Fgjjhgggggg

Câu 4. a) Ta thấy $\Delta$ có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{\Delta}}=(3;4;2).$ $\overrightarrow{u_{\Delta}}$ và $\overrightarrow{u}=(2;-1;5)$ không cùng phương vì $\frac32\neq\frac4{-1}.$ Vậy $\Delta$ không nhận $\overrightarrow{u}$ làm véctơ chỉ phương. b) Ta thấy $\Delta$ có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{\Delta}}=(3;4;2).$ Phương trình tham số của $\Delta$ là $\left\{\begin{array}lx=x_0+at\\y=y_0+bt\\z=z_0+ct\end{array}\right.$ Trong đó $(x_0;y_0;z_0)$ là tọa độ một điểm trên $\Delta,$ $(a;b;c)$ là tọa độ của $\overrightarrow{u_{\Delta}}.$ Ta có $\Delta$ đi qua điểm $A(2;-1;5).$ Vậy phương trình tham số của $\Delta$ là $\left\{\begin{array}lx=2+3t\\y=-1+4t\\z=5+2t\end{array}\right.$ c) Ta thấy $\Delta$ có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{\Delta}}=(3;4;2).$ $\Delta'$ có véctơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_{\Delta'}}=(1;-2;3).$ Gọi $\alpha$ là góc giữa $\Delta$ và $\Delta'.$ Ta có $\cos\alpha=\frac{|\overrightarrow{u_{\Delta}}.\overrightarrow{u_{\Delta'}}|}{|\overrightarrow{u_{\Delta}}||\overrightarrow{u_{\Delta'}}|}=\frac{|3\times1+4\times(-2)+2\times3|}{\sqrt{3^2+4^2+2^2}\times\sqrt{1^2+(-2)^2+3^2}}=\frac1{\sqrt{406}}$ d) Ta thấy $\Delta$ đi qua điểm $A(2;-1;5).$ Mà $M(3;4;2)$ nên $M$ không thuộc $\Delta.$ Câu 1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hai hàm số $y=2^x,~y=-x+6$ và hai đường thẳng $x=0~x=2$ là: $S=\int_{0}^{2}\left [ (-x+6)-2^x \right ]dx=\left ( -\frac{x^2}{2}+6x-\frac{2^x}{\ln 2} \right )\bigg|_{0}^{2}=8-\frac{4}{\ln 2}.$ Vậy $m=8,~n=4$ nên $m-2n=0.$ Câu 2. Để tính thể tích của thùng rượu, ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân để tính thể tích của vật thể xoay quanh trục. Ta sẽ chia thùng rượu thành hai phần bằng nhau qua thiết diện trung tâm và tính thể tích của một nửa, sau đó nhân đôi. Trước tiên, ta xác định phương trình của đường parabol. Đường parabol này đi qua điểm $(0, 30)$ và $(50, 40)$ (vì chiều cao thùng là 1m = 100cm, nên mỗi phần là 50cm). Phương trình của đường parabol có dạng: \[ y = ax^2 + bx + c \] Ta biết rằng: - Khi $x = 0$, $y = 30$ nên $c = 30$. - Khi $x = 50$, $y = 40$. Thay vào phương trình: \[ 40 = a(50)^2 + b(50) + 30 \] \[ 40 = 2500a + 50b + 30 \] \[ 10 = 2500a + 50b \] \[ 1 = 250a + 5b \quad \text{(1)} \] Vì đường parabol đối xứng qua trục $y$, ta có $b = 0$. Thay vào phương trình (1): \[ 1 = 250a \] \[ a = \frac{1}{250} \] Vậy phương trình của đường parabol là: \[ y = \frac{1}{250}x^2 + 30 \] Bây giờ, ta tính thể tích của một nửa thùng rượu bằng phương pháp tích phân: \[ V_{\text{half}} = \pi \int_{0}^{50} \left( \frac{1}{250}x^2 + 30 \right)^2 \, dx \] Tính tích phân: \[ V_{\text{half}} = \pi \int_{0}^{50} \left( \frac{1}{250}x^2 + 30 \right)^2 \, dx \] \[ = \pi \int_{0}^{50} \left( \frac{1}{62500}x^4 + \frac{60}{250}x^2 + 900 \right) \, dx \] \[ = \pi \int_{0}^{50} \left( \frac{1}{62500}x^4 + \frac{6}{25}x^2 + 900 \right) \, dx \] \[ = \pi \left[ \frac{1}{62500} \cdot \frac{x^5}{5} + \frac{6}{25} \cdot \frac{x^3}{3} + 900x \right]_{0}^{50} \] \[ = \pi \left[ \frac{1}{312500}x^5 + \frac{2}{25}x^3 + 900x \right]_{0}^{50} \] \[ = \pi \left( \frac{1}{312500}(50)^5 + \frac{2}{25}(50)^3 + 900(50) \right) \] \[ = \pi \left( \frac{1}{312500} \cdot 31250000 + \frac{2}{25} \cdot 125000 + 45000 \right) \] \[ = \pi \left( 100 + 10000 + 45000 \right) \] \[ = \pi \cdot 56000 \] \[ = 56000\pi \] Thể tích của cả thùng rượu là: \[ V = 2 \times 56000\pi \] \[ = 112000\pi \] Chuyển đổi từ cm³ sang lít (1000 cm³ = 1 lít): \[ V = \frac{112000\pi}{1000} \] \[ = 112\pi \] Lấy giá trị $\pi \approx 3.14$: \[ V \approx 112 \times 3.14 \] \[ \approx 351.68 \] Vậy thể tích của thùng rượu là khoảng 352 lít (làm tròn đến hàng đơn vị). Đáp số: 352 lít. Câu 3. Để tính xác suất học sinh được chọn là học sinh giỏi biết rằng học sinh được chọn là nữ, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định số lượng học sinh nữ trong lớp: Số học sinh nữ trong lớp là 25 học sinh. 2. Xác định số lượng học sinh nữ giỏi: Số học sinh nữ giỏi là 12 học sinh. 3. Tính xác suất học sinh được chọn là học sinh giỏi biết rằng học sinh được chọn là nữ: Xác suất này được tính bằng cách chia số học sinh nữ giỏi cho tổng số học sinh nữ trong lớp. \[ P(\text{Giỏi} | \text{Nữ}) = \frac{\text{Số học sinh nữ giỏi}}{\text{Số học sinh nữ}} = \frac{12}{25} \] 4. Chuyển đổi phân số thành số thập phân: \[ \frac{12}{25} = 0.48 \] Vậy xác suất học sinh được chọn là học sinh giỏi biết rằng học sinh được chọn là nữ là 0.48. Đáp số: 0.48 Câu 4. Để tính xác suất chọn được học sinh biết chơi ít nhất một nhạc cụ, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm số lượng học sinh nam và nữ trong nhóm: - Số lượng học sinh nam: \( 70\% \times 100 = 70 \) học sinh. - Số lượng học sinh nữ: \( 100 - 70 = 30 \) học sinh. 2. Tìm số lượng học sinh nam và nữ biết chơi ít nhất một nhạc cụ: - Số lượng học sinh nam biết chơi ít nhất một nhạc cụ: \( 30\% \times 70 = 21 \) học sinh. - Số lượng học sinh nữ biết chơi ít nhất một nhạc cụ: \( 15\% \times 30 = 4.5 \approx 5 \) học sinh (làm tròn đến hàng đơn vị). 3. Tổng số lượng học sinh biết chơi ít nhất một nhạc cụ: - Tổng số lượng học sinh biết chơi ít nhất một nhạc cụ: \( 21 + 5 = 26 \) học sinh. 4. Tính xác suất chọn được học sinh biết chơi ít nhất một nhạc cụ: - Xác suất: \( \frac{26}{100} = 0.26 \) Vậy xác suất để chọn được học sinh biết chơi ít nhất một nhạc cụ là 0.26 hoặc 26%. Đáp số: 26%. Câu 5. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) có phương trình: \(3x - 2y - 3z - 7 = 0\). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là \(\overrightarrow{n} = (3, -2, -3)\). 2. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\): Đường thẳng \(d\) có phương trình tham số: \(\frac{x-2}{3} = \frac{y+4}{-2} = \frac{z-1}{2}\). Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow{u_d} = (3, -2, 2)\). 3. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\): Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(A(3, 2, -4)\) và song song với mặt phẳng (P). Vì vậy, vectơ chỉ phương của \(\Delta\) phải vuông góc với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Ta có: \[ \overrightarrow{u_\Delta} = (11, a, b) \] Điều kiện để \(\overrightarrow{u_\Delta}\) vuông góc với \(\overrightarrow{n}\) là: \[ \overrightarrow{u_\Delta} \cdot \overrightarrow{n} = 0 \] Thay vào ta có: \[ 11 \cdot 3 + a \cdot (-2) + b \cdot (-3) = 0 \] \[ 33 - 2a - 3b = 0 \] \[ 2a + 3b = 33 \quad \text{(1)} \] 4. Tìm giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng (P): Gọi giao điểm của đường thẳng \(d\) và mặt phẳng (P) là \(B(x_0, y_0, z_0)\). Ta có: \[ x_0 = 2 + 3t, \quad y_0 = -4 - 2t, \quad z_0 = 1 + 2t \] Thay vào phương trình mặt phẳng (P): \[ 3(2 + 3t) - 2(-4 - 2t) - 3(1 + 2t) - 7 = 0 \] \[ 6 + 9t + 8 + 4t - 3 - 6t - 7 = 0 \] \[ 4 + 7t = 0 \] \[ t = -\frac{4}{7} \] Thay \(t = -\frac{4}{7}\) vào phương trình tham số của đường thẳng \(d\): \[ x_0 = 2 + 3 \left(-\frac{4}{7}\right) = 2 - \frac{12}{7} = \frac{2}{7} \] \[ y_0 = -4 - 2 \left(-\frac{4}{7}\right) = -4 + \frac{8}{7} = -\frac{20}{7} \] \[ z_0 = 1 + 2 \left(-\frac{4}{7}\right) = 1 - \frac{8}{7} = -\frac{1}{7} \] Vậy giao điểm \(B\) là \(\left(\frac{2}{7}, -\frac{20}{7}, -\frac{1}{7}\right)\). 5. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta\): Đường thẳng \(\Delta\) đi qua điểm \(A(3, 2, -4)\) và điểm \(B\left(\frac{2}{7}, -\frac{20}{7}, -\frac{1}{7}\right)\). Vectơ chỉ phương của \(\Delta\) là: \[ \overrightarrow{AB} = \left(\frac{2}{7} - 3, -\frac{20}{7} - 2, -\frac{1}{7} + 4\right) = \left(-\frac{19}{7}, -\frac{34}{7}, \frac{27}{7}\right) \] Ta thấy rằng \(\overrightarrow{AB}\) phải song song với \(\overrightarrow{u_\Delta} = (11, a, b)\). Do đó: \[ \left(-\frac{19}{7}, -\frac{34}{7}, \frac{27}{7}\right) = k(11, a, b) \] Từ đây ta có: \[ -\frac{19}{7} = 11k \implies k = -\frac{19}{77} \] \[ -\frac{34}{7} = ak \implies a = -\frac{34}{7} \div \left(-\frac{19}{77}\right) = \frac{34 \times 77}{7 \times 19} = 22 \] \[ \frac{27}{7} = bk \implies b = \frac{27}{7} \div \left(-\frac{19}{77}\right) = \frac{27 \times 77}{7 \times 19} = -33 \] 6. Tính \(a + b\): \[ a + b = 22 - 33 = -11 \] Vậy \(a + b = -11\). Câu 6. Để tìm bán kính của mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng $l:\left\{\begin{array}lx=1+t\\y=2+t\\z=-1-t\end{array}\right.$ và đi qua hai điểm $M(1;3;-2)$ và $N(-1;4;5)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ tâm của mặt cầu: Tâm của mặt cầu nằm trên đường thẳng $l$, do đó tọa độ tâm của mặt cầu có dạng $(1 + t, 2 + t, -1 - t)$. 2. Xác định bán kính của mặt cầu: Vì mặt cầu đi qua hai điểm $M$ và $N$, nên khoảng cách từ tâm đến mỗi điểm này sẽ bằng bán kính của mặt cầu. Ta sẽ tính khoảng cách từ tâm $(1 + t, 2 + t, -1 - t)$ đến điểm $M(1, 3, -2)$ và điểm $N(-1, 4, 5)$. Khoảng cách từ tâm đến điểm $M$: \[ d_1 = \sqrt{(1 + t - 1)^2 + (2 + t - 3)^2 + (-1 - t + 2)^2} = \sqrt{t^2 + (t - 1)^2 + (1 - t)^2} \] \[ d_1 = \sqrt{t^2 + (t^2 - 2t + 1) + (t^2 - 2t + 1)} = \sqrt{3t^2 - 4t + 2} \] Khoảng cách từ tâm đến điểm $N$: \[ d_2 = \sqrt{(1 + t + 1)^2 + (2 + t - 4)^2 + (-1 - t - 5)^2} = \sqrt{(2 + t)^2 + (t - 2)^2 + (-6 - t)^2} \] \[ d_2 = \sqrt{(4 + 4t + t^2) + (t^2 - 4t + 4) + (t^2 + 12t + 36)} = \sqrt{3t^2 + 12t + 44} \] 3. Bằng nhau vì cả hai đều là bán kính của mặt cầu: \[ \sqrt{3t^2 - 4t + 2} = \sqrt{3t^2 + 12t + 44} \] Bỏ căn bậc hai: \[ 3t^2 - 4t + 2 = 3t^2 + 12t + 44 \] \[ -4t + 2 = 12t + 44 \] \[ -16t = 42 \] \[ t = -\frac{42}{16} = -\frac{21}{8} \] 4. Tìm tọa độ tâm của mặt cầu: Thay $t = -\frac{21}{8}$ vào tọa độ tâm: \[ x = 1 + \left(-\frac{21}{8}\right) = \frac{8}{8} - \frac{21}{8} = -\frac{13}{8} \] \[ y = 2 + \left(-\frac{21}{8}\right) = \frac{16}{8} - \frac{21}{8} = -\frac{5}{8} \] \[ z = -1 + \left(\frac{21}{8}\right) = -\frac{8}{8} + \frac{21}{8} = \frac{13}{8} \] Vậy tâm của mặt cầu là $\left(-\frac{13}{8}, -\frac{5}{8}, \frac{13}{8}\right)$. 5. Tính bán kính của mặt cầu: Bán kính $R$ là khoảng cách từ tâm đến điểm $M$: \[ R = \sqrt{\left(-\frac{13}{8} - 1\right)^2 + \left(-\frac{5}{8} - 3\right)^2 + \left(\frac{13}{8} + 2\right)^2} \] \[ R = \sqrt{\left(-\frac{21}{8}\right)^2 + \left(-\frac{29}{8}\right)^2 + \left(\frac{29}{8}\right)^2} \] \[ R = \sqrt{\frac{441}{64} + \frac{841}{64} + \frac{841}{64}} = \sqrt{\frac{2123}{64}} = \frac{\sqrt{2123}}{8} \] \[ R \approx \frac{46.07}{8} \approx 5.76 \] Vậy bán kính của mặt cầu là $5.76$.