hsmxjamkznmsjans

Câu 261: a) Phương trình tổng quát của đường thẳng $d_1$ đi qua M và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n$ là $2x - y = 0$ Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm $(x_0, y_0)$ và có vectơ pháp tuyến $(a, b)$ là: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0 \] Áp dụng vào bài toán: \[ 2(x - 1) - 1(y - 2) = 0 \] \[ 2x - 2 - y + 2 = 0 \] \[ 2x - y = 0 \] Vậy mệnh đề này đúng. b) Phương trình tham số của đường thẳng $d_2$ đi qua N và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u$ là \[ \left\{\begin{array}{l} x = 3 + t \\ y = -1 + t \end{array}\right. \] Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $(x_0, y_0)$ và có vectơ chỉ phương $(a, b)$ là: \[ \left\{\begin{array}{l} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{array}\right. \] Áp dụng vào bài toán: \[ \left\{\begin{array}{l} x = 3 + t \\ y = -1 + t \end{array}\right. \] Vậy mệnh đề này đúng. c) Phương trình tổng quát của đường thẳng $d_3$ đi qua N và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow n$ là $2x - y + 7 = 0$ Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm $(x_0, y_0)$ và có vectơ pháp tuyến $(a, b)$ là: \[ a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0 \] Áp dụng vào bài toán: \[ 2(x - 3) - 1(y + 1) = 0 \] \[ 2x - 6 - y - 1 = 0 \] \[ 2x - y - 7 = 0 \] Vậy mệnh đề này sai vì phương trình đúng là $2x - y - 7 = 0$, không phải $2x - y + 7 = 0$. d) Phương trình tham số của đường thẳng $d_4$ đi qua M và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow u$ là \[ \left\{\begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = 2 + t \end{array}\right. \] Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $(x_0, y_0)$ và có vectơ chỉ phương $(a, b)$ là: \[ \left\{\begin{array}{l} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{array}\right. \] Áp dụng vào bài toán: \[ \left\{\begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = 2 + t \end{array}\right. \] Vậy mệnh đề này đúng. Kết luận: - a) Đúng - b) Đúng - c) Sai - d) Đúng Câu 262: Để kiểm tra các mệnh đề, chúng ta sẽ lần lượt xem xét từng mệnh đề dựa trên thông tin đã cho về hai đường thẳng $\Delta_1$ và $\Delta_2$. a) Đường thẳng $\Delta_1$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}(1;1)$ Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta_1$ là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = t \\ y = 2 + t \end{array} \right. \] Từ phương trình tham số này, ta thấy vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta_1$ là $\overrightarrow{d}(1;1)$. Do đó, vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta_1$ sẽ là $\overrightarrow{n}(1;-1)$ (vì vectơ pháp tuyến vuông góc với vectơ chỉ phương). Mệnh đề này sai vì vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta_1$ là $\overrightarrow{n}(1;-1)$, không phải $\overrightarrow{n}(1;1)$. b) Đường thẳng $\Delta_2$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}(1;-3)$ Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta_2$ là: \[ x - 3y - 7 = 0 \] Từ phương trình tổng quát này, ta thấy vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta_2$ là $\overrightarrow{n}(1;-3)$. Mệnh đề này đúng vì vectơ pháp tuyến của đường thẳng $\Delta_2$ là $\overrightarrow{n}(1;-3)$. c) Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta_1$ là Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta_1$ đã cho là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = t \\ y = 2 + t \end{array} \right. \] Mệnh đề này đúng vì phương trình tham số của đường thẳng $\Delta_1$ đã cho chính xác là như vậy. d) Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta_2$ là $x - 3y - 7 = 0$ Phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta_2$ đã cho là: \[ x - 3y - 7 = 0 \] Mệnh đề này đúng vì phương trình tổng quát của đường thẳng $\Delta_2$ đã cho chính xác là như vậy. Kết luận: - Mệnh đề a) sai. - Mệnh đề b) đúng. - Mệnh đề c) đúng. - Mệnh đề d) đúng. Câu 263: Để kiểm tra các mệnh đề, ta sẽ lần lượt tính toán và so sánh với các thông tin đã cho. a) Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}(2;5)$ Vectơ chỉ phương của đường thẳng AB là: \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (3 - (-2); 4 - 2) = (5; 2) \] Vậy mệnh đề này sai vì $\overrightarrow{AB} = (5; 2)$, không phải $(2; 5)$. b) Đường thẳng AB có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}(2; -5)$ Vectơ pháp tuyến của đường thẳng AB phải vuông góc với vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}$. Ta kiểm tra: \[ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{n} = (5; 2) \cdot (2; -5) = 5 \times 2 + 2 \times (-5) = 10 - 10 = 0 \] Vậy mệnh đề này đúng vì $\overrightarrow{n}$ vuông góc với $\overrightarrow{AB}$. c) Phương trình tổng quát của đường thẳng AB là $2x - 5y + 14 = 0$ Phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua hai điểm $A(-2; 2)$ và $B(3; 4)$ có dạng: \[ (y - y_1)(x_2 - x_1) = (x - x_1)(y_2 - y_1) \] Thay tọa độ của $A$ và $B$ vào: \[ (y - 2)(3 + 2) = (x + 2)(4 - 2) \] \[ (y - 2) \times 5 = (x + 2) \times 2 \] \[ 5y - 10 = 2x + 4 \] \[ 2x - 5y + 14 = 0 \] Vậy mệnh đề này đúng. d) Phương trình tham số của đường thẳng đi qua $M(-1; 1)$ và song song với AB là $\left\{ \begin{array}{l} x = -1 + 2t \\ y = 1 + 5t \end{array} \right.$ Đường thẳng song song với AB sẽ có cùng vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB} = (5; 2)$. Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm $M(-1; 1)$ và có vectơ chỉ phương $(5; 2)$ là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -1 + 5t \\ y = 1 + 2t \end{array} \right. \] Vậy mệnh đề này sai vì phương trình tham số đúng phải là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -1 + 5t \\ y = 1 + 2t \end{array} \right. \] Tóm lại: - Mệnh đề a) sai. - Mệnh đề b) đúng. - Mệnh đề c) đúng. - Mệnh đề d) sai. Câu 264: a) Đúng vì vectơ chỉ phương của đường thẳng biểu diễn chuyển động của vật thể là vectơ vận tốc của vật thể, do đó là $\overrightarrow v(1;2)$. b) Sai vì vật thể M chuyển động trên đường thẳng có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow v(1;2)$, do đó phương trình đường thẳng đó có dạng $y - y_0 = m(x - x_0)$, trong đó $(x_0, y_0)$ là tọa độ điểm ban đầu và $m$ là hệ số góc của đường thẳng. Ta có: \[ m = \frac{2}{1} = 2 \] Vậy phương trình đường thẳng là: \[ y - 3 = 2(x - 5) \] \[ y - 3 = 2x - 10 \] \[ y = 2x - 7 \] Do đó, vật thể M chuyển động trên đường thẳng $y = 2x - 7$, không phải là $2x - 3y - 1 = 0$.