không thỏa mãn điều kiện $1 < m < \frac{53}{4}$. Do đó, không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn tất cả các điều kiện trên. Đáp số: Không có giá trị nào của $m$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.